III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Например, согласно теореме 6.3, с помощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ранг же слпупеннатой матрицы равен количеству ненулевых строк. Базисным в ней является минор, расположенный на пересечении ненулевых строк со столбцами, соответствующими первым слева ненулевым элементам в каждой из строк. Действительно, этот минор ненулевой, так как соответствующая матрица является верхней треугольной, алюбое его окаймление содержит нулевую строку. Поэтому приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк позволяет вычислить ранг матрицы.
Пример 8.8. Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Для этого достаточно привести матрицу к ступенчатому виду, воспользовавшись, например, алгоритмом из доказательства теоремы 6.3 (см. с. 178). Отметим, что вычисления удобно проводить, если текущий элемент равен единице. Поэтому операцию 2* алгоритма (перестановка строк) будем выполнять не только для замены нулевого текущего элемента (так было заложено в алгоритме), но также и для того, чтобы в качестве текущего элемента получить единицу или другое небольшое целое число. Отметим также, что можно в любое время умножать ту или иную строку матрицы на ненулевое число, в частности сокращать элементы строки 238 8.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ на общий множитель, хотя это и не предусматривается алгоритмом. Эта дополпительпая операция позволяет упростить вычисления: 2 — 2 — 4 3 1 О 1 — 1 — 2 1 — 4 2 — о з 1 -(ЕЯ2- 4 -3 -7 4 — 4 5 1 — 1 -2 1 -4 2 2 -2 -4 3 1 0 (2) -> (2) — 2(1) 0 1 1 -1 3 1 (4) -+ (4) — 4(1) 4 -3 — 7 4 -4 5 1 — 1 -2 1 -4 2 0 0 0 1 9 -4 0 1 1 — 1 3 1 0 1 1 0 12 -3 'с2) й~(3)] 1 -1 -2 1 -4 2 -К- ч4):И- 0 1 1 -1 3 1 0 1 1 0 12 -3 1 -1 -2 1 -4 2 Е-~ ~4ЯВ~~ 0 1 1 -1 3 1 0 0 0 1 9 — 4 1 -1 -2 1 — 4 2 0 1 1 — 1 3 1 0 0 0 1 9 -4 о о а о о о Полученная матрица ступенчатого вида имеет три ненулевые строки, поэтому ранг этой матрицы и, следовательно, матрицы А равен трем.
Базисным минором в последней матрице являц2,4 ется М,','з. 239 Воеросм н эаяечи 2 О 3 1 О 1 О 1 -1 2 -2 3 1 — 1 1 О 1 -1 =1~ О. Следовательно, он является одним из базисных миноров мат- рицы А. Вопросы и задачи 8.1. Для заданной матрицы выяснить, существует ли обратная матрица, и, если существует, найти ее: а);б);в)232;г)-14-1 Сделать проверку ответов. Замечание 8.1. Приведенные два метода существенно отличаются друг от друга. Прн нахождении ранга конкретной матрицы методом окаймляющих миноров может потребоваться большое количество вычислений. Это связано с тем, что метод требует вычисления определителей, порядок которых может возрасти до минимального иэ размеров матрицы.
Однако в результате будет найден не только ранг матрицы, ио и один из ее базисных миноров. При нахождении ранга матрицы методом элементарных преобразований требуется гораздо меньше вычислений. Причем разница в объемах вычислений возрастает с ростом размеров матрицы и усложнением ее вида. Но этот метод позволяет найти базисный минор лишь для матрицы ступенчатого вида, полученной в результате элементарных преобразований. Чтобы найти базисный минор исходной матрицы, нужны дополнительные вычисления с учетом уже известного ранга матрицы.
В примере 8.8, вычислив наудачу минор третьего порядка, стоящий в тех же строках и столбцах, что и в преобразованной матрице ступенчатого вида, получим 240 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МА ТРИЦЫ 8.2. При каких а Е В следующие матрицы имеют обратные: а) ; б) ; в) 2 3 а 8.3. Пусть А — невырожденнзл матрица. Что можно утверждать о виде матрицы А ' и (или) ее элементах, если матрица А является: а) единичной; б) диагональной; в) симметрической; г) кососимметрической; д) нижней треугольной; е) верхней треугольной? 8.4. Доказать, что матричное уравнение ХА = В с невырожденной матрицей А имеет единственное решение. 8.5.
Решить матричные уравнения: а) Х=; б)Х 8.6. Найти матрицу Х из матричного уравнения: а) А (Х вЂ” В ')А ' =(АВ) з; б) ВА(ЗХ+2В ) 'А ' = АВ 'А. 8.Т. Найти определитель матрицы А, если известно, что т 1 т А А = 4А 'А . Зависит ли он от порядка матрицы А? Привести пример матрицы второго (и-го) порядка, удовлетворяющей укаэанному равенству. 8.8. Какой порядок имеет невырожденная матрица, если она удовлетворяет условию Аз + ЗА = 9? 8.9. Методами окаймляющих миноров и элементарных преобразований найти ранг матрицы: 31 — 2 0 2 13 б) а) 12 1-1 55 0-2 4 3 -1 — 1 2 1 01 1 3-12 1 -1 -2 0 4 3-33 1 -1 1 0 11 241 Воиросм и задачи 8.10. При всех а б К найти ранг матрицы: а) 3 О 1; б) Π— 2 2; в) О 2а 1 8.11.
