III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Как уже отмечалось, квадратную матрицу всегда можно привести элементарными преобразованиями строк к верхнему треугольному виду с сохранением ее определителя. Выполним над первыми и строками матрицы (7.10) такие элементарные преобразования строк, которые приводят матрицу А к нерхнему треугольному виду А' с сохранением ее определителя. Затем выполним над последними ти строками полученной матрицы такие элементарные преобразования строк, которые приводят матрицу В к верхнему треугольному виду В' с сохранением ее определителя. Отметим, что эти преобразования не зависят от элементов матрицы С и прн их выполнении определитель матрицы (7.10) не будет меняться, а сама матрица примет верхний треугольный вид ев'' где Ст — некоторая матрица таина ихш, получившаяся в результате преобразования матрицы С.
Согласно свойству 7.8, определитель матрицы В' треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов, которое в данном случае получается умножением произведения диагональных элементов матрицы А' треугольного вида, равного беФА', на произведение диагональных элементов матрицы В' треугольного вида, равного т1е$'В'.
Таким образом, дейв = ЙеФВ' = с1еФА'пей В' = Йе1 Абе1В. ~ Свойство 7.11. Определитель произведения двух квадратных матриц А, В б М„1л1) равен произведению их определителей, т.е. т1е$(АВ)' = де$Ат1е1В. 20Ь Т.З. Свойстве определителей ~ Пусть С = АВ. Рассмотрим две блочные матрицы М1= и Мз= где Š— единичная нагприиа порядка и. Из доказательства свойства 7.10 следует, что бе$М, = =беСМ =йейА бееВ =бе1Аое1В.
Для вычисления определителя йеФМз сделаем в матрице Мз и перестановок строк с изменением знака одной из переставляемых строк так, чтобы определитель при этом не менялся: 1н+ 1)-ю строку матрицы Мз умножим на -1 и поменяем местами с 1-й строкой; 1и+ 2)-ю строку умножим на — 1 и поменяем местами со 2-й строкой и т.д. и закончим умножением на — 1 последней строки и перестановкой ее с н-й строкой. В результате матрица Мз примет вид А С аы ... аго сы ... с1„ аы ... а1„ 0 ... 0 ае1 ...
аеп 0 ... 0 — о ь ... ь,„ а„1 ...а„„с„1 ...с„„ — 1...00...0 М2 = О ...— 1 Ь„...Ь„„ 0...-10...0 отмечаем, что первые н столбцов у них совпадают. и опять, как и выше, получаем, что де$ Мз = оеС Еое1 С = оеФС. Следовательно, беСМз = бе1 Мз = беСС = бес(АВ). Осталось доказать, что матрицу М| элементарными преобразованиями строк можно преобразовать в матрицу Мз, не изменив ее определителя. Записав матрицы М1 и Мз через их элементы х ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 206 В матрице М| к (и+ 1)-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на 6ы, 2-й, умноженный на 6ю, и т.д.
и закончим прибавлением и-го столбца, умноженного на 6„1. В результате в (о+ 1)-м столбце в строках о+1,...,2п образуются нули, а в остальных строках, например 1-й строке, 1= 1,...,а,— а1ь6ь =сп. Е Повторим аналогичные преобразования со столбцами (и+2)-м, (а+3)-м, ..., (2н)-м. В результате получим матрицу Мз, не изменив при преобразованиях определитель в силу свойства 7.6. Вывод: матрицы М1 н Мз имеют одинаковые определители и, следовательно, с1еЦАВ) = беСАбеФВ. ~ Т.З. Методы вычислении определителей При вычислении определителей применяютсл различные методы, основанные на свойствах определителей. Часто используемый метод состоит в преобразовании определителя к более простому виду, что мы видели в рассмотренных примерах.
Иногда удобно вычислять определители, комбинируя применение различных их свойств. Рассмотрим конкретные примеры. Пример 7.7. Вычислим определитель (в+ 1)-го порядка л с1 сз ... с„ сз я сз ... с„ с1 сз х ... с„ с1 сз сз 207 7.3. Методы вычисление определителей Прибавим к 1-му столбцу все остальные: х + 2; с; с1 сг ... с„ х + 2, с; х сг ... с„ х+~ с' сг сз 1выносим за знак определителя общий множитель х+ 2; с; и Се1 вычитаем из каждой строки, начиная с последней, предыдущую строку) = (х+ ~ с1) х — сг ...
0 0 ... х — с„ 0 0 0 ... 0 Х вЂ” С1 = (х+ 7 с;) сг — х х — сг ... 0 сп 0 1используем свойство 7.В) е е = (х+~ с;)П1х — с;). го 1 1=1 1 с1 0 х — с1 0 сг — х 1раскладываем по 1-му столбцу) сг .. с„ 0 ... 0 208 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пример 7.8. Вычислим циркулянт шестого порядка 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 б 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 Выполняя последовательно преобразования (6) -+ (6)-(5), (5) -+ -+ (5)-(4), (4) -+ (4)-(3), (3) -+ (3)-(2), (2) -+ (2) — (1), получаем 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -5 1 1 -5 1 1 — 5 1 1 (вычитаем из первых пяти строк шестую и раскладываем определитель по 1-му столбцу) 0 7 2 3 4 5 0 6 О 0 0 -6 060'0-60 0 б 0 -6 0 0 0 6 -6 О 0 0 1 — 5 1 1 1 1 (выносим общий множитель 6 из четырех строк и прибавляем к 1-му столбцу остальные) 21 2 3 4 5 О О О 0-1 0 0 0 — 1 0 0 0-1 0 0 0-1 0 0 0 64.21.
