III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вычислим часто встречающийся в приложениях определитпель Вемдермомда и-го порядка (А.Т. Вандермонд (1735-1796) — французский математик): 1 1 ... 1 1 Х1 Хэ ... Хи 1 Хи Х»2 Х»2 ... Х»2 Х»2 1 2 ' ' и-1 и и-1 и-1 и-1 Х -1 Х1 2 ''' и-1 Хи Хи — Х1 Хи-Хэ Х» Хи-1 Х1(Х» — Х1) Х2(Х» Х2) ° ° ° Х» 1(Х» Х» '1) О »-1 Х» х1 (х — х1) хэ (х -хэ) .. х 1(х — х 1) О Хи-1 и-1 Хи-1 1 2 и-1 х»-1 » Последний столбец в последнем определителе умножим на стоящий перед определителем коэффициент, а затем разложим Все строки начиная с 1-й, но кроме последней, умножаем на хи и иэ каждой полученной строки вычитаем стоящую ниже строку.
Чтобы зти умножения не изменили определитель, запишем перед ним компенсирующий коэффициент 1/х"„1 и получим 213 7.3. Методы иычиеяеииэ определителей Х„-Х„1 Х„-Х1 Х1(х„-х1) Х2(Хи Х2) ... Хо-1(Хи Хо-1) Х1 (Хи Х1) Х2 (Хи Х2) ° ° ° Х 1(хи Хо — 1) выносим из каждого столбца по общему множителю: 1 1 ... 1 Х2 ... Х„1 Ь„= (х„- х1) (х„- х2)... (х„- х„1) -г -2 -г Х Хэ ... Х„1 Таким образом, приходим к рекуррентному соотношению »-1 Ь„= П(х„— х;)Ьо 1=1 Используя его, последовательно находим о-1 Ь„= П(х„-х1) Л„,= еи! о-1 о-2 П( „-х;) П(х„,-х;)Ь„2 1=1 1и1 1 о-1 о-2 П (Хи Х1) П (Хо-1 Х1) ~о-3 еи1 1=1 Продолжая эту редукцию и учитывая, что Ь1 =1, Ь2 — — Х2 — Х1, окончательно получаем определитель по этому столбцу.
В определителе (и — 1)-го по- рядка 214 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пример 7.11. Вычислим определитель в.го порядка 5 3 О О ... О 2 5 3 О ... О О 2 5 3 ... О О О О О ... 5 Разложим Ь» по 1-му столбцу: 3 О О ... О 2 5 3 ... О О 2 5 ... О Ь„=5Ь» 1 — 2 О О О ... 5 Чтобы вычислить Ь„при помощн этого рекуррентного соотношения, сведем соотношенне к формуле геометрической прогрессии.
Запишем полученное выражение в двух вариантах: 1'1» — 2Ь~-1 = 3(Ь»-1- 2Ь»-2), Ь» - 3~1»-1 = 2(Ь»-1- ЗЬ»-2). Тогда Ь»-1 2Ь»-2 = 3(Ь»-2 2Ь»-3) ~»-1 312» 2 — 2(~»-2 3111»-з) ° Подставив два последних равенства в предыдущие, находим 12» 2Ь»-1 = 3 (Ь»-2 21л»-з)~ Ь вЂ” ЗЬ -1=2~(1з -2 — ЗЬ -з) Разложим определитель (о-1)-го порядка во втором слагаемом по 1-й строке; В результате нолучим рекуррентное соотношение Ь» = 5~»-1-6Ь» 2.
215 Вопросм е задачи и, продолжая процесс, получаем Ь» — 2Ь» ~ =3" з(Ьз — 2Ь|), ,Ь» - ЗЬ»-1 = 2» '(Ьз - ЗЬ~). Исключим из двух последних равенств л» ~.' Ь» = (3» ~ — 2» ~)Ьз — 6(3» ~ — 2" ~)Ьм Так как Ь| — — ~5~ = 5, Ьз = —— 19, 5 3 2 5 то Ь» = 19(3» ~ — 2» ~) — 30(3" з — 2» з) = 3»+~ — 2»+~ Вопросы и задачи 7.1. Вычислить определители: б) а) 7.2. Не раскрывая определители, доказать равенства: 1 а Ьс 1 Ь са 1 с аЬ = (Ь- а)(с-Ь)(с- а); в1п~ а сов~ а сов 2а в1пз,3 совз)3 сов233 вшз 13 совз 13 сов 213 б) 7.3.
Записать циркулянт п-го порядка и вывести формулу для его вычисления в зависимости от числа и, воспользовавшись вычислениями из примера 7.8. 5 1 2 7 3 0 0 2 1 3 4 5 2 0 0 3 0 5 2 0 8 3 5 4 7 2 4 1 О 4 1 0 216 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Т.4. Элементы квадратной матрицы являются непрерывными функциями на отрезке 1а; Ц. Доказать, что ее определитель является непрерывной функцией на этом отрезке. 7.5.
