III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Матрица А может иметь несколько базисных миноров. Строки и столбцы матрицы А, в которых расположен выбранный базисный минор, называют баэисными. Следующую теорему, занимающую одно из центральных мест в теории матриц и ее приложениях, называют теоремой о базисном миноре. Теорема 8.7.
Базисные строки (столбцы) матрицы А, соответствующие любому ее базисному минору М, линейно неэависимы. Любые строки (столбцы) матрицы А, не входящие в М, являются линейными комбинаииями базисных строк (столбцов). й Доказательство проведем для строк. Пусть ранг матрицы А = (а; ) тииа тхн равен г. Фиксируем какой-либо ее базисный минор М и соответствующие ему базисные строки матрицы А.
Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим, что они линейно эависимы. Тогда по теореме 6.1 одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. Согласно свойству 7.5 определителей, минор М равен нулю. Это противоречит тому, что минор М базисный. Теперь докажем, что любая строка матрицы А, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. Предположим, не ограничивал общности доказательства, что базисный минор М расположен в верхнем левом углу 221 8.5.
Теорема о базисном микоре матрицы. Пусть 1 — номер строки, не являющейся базисной, т.е. г+ 1 < 1 < т. Покажем, что определитель порядка г+ 1 аы а~э ... аь. а~, аз1 азз .. ° а2 аяу 1 аы а„з ... а„„ а . а г а и ... а;„ а;. полученный добавлением к минору М элементов 1-й строки и произвольного у-го столбца матрицы А, у = 1, и, равен нулю. При у < г определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. Если же у > г, то Ь = О, так как в этом случае Ь является минором матрицы А, порядок которого равен г + 1 и больше ранга матрицы, Итак, Ь = О. Раскладывая определитель Ь по последнему столбцу, получаем равенство А~ „+~а~у + Аз,,+~азу +...
+ А„,+~ а„у + А, +ц„+~об — — О, в котором через Ац„+~, Аз „+~, ..., А„,„+~, А„+к„+~ обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов определигпеля. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера у, т.е. не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы А взяты в качестве последнего столбца определителя Ь. Кроме того, А„+ц„+~ = М ~ О.
Поэтому из последнего равенства следует, что для всех у = 1, п а; = й~а11+ вгазу+ ... + й„а„~, где коэффициенты йь = -Аь,,+~~А,+ц,+~, и =1,г, не зависят от у, а это означает, что 1-я строка (г+ 1 < 1< гп) матрицы А является линейной комбинацией первых г ее строк, т.е. линейной комбинацией ее базисных строк, ~ Следствие 8.2. Для того чтобы квадрагвкая магприпа была иевмролсдеииой, необходимо и достаточно, чтобы ее строки (столбцы) были линейно независимы.
232 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ ~ Необходимость. Если квадратная матрица А невырождена, то ее ранг равен ее порядку, а ее определитель является базисным минором. Поэтому все строки (столбцы) являются баэисными и по теореме 8.7 о базисном миноре они линейно независимы. Достаточность. Если все строки (столбцы) квадратной матрицы А являются линейно независимыми, то они являются базисными.
Действительно, если бы только некоторые из ннх были базисными, то, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, оставшяеся были бы линейными комбинациями базисных и, следовательно, строки (столбцы) матрицы А, согласно теореме 6.2, были бы линейно зависимыми. Так как все строки и столбцы квадратной матрицы А являются базиснымн, а им соответствует определитель матрицы, то он является базисным минором и, следовательно, согласно определению 8.4, отличен от нуля, т.е. квадратная матрица А невырождена. ~ Теорема 8.8, Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).
И Докажем теорему для строк. Зафиксируем произвольный набор из г линейно независимых строк матрицы, где г — это ранг матрицы. Нам достаточно показать, что хотя бы один из базисных миноров расположен в фиксированных строках. Отбросим остальные строки матрицы и докажем, что ранг новой матрицы, содержащей г строк, равен т. Так как новая матрица не имеет миноров порядка больше чем т, то ее ранг не может превосходить г.
Если бы он был меньше г, то только часть этих г фиксированных строк были бы баэисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являлись бы нх линейными комбинациями. Согласно теореме 6.2, последнее означало бы линейную зависимость фиксированных г строк, что противоречит условию теоремы. Итак, ранг новой матрицы равен г. Ее базисный минор имеет порядок т н является ненулевым минором порядка т исходной 233 аб. Вычисление ранга матрицы матрицы, расположенным в рассмотренных фиксированных т строках.
° Теорема 8.9. Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов). 4 Доказательстио теоремы проведем для строк. Согласно теореме 8.7 о базисном миноре, базисные строки линейно независимы. Следовательно, максимальное количество й линейно независимых строк матрицы не может быть меньше ранга г матрицы. Итак, й > г. Остается доказать, что й ( г. Отбросим те строки матрицы, которые не входят в число рассматриваемых Й. Тогда ранг полученной матрицы из й строк равен Е Действительно, если бы он был меньше Й, то только часть из зтих Й строк были бы базисными в новой матрице, а остальные, согласно теореме 8.7 о базисном миноре, являлись бы их линевными комбинациями.
Согласно теореме 6.2, зто означало бы линейную зависимость рассматриваемых й строк, что не так. Итак, ранг новой матрицы равен Й. Ее базисный минор имеет порядок Й в является не равным нулю минором порядка й исходной матрицы. Следовательно, й ( г. Ь Следствие 8.3. Для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк равно максимальному числу линейно независимых столбцов. 8.6.
