III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 25
Текст из файла (страница 25)
6.10. Вычислить Агзвз, Азове, А н, если а) А=, б) А=, в) А= 6.11. Найти А", и = 2,3,..., если а) А =, б) А =, а б яь. 6.12. Построить пример ступенчатых матриц А и В, сумма которых не является ступенчатой матрицей. 6,13. Представить злементарные преобразования столбцов матриц как умножение преобразуемой матрицы справа на матрицы специального вида. 6.14. Вычислить значение квадратного трехчлена р(х) = = — 4хз + 2з + 3 для м атриц 1 -1 О а)А=; б)А= 3 2 -1 — 1 О 2 6.15. Найти произведение двух матриц, перейдя к блочным матрицам согласно заданному разбиению на блоки и вычислив произведение блочных матриц (см. пример 6.11).
182 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 6.18. При помощи элементарных преобразований привести к ступенчатому виду следующие матрицы: а) А= 2 1 1; б) А= 1 -2 -1 6.1?. Определено ли произведение АВ, если А — матрица- столбец, а  — матрица-строка? 6.18. Можно ли произвольную квадратную матрицу представить в виде суммы симметрической и кососимметрнческой матриц? Если такое представление существует, то единственно ли оно? 6.19. Для каких матриц А и В выполнено равенство: а) (А+ + В)г Аг+ 2АВ+Вг. 6) Аг Вг (А+ В)(А — В)г 6.20. Существуют ли матрицы А и В, удовлетворяющие равенству: а) АВ+В А =Е; б) А — В А =В? Т.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 7.1. Определители «-го порядка Мы уже познакомились с о«ределителаии второго и третьего «орядмов, которые использовали в векторной влгебре и при решении систем двух и трех линейных уравнений. Теперь мы приступаем к изучению определителей произвольного порядка. В теории таких определителей используются понятия перестановки, подстановки и их четности. Соответствующий материал подробно изложен в [1-4.51, а мы напомним только самые необходимые сведения.
Всякое расположение чисел 1, 2, 3, ..., «в определенном порядке называют «ерестимовмой нз в чисел. Иэ в чисел можно образовать и. 'различных перестановок. В общем случае перестановку записывают в виде иитрицы-строки а = (а1, аэ, ..., а„). Перестановку (1, 2, 3, 4, ..., и) называют морлвальмой. Два числа оц и а1 в перестановке а = (а1, аз, ..., ав) образуют ««версию, если а > а;, но при этом а; стоит в перестановке правее аз (т.е. 1 > у). Общее количество инверсий в перестановке а обозначают ~а~, и если это число четное, то перестановку называют че|вмой, а если оно нечетное— мечет«мой. Пример 7.1.
Определим, какова четность перестановки о = (4, 5, 1, 3, 6, 2), т.е. выясним, является она четной или нечетной. Для этого подсчитаем в а количество инверсий. Правее числа 4 стоят три числа, меньшие его: 1, 3 и 2. Следовательно, числу 4 соответствует три инверсии с числами, стоящими справа от него. Справа от числа 5 стоят также три числа, которые меньше 5. Следовательно, числу 5 тоже 7.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 184 соответствует три инверсии с числами, стоящими справа от него. Аналогично находим, что число 1 не образует инверсий с числами, стоящими правее его, числа 3 и 6 образуют по одной такой инверсии. Общее количество инверсий в перестановке а равно ~а~ =3+3+0+1+1 =8, те. четно. Следовательно, перестановка а является четной. ф Транспозициеб перестаноени называют такое ее преобразование, при котором в ней меняются местами какие-либо два элемента, а другие остаются на своих местах. Теорема 7.1. Любая транспозиция меняет четность перестановки. < Пусть транспозиция состоит в том, что в перестановке а меняются местами ее 1-й и у-й элементы, т,е.
а = (..., а;, ..., а1, ...) -+ (..., аз, ..., а;, ...), где многоточиями обозначены числа, сохраняющие свои места. Если числа а; и а являются соседними в перестановке, т.е. ,У =1+1, а= (" ° аа а1ч ° ° ) и образуют инверсию, то прн транспознцин зта инверсия исчезнет, а если ее не было, то она появится. Для любой другой пары элементов нэ перестановки нх взаимное расположение при транспозиции не меняется. Поэтому общее количество инверсий в перестановке при транспозиции изменяется ровно на единицу.