Найти все кососимметрические матрицы второго порядка с нулевым определителем. Т,О. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. Верно ли это утверждение для кососимметрических матриц четного порядка? Привести соответствующие примеры. 7.7, Доказать, что — 1 -2 — 3 ... О 7.8. Доказать, что = (и — 1)! 1 1 1 ... и 7.9. Выясните, имеют ли решения следующие уравнения: 1 1 1 а) в1пх совх ех сов х — в)п х е =О; б) 1 еэх 2езх 1 2 3 ... и -1 О 3 ... п — 1 -2 О ...
п 1 1 1 ... 1 1 2 1 ... 1 1 1 3 ... 1 1 1 е-2х ех — 2е эх ех 8. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.1. Обратная матрица и ее свойства Определение 8.1. Пусть А — квадратная матрица порядка п. Квадратную матрицу В того же порядка называют обратпноб к А, если АВ = ВА = Е, где Š— единичная матрица порядка и. Обратную матрицу обозначают А 1. Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы А. А именно, для и ) О полагают А "= (А 1)". Теорема 8.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная. е Предположим, что матрица А имеет две обратные матрицы В и В'.
Тогда, согласно определению 8.1 обратной матрицы, выполнены, в частности, равенства АВ'= Е и ВА = Е. Используя ассоциативность умножения матриц, получаем В = ВЕ= В(АВ') = (ВА)В' = ЕВ'= В', т.е. матрицы В и В' совпадают. ~ь Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли даннал матрица обратную, позволяет следующий критерий. Теорема 8.2. Для того чтобы квадратная матрица А порядка и имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы с$еСА ф О.
218 я. ОБРАтнАЯ мАтРиЦА и РАИГ мАтРиЦы а; А; =деФА. Согласно свойству 7.9 определителей, для любых индексов й ф 1 выполнены равенства (7.8) н а;уАьу = О. 1~~ Рассмотрим теперь квадратную матрицу В порядка и тами Ь; = —. АН деФА' Матрица С = АВ имеет элементы с элемен- ум! д ФА д ФА ~! й=1, йф1, т.е. С вЂ” это единичная матрица. Аналогично матрица С' = ВА имеет элементы следовательно, матрица С' является единичной. ~ Необходимость. Пусть А Ф вЂ” матрица, обратная к А. Тогда деФ(АА Ф) = деФЕ = 1, но, согласно свойству 7.11 определипФелед деФ(АА Ф) =деФАдеФА ~. Поэтому деФАдеФА ~ = 1 и, следовательно, деФ А ~ О. Достаточность.
Пусть деФАф О. Рассмотрим алгебраическое дополнение А; = ( — 1)*+1М; матрицы А, соответствующее элементу а; (М; — минор этого же элемента). Согласно свойству 7 7 определителей, для любого 1 = 1,п выполнены равенства (7А) н К Обратнав матрица и еа свойства 219 Согласно определению 8.1, матрица В является обратной для А: В=А '. в Следствие 8.1. Если квадратная матрица А имеет обратную, то дес А 1 = (дес А) ~ Действительно, дес А ' дес А = де1(А 1А) = де1 Е = 1. 1ь Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют кевыромедеккой или кеособоб. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют еыромедеккоб.
Итак, для существования обратной матрицы А 1 необходимо и достаточно, чтобы сама матрица А была невы- рожденной. Теорема 8.3. Если квадратные матрицы А и В порядка к имеют обратные матрицы, то и их ироизеедекие имеет обратную матрицу, причем (АВ) 1 = В 1А ~. Ч В соответствии с определением 8.1 обратной матрицы достаточно доказать два равенства; (АВ)В 'А '=Е, (В 'А ')(АВ)=Е. Используя ассоциативность умножения матриц (см. 6.4), получаем (АВ)(В 'А ') =А(ВВ ')А 1=АЕА ' = АА ' = Е (В-'А-')(АВ) = В-'(А-'А) В = В-'ЕВ = В-'В = Е, что и требовалось доказать. ~ Теорема 8.4.
Если матрица А порядка к имеет обратную, т то и траксионироваккав матрица А имеет обратную, причем (.4') '=(А ')'. к Нужно убедиться, что А (А 1) = Е и (А ') А = Е. Ис- пользуя свойство произведения матриц относительно операции транспонирования, имеем А (А ~) =(А 'А) =Е =Е, (А ') А =(АА 1) =Е =Е. 220 8, ОВРАТНАИ МАТРИЦА И РАНГ МАТРИЦЫ 8.2. Вычисление обратной матрицы Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы. Первый вытекает из теоремы 8.2 и состоит в следующем.