~ 7 2 3 4 5 1 0 0 0-1 1 0 0-1 О 1 0 — 1 0 0 — о о о 5 6 1 -5 -5 1 1 1 1 1 1 1 7 2 3 4 5 Б 0 0 0 -6 6 О 0 -6 0 6 0 -6 0 0 6 -6 О 0 0 209 7.3. Методы иычиелении определителей Основой одного нз нодходов является получение некоторого соотношения, связывающего значение определителя Ь„порядка и с определителями, например, той же структуры, но более низких порядков: Такого рода соотношения (7.11) называют рекуррентными (!], как и соответствующий метод вычисления определителей. Этот метод заключается в том, что сначала непосредственно по общему виду определителя вычисляют столько определителей низших порядков, сколько их имеется в правой части рекуррентного соотношения.
Далее, по общему виду определителя или с помощью рекуррентного соотношения вычисляют еще некоторое количество определителей низших порядков и подбирают вид их записи. Это делается для того, чтобы можно было уловить закономерность и записать формулу (в виде гипотезы), выражающую определитель Ь„непосредственно через его элеменгпы. Наконец, справедливость гипотезы при любом и доказывается с помощью метода математической индукции.
Общую формулу, выражающую определитель Ь„непосредственно через его элементы, можно получить и другим путем. Для этого в рекуррентное соотношение, выражающее определитель и-го порядка, подставляют выражение определителя (и — 1)-го порядка из того же рекуррентного соотношения с заменой и на (и — 1) и т.д. Пример 7.8. Вычислим определитель а-го порядка й1 х х ... х х х Йз х ... х х х х /сз ° ° х х х х х ... Й„1 х х х х ... х й„ 21О 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Представим элемент в правом нижнем углу в виде й„= = х+ (й„— х), а остальные элементы последнего столбца — в виде х = х+О.
Используя свойство 7.3 и учитывал указанные представления для элементов последнего столбца, разобъем определитель на сумму двух: /сс х х ... х х х Йз х ... х х х х йз " х х /с, х х ... х О х Йз х ... х О х х йз ... х О х ... й„, х х ... х х х х х ... /с„ 1 О х х х ... х Й„ — х х х х х В первом определителе вычитаем последний столбец из осталь- ных, а второй раскладываем по последнему столбцу йс — х О О йз — х О х О х + (й — х)Ь ы О О ... lс„ с — х х О О ... О х откуда Ь„= х(йс — х)... (й„с — х) + (й„— х)Ь„с.
(7.12) Полученный результат представляет собой рекуррентное соотношение для вычисления Ь„через Ь„1. Чтобы найти формулу для вычисления Ь„непосредственно через его элементы, начнем вычислять определители низших порядков и записывать их значения в такой форме, чтобы можно было уловить общую закономерность и высказать гипотезу о формуле для Ь„. Поскольку Ьс — — Щ = йс (здесь, очевидно, ~йс~ есть обозначение определителя первого порядка, а не модула), то выражение 211 7.3. Методы вычислении определителей для Ь1 можно представить в виде /1 1 ь1 — — х+(й1 — х) =х(Й1 — х) ~ — +— Далее, используя полученное рекуррентное соотношение, вычисляем значение для Ьз и выполняем необходимые преобразования: ьз — — х(й1 — х) + (йг — х) 1л1 —— Йз — х /1 = х(й1 — х) — +х(й1 — х)(йз — х) ( + Йз — х ~,Х Й1 — Х~ /1 — х(й1 — х)(йз — х) ( — + — +— ~х й1 — х Йз — х7 Анализируя выражения для Ь1 и Ьз, можно заметить следующую закономерность, которой подчиняется последовательность определителей Ь„, и Е Х: 11 1 1 Ь„=~(й~ — х)...(й„— 'х) ~-+ — + — +...+ — ~) = ~х й1 — х йз — * й„ вЂ” х/ = хп(й1-х) ь+~) В ) (7 13) 1 1 1-1 Формула (7.13) пока еще является гипотезой н ее нужно доказывать.
Воспользуемся методом математической индукции. 1. При и = 1 формула (7.13) совпадает с полученным ранее выражением для Ь1. 2. Предположим, что уже доказана справедливость формулы (7.13) для Ьз, ..., Ь„1. В частности, Ь„1 — — х(Й1 — х)...(Й„1 — х) х /1 1 Х ~-+ — + — +...+ ~1. (7.14) й1-х йз — * й„1 — х~ 212 И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3. Подставляя (7.14) в рекуррентное соотношение (7.12), окончательно имеем Ь„= Х(Й1 — Х)... (/Си 1 — Х) + (Йи — Х) Й ( 1 1 1 1 =(Մ— Х)Х(Х1 — Х) ...(1С» 1 — Х) — +-+ — +...+ ~,й„-Х Х Й1-Х '" /Си 1 — ХУ /1 1 = (й -х)."(й.— )~-+ — + — +...+ 1,Х Й1 — х йэ — х lси — хс Пример 7,10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