Следовательно, перестановка меняет свою четность. Если числа а; и а. стоят в перестановке через т промежуточных чисел, т.е. у =1+ т+1, а — ( ° ~ а1~ а1+1~ а1+2~ ° ° ~ а1+~п> а1~ .)~ то нх транспозицию можно реализовать с помощью последовательных транспозиций только соседних пар чисел. Действительно, число а; можно поменять местами последовательно с 185 7.1. Определители и-го передка >2'+1> «е'+2» " >2>+ > затем уже в перестановке ( ° ° > %+1» з>+2> ° ° > >2>+>а> се» <е1> .
) поменять местами с а., после чего число >21, уже стоящее слева от >2;, поменять местами последовательно с а1+, ..., >21+2, а;+1. В результате нужная перестановка ( » 21 > > >+1 > >З>+2 > ° > >2>+>о > О» ) будет получена за счет выполнения 2т+ 1 транспоэиций соседних чисел. Поскольку при этом четность перестановки каждый раз изменялась, а всего этих изменений было нечетное число, то в результате четность перестановки изменилась на противоположную. > кз двух перестановок (о1, оэ, " » зо) и (Р1> Рз» " Аз) одних и тех же чисел можно составить новый объект который называют «одет«амон«ой «-й степени.
Подстановку называют чет««об, если перестановки, из которых она состоит, имеют одинаковую четность, и «ече«2«ой в противоположном случае. Четность подстановки (7.1) совпадает с четностью числа ф(+ Ц вЂ” общего количества инверсий в строках подстановки, которое обозначают Ц. Транспозициеб подст«ановми называют любую перестановку ее столбцов. Поскольку транспоэиция подстановки вызывает транспозиции и в образующих ее перестановках, то, согласно теореме 7.1, очевидно, что транспозиция подстановки не меняет ее четность. Каждая подстановка вида (7.1) задает взаимно однозначное отображение множества чисел 1, 2, 3, ..., «на себя, при котором Д отображается в >21,,92 — в аз и т.д. В соответствии с 166 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ интерпретацией подстановок как отображений две подстановки считают равными, если они отличаются только порядком записи своих столбцов.
Например, подстановки 2 4 1 3 2 3 4 1 равны, так как вторая получается из первой перестановкой столбцов. Соглашение о равенстне подстановок позволяет записать любую подстановку так, чтобы первая строка являлась нормальной перестановкой.
Поэтому различных подстановок п-й степени имеется ровно п! Определение 7.1. Определитпелем порядка и, соответствующим квадратной матрице а11 012 ... 01» а 21 а22 . а2» (7.2) а»1 а»2 ... а„„ порядка п (определитпелем квадратной мапзрит1ы порядка и), называют сумму п1 слагаемых <1е2 А — ~( 1) а1»1а2»2 ..а»а > (7.3) » которая берется по всевозможным подстановкам вида Определитель матрицы А часто называют просто определитпелем, или детперминантпом, я обозначают ам а12 ...
а1„ а21 азз " аз» а»1 а»2 ... а„„ или 11е1А, называя А мапзриией этого определитпелл. 187 7. ь Определитеаи и-го порядка Определение 7.1 в частных случаях в=2 и а= 3 дает то же, что и введенные ранее в 2.1 определения. Например, при а = 2 из элементов матрицы аы агг можно составить только два указанных в определении произ- ведения аыагг и аггагм которым соответствуют подстановки пг = и аг = четная и нечетная соответственно, так как (ог) = О, а ргг~ = 1.
Поэтому, согласно формуле (7.3), с1еФА = ( — 1) аыагг+ ( — 1) аггагг —— аыагг — аггагг о 1 Каждое слагаемое в сумме (7.3) представляет собой произведение п элементов матрицы (7.2). При этом все сомножители находятся в разных строках и в разных столбцах матрицы, по одному в каждой строке (каждом столбце). В произведении сомножители упорядочены по номерам строк (другимн словами, по первому индексу), и этот порядок определяет знак слагаемого. Однако на самом деле выбранный порядок не является существенным.
Если мы изменим порядок сомножителей конкретного слагаемого, то подстановка, образованная номерами строк и столбцов сомножятелей, будет иметь тот же знак, что и подстановка, использованная в сумме (7.3). В частности, сумма (7.3) совпадает с суммой бегА=~~) (-1)~ ~ад,~ар,г...ад„„, которая берется по всем подстановкам т вида т= 188 х ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 7.2. Свойства определителей Поскольку определители соответствуют квадрап1ным матрицам, в их теорию легко переносится матричная терминология (порядок, элементы, строки, столбцы, диагональ, диагональные элеменп1ы, виды матриц и определителей, транспонирование, элементарные преобразования строк и столбцов, линейные комбинации строк и столбцов и др.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