Пусть дана квадратная матрица А порядка и. Матрицу А', транспонированную к матрице (А; ) алгебраических дополнений, называют присоединенной. Как следует из доказательства теоремы 8.2, если А — невырожденная матрица, то обратная к ней имеет вид А '= — А'. де1 А Таким образом, чтобы для квадратной матрицы порядка п найти обратную матрицу, надо вычислить один определитель порядка п и составить присоединенную матрицу, т.е. вычислить пз определителей порядка п — 1.
Метод присоединенной матрицы эффективен при п = 2 или и = 3, но при росте и становится слишком трудоемким. Пример 8.1. Выясним, имеет ли матрица обратную и если имеет, то найдем ее. Поскольку десА = — 2, матрица А является невырожденной и, согласно теореме 8.2, имеет обратную. Для ее вычисления последовательно находим А'=(),А=(), 2 -3 1 1,5 -0,5 Отметим, что для квадратной матрицы А второго порядка присоединенная матрица А' получается перестановкой в А диагонаяьных элементов и изменением знака двух других. 221 8.2. Вычисление обратной матрицы Проверка ответа выполняется в соответствии с определением 8.1 обратной матрицы: 3 4 1,5 -0,5 0 1 1,3 -0,3 3 4 0 1 Второй метод вычисления обратной матрицы состоит в преобразовании исходной матрицы к более простому виду с помощью элементпарных преобраэованиб стирок. Чтобы найти матрицу А 1, обратную к А, фактически надо решить матпричное уравнение АХ = Е.
Отметим, что если над матрицей А выполняется какое-либо элементарное преобразование строк, то это же преобразование осуществляется и над матрнцей АХ, поскольку любое элементарное преобразование строк матрицы эквивалентно умножению ее слева на соответствующую матрицу специального вида (см.
6.8). Таким образом, если в уравнении АХ = Е над матрицами А и Е одновременно выполнить какое-либо элементарное преобразование строк, т.е. домножить это равенство слева на некоторую матрицу специального вида, то в результате получится новое матричное уравнение А1Х = В1. Оба эти матричные уравнения имеют одно и то же решение, так как любое элементарное преобразование строк имеет обратпное элементпарное преобразование строк. Последовательность элементарных преобразований строк надо подобрать так, чтобы на в-м шаге матрица А превратилась в единичную матприиу. В результате этих в шагов получается уравнение А,Х = В„где А, = Е, т.е. Х = В,.
Итак, поскольку А 1 является решением уравнения АХ = Е, которое эквивалентно Х = В„то А 1= В,. Чтобы синхронно выполнять преобразования над матрицами в левой и правой частях матричного уравнения АХ = Е, записывают блочную магирииу (А)Е) и выполняют такие элементарные преобразования строк этой матрицы, чтобы вместо А получить единичную матрицу Е. 222 а ОБРАтнАЯ мАтРиЦА и РАНГ мАтРиЦы Пример 8.2. Продемонстрируем изложенный метод нахождения обратной матрицы для матрицы иэ примера 8.1. Для этого записываем матрицу (А~Е) и выполняем элементарные преобразования ее строк в следующем порядке: (2) -~ (2) — 3(1) 0 -2 -3 1 ( ) ( ) ( ) 0 ~~2~~ - ОД2Д«« /1 -2)-3 1) 1 1,5 -0,5 Таким образом, 1,5 -О,б 8.3. Решение матричных уравнений Мы рассмотрим два вида маизрииныг уравнений относительно неизвестной матирииы Х: АХ = В и ХА = В, где А и  — известные матрицы, причем машрица А квадратная и невыролсденнал.
Некоторую матрицу называют решением магаричного уравнения относительно неизвестнои матрицы Х, если при ее подстановке вместо Х матричное уравнение превращается в тождество. Начнем с уравнения АХ = В и изложим два метода его решения. Первый метод предполагает вычисление абраговой магарииы А 1 (например, при помощи ирисоединенной ма~ирины) и дает запись решения матричного уравнения в виде Х = А ~В. Действительно, подставляя Х = А ~В в уравнение АХ = В, получаем А(А |В) = В, т.е.
В = В, и Х = А |В является решением матричного уравнения АХ = В. Более того, это решение единственно, так как для любого другого решения Х' выполнено тождество АХ' = В, после умножения которого слева на 8.3. Решеиие мвтричиых уреаиеиий А 1 оказывается, что А ~(АХ') = А 1В, т.е. (А «А)Х'= Х н, следовательно, Х' = Х. Второй метод основан на элементпарных преобразованиях строк блочной матрицы (А~В) и имеет своей целью преобразование ее к виду (Е ~ В1), в котором вместо матрицы А стоит единичная матрица Е. Тогда матрица В1 и будет решением уравнении. Если матрица В совпадает с единичной, то в этом частном случае получается метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы. Пример 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
