III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 34
Текст из файла (страница 34)
+ а,„Х» = — а„,,+1Х,+1 — „. — а»„Х„. Хг+,-О, (2) х,+ —— О, (я) (1) х,+ — — 1, х +2 О (1) х +2 1 (2) х,+г — — О, (и) (9.6) х„=О; (1) х =0; (2) Здесь номер серии указан верхним индексом в скобках, а сами серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии х(+) . —— 1, если у = (, и х(~+) .
— — О, если у ~ 1. Если мы зададим произвольные значения независимых не- ИЗВЕСТНЫХ Хе+1, ..., Х„, тО ОтНОСИтЕЛЬНО баЗИСНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ получим квадратпную СЛАУс невырохсденноб иатринеб, решение которой существует и единственно. Таким образом, любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями независимых неизвестных х„+1, ..., х„. Рассмотрим следующие (с = п — г серий значений независимых неизвестных Хе+1~ ~ Х». 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 252 Далее, 1-й серии значений независимых неизвестных однозначно соответствуют значения х1, ..., з„б зависимых неизвестных.
Значения независимых и зависимых неизвестных в совокупности дают решение системы (9.5). Покажем, что столбцы () з1 х() хя (9.7) 1=1,/с, ~(')— х() образуют фундаментальную систему решений. Так как эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Аж = О и их количество равно й, то, в соответствии с определением 9.1 фундаментальной системы решений, остается доказать линейную независимость решений (9.7). Пусть есть некоторал линейная комбинация решений ж(1», ..., ю(~), равная нулевому столбцу: а1 а(1) +... + сц,х(~) = О.
Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами г+1, ..., в равны нулю. Но (с+1)-я компонента равна а11+озО+... + оьО = а1. Аналогично, (г+2)-я компонента равна аз и, наконец, й-я компонента равна аю Поэтому а1 = аз = ... = аь = О, что означает линейную независимость решений аР),...,з(~). Ь Построенная при доказательстве теоремы 9.4 фундаментальнзл система решений (9.7) имеет достаточно специальный вид, поскольку, согласно (9.6), в любом из решений (9.7) все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице. Такие фундаментальные системы решений называют мормальмььма.
253 9.Л. Однородные системы Следствие 9.3. С помощью нормальной фундаментальной системы решений (9.7) однородной СЛАУ (9.4) множество всех решений можно описать формулой х = с1х~ 1+...+сьх~ 1, (9.8) где постоянные с;, 1 = 1, Й, принимают произвольные значения. Согласно теореме 9.3, столбец (9.8) является решением рассматриваемой однородной СЛАУ Ах = О. Поэтому остается доказать, что любое решение этой однородной СЛАУ можно представить в виде (9.8). Рассмотрим столбец х = у„+1хО)+... +у„х~~). Этот столбец совпадает со столбцом д по элементам с номерами «+ 1, ..., и и является решением СЛАУ (9.5).
Поэтому столбцы д и х совпадают, так как решения системы (9.5) однозначно определяются набором значений ее независимых неизвестных х„+1, ..., х„, а у столбцов д и х эти наборы совпадают. Следовательно, д = х = у„~1хр)+... +у„х(ь), т.е. решение д есть линейная комбинация столбцов х91, ..., х(ь) нормальной фундаментальной системы решений, что завершает доказательство. В Следствие 9.4. Для существования ненулевого решения у однородной наадра«аной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырохсдена. М Если матрица однородной системы невырождена, то, согласно следствию 9.1, однородная СЛАУ имеет только нулевое решение.
Если же матрица однородной системы вырождена, то ее определи«пель, являющийся в квадратной матрице единственным минором максимального порядка, равен нулю. Значит, ранг «матрицы системы меньше ее порядка и, следовательно, 254 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ меньше количества и неизвестных. Поэтому й = в — г > 0 и однороднал СЛАУ имеет нормальную фундаментальную систему из й > 0 решений (9.7). Каждое из этих решений является ненулевым (значение одного нз неизвестных в каждом решении равно единице).
)» Однородная СЛАУ (9.4) может иметь не только нормальные фундаментальные системы решений, но н другие фундаментальные системы решений. Оказывается, что утверждение следствия 9.3 имеет место не только для нормальной фундаментальной системы решений, но и для произвольной фунда ментальной системы решений, что и утверждает следующая теорема. Теорема 9.5, Если х(1)...
х(~) — произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ах = О, то любое ее решение х'можно представить в виде х = с,х(') +... + сьх("), (9.9) где 01, ..., сь — некоторые постоянные. Эту теорему называют теоремой о структуре общего решения однородной СЛАУ. Это вызвано тем, что, согласно теоремам 9.3 и 9.5, при заданной фундаментальной системе решений х(1), ..., х(") однородной СЛАУ (9.4) выражение х =01х +...+сьх (1) (ь) (9.10) где 01, ..., сь принимают произвольные значения, описывает все множество решений.