Вычисление ранга матрицы Для вычисления ранен матрицы применяют два метода: метод окаймляющих миноров и метод злементарных преобразований. Метод окаймляющих миноров. Минор М' матрицы А называют омабмллющила для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового 234 Н ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ столбца матрнцы А. Ясно, что порядок окаймляющего минора М' на единицу больше, чем порядок минора М.
Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из баэисныя .пикаров матрицы н состоит в следующем. Выбирается ненулевой минор первого порядка (ненулевой элеаепт матрицы). К очередному ненулевому минору последовательно добавляются такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя, то последний ненулевая минор является базисным (что утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс рано или поздно закончится из-за ограниченных размеров матрицы.
Теорема 8.10. Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным. 4 Утверждение теоремы следует из доказательства теоремы 8.7 о базисном миноре. Тем не менее приведем доказательство теоремы 8.10 полностью. Не ограничивая общности доказательства, предположим, что минор М порядка г матрицы А = (а;,) отличен от нуля, расположен в верхнем левом углу матрицы А и все его окаймляющие миноры равны нулю. Рассмотрим минор аы а1з ..
аг„а1. аю азз ... аз„аз ' \ а„1 агз ... а„а„. ан а;з ... а;„а;. полученный добавлением к минору М элементов г-й строки и )-го столбца матрицы А. Он равен нулю при любых значениях 1 = г+1, т и 1' = 1, и. Если ( ( г, то Ь = О, поскольку этот определитель содержит два одинаковых столбца,. Если же у > г, то Ь = О, так как в этом случае Ь является окаймляющим для минора М. Итак, Ь= О.
235 б.б, Вычисление ранга матрацы Фиксируем для 1 любое из значений с+1, ..., т. Раскладывал определитель съ по последнему столбиу, получаем равенство А, „+,а,; + Аз,,+~ пай+... + А„,„ь1а„й + А,ьц„.ь1ау = О, в котором через Ац,~.1, Аз,„ем ..., А...~1, А,~ц,~.1 обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя. Отметим, что эти алгебраические дополнения не зависят от номера у, т.е. не зависят от того, элементы какого из столбцов матрицы А взяты в качестве последнего столбца определителя Ь. Кроме того, А,ьк„~.1 = М ~ О, Поэтому из последнего равенства следует, что для всех у' = 1, и а;. = 61а1 +6галу+...+6 а„., Пример 8.7. Найдем ранг матрицы 3 1 О 1 -4 2 — 1 3 1 4 — 4 5 2 — 4 1 -2 О 1 4 -7 где коэффициенты 6ь = -Аь,,~.1/А,<.ц,~.1, й = 1, г, не зависят от у, а это означает, что 1-я строка матрицы А является линейной ко,нбинаииеб первых г ее строк. Вычитая нз 1-й строки матрицы А линейную комбинацию первых г ее строк с коэффициентами 6м Ьз, ..., 6„, получаем нулевую строку, не меняя при этом ранга матрнцы А.
Проделав это для всех 1 = г+1, п1, получим матрицу с теми же первыми г строками, но нулевыми остальными строками. Ранг полученной матрицы равен рангу исходной матрицы А и, очевидно, равен г, так как в ней есть неравный нулю минор М порядка г, а любой минор с+1 или большего порядка будет иметь хотя бы одну нулевую строку и, следовательно, будет равен нулю. Это означает, что минор М является базисным в исходной матрице А.
в 236 н оирлтнля млтрицл и рлнг млтрицы На первом шаге выбираем любой ненулевой элемент матрицы, например левый верхний элемент, т.е. 2. Это ненулевой минор первого порядка. На втором шаге строим окаймляющий минор второго порядка. Добавляем 2-ю строку и 2-й столбец и вычисляем получающийся окаймляющий минор Это окаймление не подходит. Меняем 2-й столбец на З-й. Получаем минор второго порядка Это окаймление подходит.
Третий шаг: добавляем к этому минору 3-ю строку и можно снова попытаться использовать 2-й столбец. Оказывается, что 2 — 4 3 1 — 2 1 0 1 — 1 =4+3 †4 †2, значит, выбранный минор третьего порядка подходит. Четвертый шаг: добавляем 4-ю строку (других нет) и 4-й столбец н вычисляем определитель четвертого порядка 0 1 9 1-1 3 1 012 1,2,ЗД Выбранный окаймляющий минор не подходит. Меняем 4-й столбец на 5-й: 0 1-4 1-1 1 1 0 — 3 1,2,ЗД М1,'2,'З,'4 = 2 — 4 3 1 1 — 2 1-4 0 1 — 1 3 4 — 7 4 — 4 2 — 4 30 1-2 12 0 1-11 4-7 45 0 0 1 9 1-2 1-4 0 1 — 1 3 0 1 0 12 0 0 1 — 4 1 — 2 1 2 0 1-1 1 0 1 0-3 237 8.б. Вычисление ранга матрицы Итак, ненулевой минор третьего порядка М ' ' имеет два цг,з окаймляющих минора четвертого порядка и оба они равны нулю.
Других окаймляющих миноров четвертого порядка нет. цг,з Поэтому делаем вывод, что М~' ' — базисныи минор, а ранг матрицы равен трем. Метод элементарных преобразований. При элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы ее ранг, согласно теореме 8.6, не меняется. С помощью этих преобразований можно так упростить матрицу, чтобы ранг новой матрицы легко вычислялся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