Доказать, что если для матриц А и В определено их произведение АВ, то всегда Кп(АВ) < щах(КпА, КяВ). 8.12. Привести примеры таких матриц А и В, что: а) Кя(АВ) < щах(К8А, КиВ); б) Кя(АВ) =щах(КиА, КяВ). 8.13. Пусть матрицы А и В имеют один и тот же тип. Всегда ли выполнены следующие неравенства: а) Кя(А+В) < КпА+КиВ; б) Ки(А — В) < КОА+КОВ? 8.14. Привести примеры таких матриц А и В, что: а) К8(А+В) < КОА+КОВ; б) Кя(А- В) < КОА+КОВ; в) К8(А+В) = КОА+КОВ; г) Кя(А — В) = КОА+КОВ. 8.15.
Доказать, что ранг матрицы А не изменится, если ее умножить слева (справа) на любую невырожденную матрицу. 8.16. Пусть А — квадратная матрица, элементы которой являются функциями, непрерывными на отрезке (а; о). Можно ли утверждать, что ранг этой матрицы является функцией, непрерывной на этом отрезке? Привести иллюстрирующие примеры.
8.17. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие условию: а) Хз = Е; б) Хз = -Е; в) Хз = 9; г) Хз = Х; д) ХХ =Е;е) Х Х= — Е. 8.18. Доказать, что если невырожденнал матрица А перестановочна с матрнцей В, то и матрица А ~ перестановочна с матрицей В. 8.19. Доказать, что если некоторал квадратная матрица А удовлетворяет равенству Аз — Аз + А+ Е = 9, то она невырожденная. Выразить матрицу А ~ через матрицу А с помощью многочлена второй степени. 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 9.1. Основньле определения Систпема тп линейных алеебраичесяих уравнений с п неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида ам х1 + вглх2+...
+ втп хи = 61, в21х1+ в22х2+... + а2пхп — 62~ (9.1) ат1Х1 + ап12Х2+ ° ° ° + атппяп Ь~п. Уравнения системы (9.1) называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть мноеочлен опт п переменНЫХ Х1, ..., Хп, а ЛИНЕЙНЫМИ ПОТОМУ, Чта Зтн МНОГОЧЛЕНЫ ИМЕЮТ первую сотепень. Числа в; б Е называют яоэффициентпами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексамн: номером уравнения 1 и номером неизвестного т'. Действительные чвсла 61, ..., Ь„, называют свободными членами уравнений. Запись СЛАУ в виде (9.1) будем называть яоординатпной. СЛАУ называют однородной, если Ь1 —— Ь2 = ...
= Ьн = О. Иначе ее называют неоднородной. Решением СЛА У, да и вообще всякой свстемы уравнений, называют такой набор значений неизвестных хт,...,х„', при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют ее частпным решением. Решить СЛАУ вЂ” значит решить две задачи: — выяснить, имеет ли СЛАУ решения; — найти все решения, если они существуют. 243 9.1.
Основнме определения СЛАУ называют соемествмоб, если она имеет какие-либо решения. В противном случае ее называют месоемесоэмоб. Однороднзл СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений ее неизвестных всегда является решением. Как показывает следуюший пример, для неоднородных СЛАУ возможны различные случаи. Пример 9.1. Рассмотрим трн системы двух уравнений с двумя неизвестнымн: х~+яз=3,, х~+хз — — 3,, х~+ хз=3, ~ х~ — хэ = 1; ~(я~ + хэ = 4; ~2я~ + 2хз —— 6.
С геометрической точки зрения уравнения каждой нэ этих СЛАУ задают прямые на плоскости х~Охз (рис. 9,1). Решениям СЛАУ соответствуют точкн пересечения указанных прямых. Складывал почленно уравнения в первой системе, получаем я~ —— 2, яэ = 1 — единственное ее решение. Геометрически это подтверждается тем, что соответствующие прямые пересекаются в единственной точке (2; 1) (рис. 9.1, а). Из уравнений второй системы следует, что 3 = 4.
Следовательно, эта СЛАУ несовместна, и геометрически это соответствует двум параллельным несовпадающим прямым (рис. 9.1, б). Наконец, третья СЛАУ такова, что второе ее уравнение является следствием первого: оно получается иэ первого умножением на 2. Рве. в.1 244 н системы линейных уРАВнений Геометрически это означает, что уравнения задают одну и ту же прямую (рис. 9.1, в). Следовательно, координаты любой точки этой прямой удовлетворяют каждому из уравнений системы, т.е. третья СЛАУ совместна и имеет бесконечно много решений.
Если СЛАУ (9.1) имеет решение, и притом единственное, то ее называют оаределенной, а если решение неединственное— то неоаределенноб. При т = и, т.е. когда в (9.1) количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадрангноб. 9.2. Формы записи СЛАУ Кроме координаганой формы (9.1) записи СЛАУ часто используют и другие ее представления. Рассматривая коэффиииеногы аб СЛАУ при одном неизвестном х как элементы столбца, а х как коэффициент, на который умножается столбец, иэ (9.1) получаем новую форму занеси СЛАУ: аы а12 а1» Ь, аг1 агг 122» Ь2 х1+ .
х2+ ° + . х»вЂ” Ь а а,1 нли, обозначая столбцы соответственно а1, ..., а„, Ь, (9.2) х1а1+...+ х„а„= Ь. Таким образом, решение СЛАУ (9.1) можно трактовать как представление столбца Ь в виде линейной комбинации столбцов а1, ..., а„. Соотношение (9.2) называют вемгггорноб эааисью СЛА У. Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (9.1) стоит сумма попарных произведении — так же, 245 9.3. Критерии соииестиости СЛАУ как и в произведении двух матриц. Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (9.1) можно записать так (см. пример 6.5): аы агг ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