Соотношение (9.10) называют общим решением одмородмов СЛА У. ~ Пусть некоторое решение однородной СЛАУ Ах = О имеет вид х(0) *1 х(0) 2 (О) х» 255 9.5. Однородные системы Не ограничивая общности, опять будем предполагать, что базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. в первых г строках и столбцах. Тогда (см. доказательство теоремы 9.4) рассматриваемая однородная СЛАУ (9.4) имеет те же решения, что и система аых1+ а12хз+... + О1»хп = О, а21х1+ аззхз+... + аз»хо ге О, а»1х1+ а,зх2+... + аг„х„= О. которую можно записать в виде О11Х1 + О12Х2+...
+ О1у Ху — — О1 г+1Хг+! ° О1»Х»1 О21Х1 + О22Х2+... + О2~ Хг = — О2 га1Хга1 ° ° ° О2»Х» ! а 1Х1+ О»2Х2+... + Оггхг = — О„, +1Х +1 — ° ° ° — О Эта система, рассматриваемая как СЛАУ относительно базис- НЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ Х1, ..., Хг, ИМЕЕТ НЕВЫРОжДЕННУЮ МатРИЦУ, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ (9.4). Решая систему относительно базисных неизвестных (например, с помощью формул Крамера), получаем соотношения Х1 = О1,г+1яг+1+ .+ О!»Х»1 Х2 — Оз,г+1Х~+1+ ° ° ° + О2»х»~ (9.11) Хг = ОГ,Г+1ХГ+1 + ° ° ° + СГГПХП~ где еп Е яь — некоторые числа.
Запишем фундаментальную систему решений Х11), ..., х!") в координатной форме: х х() Х2 1=1,й, х~) 256 Ц СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ и составим из столбцов х, х(1), ..., Х(") матрицу х( ) х( ) х( ) Х1 Х1 " Х1 .( ) .(1) .(1) 2 2 ''' 2 (о) (П (1) х+ х„+ ... х„+ Последние й столбцов матрицы В образуют фундаментальную систему решений и, согласно определению 9.1, линейно независимы, а так как по теореме 8.9 ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то КЕВ > х.
Покажем, что Кн В ( й. Так как столбцы матрицы В являются решениями системы Ах = О, их элементы удовлетворяют соотношениям (9.11), т.е. — О1,г+1Хг+1 + + О1пяп ( ') ( ') ( ') Х2 = Ю2,г+1Хг11+...+ И2пХп (') К) (') (9.12) хг = сгг,г+1хг+1+ ° ° ° + сггпхп (') (') П) где 1= О,г. Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних х = и — г строк с коэффициентами о1 „+1, ..., о1п.
Тогда, согласно первому равенству из (9.12), получим нулевую строку. Аналогично преобразуем строки 2-ю, ..., г-ю, используя оставшиеся равенства (9.12). В результате этих преобразований мы получим матрицу, у которой первые г строк нулевые. Так как при этом ранг матрицы не меняется, то КнВ ( п — г = й.
Поскольку Кн В = й, а последние й столбцов матрицы В, как уже отмечалось, линейно независимы, то, согласно теореме 8.8, онн являются базисными и, следовательно, первый столбец х, 257 9.В. Неоднородные системы согласно теореме 8.7 о базисном миноре, является нх линейной комбинацией. Это означает, что существуют такие постоянные с; (й = 1, Ь), что выполнено равенство (9.9) > 9.6. Неоднородные системы Рассмотрим произвольную СЛАУ Ах = Ь. Заменив столбец Ь свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ Ах = О> соответствующую неоднородной СЛА У Ах = Ь.
Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ. Теорема 9.6. Пусть столбец хо — некоторое решение СЛАУ Ах = Ь. Произвольный столбец х является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление х = х'+ у, где у — решение соответствующей однородной СЛАУ Ау = О. М Если х — решение СЛАУ Ах = Ь, то А(х — хо) = Ах — Ах' = Ь вЂ” Ь = О. Поэтому столбец у = х — х' является решением соответствующей однородной СЛАУ, и мы получаем представление х = =х'+ф. Обратно, если у — произвольное решение соответствующей однородной системы, то х = х'+ у — решение системы Ах = Ь, так как А(хо+ у) = Ахо+ Ау = Ь+ О = Ь Следствие 9.5.
Пусть х' и хн — решения неоднородной системы Ах = Ь. Тогда их разность и = х' — хи является решением соответствующей однородной системы Ау = О. Теорема 9.6 сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной 258 в. систкмы линкйных урдинкний СЛАУ, достаточно знать одно ее решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ. Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме 9.1 Кронекера — Капелли), а во-вторых, найти частное решение х' этой системы, чтобы снести ее к однородной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
