III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ь1 и йз параллельны, ез но Ь~ МЬз Ь~ н 1,з пересекаются СФ Ь1 и Ьз скрещиваются Ф» Если две прямые заданы общимн уравнениями Ь1.. А1 х+В1 у+С~г+Р1 =О, Азх+Взу+Сзг+Рз=0, Ьз. Азх+Вгу+Сзг+Рз — — О, Аях+Вяу+Сяг+Р4=0, то мы можем рассмотреть систему уравнений: А1х+ Вяу+ С1г+ Р1 — — О, Азх+ Взу+Сгг+ Рз — — О, Азх + Взу+ Сзг+ Рз = О, Аях+ Вяу+Сяг+ Р4 = О.
(5. 17) Пример 6.6. Исследуем взаимное расположение прямых х — у — я+1=0, Ьз. х+у+2г — 2 = О. х — 1 у — 2 г+1 1: 1 3 — 2 Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (5.17). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.
Если прямые пересекаются, то зта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случал можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векгнорных произведения п1 хпг и пзхпя, где и, = (А;; В,; С;), 1= 1,2,3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. 140 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Направляющий вектор з| прямой Ь1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: з, = 11; 3; — 2). Направляющий вектор з2 прямой А2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является: й у х 1 — 1 -1 1 1 2 = -й — Зу+2х.
з2 = И1 ХЯ2 = Поскольку з1 —— — з2, то прямые параллельны илн совпадают. Выясним, какая из этых сытуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки Мо(1; 2; -1) е с 1| в общие уравнения прямой 12. Для первого из них получаем 1 = О. Следовательно, точка Ме не принадлежит прямой Ь2 и рассматриваемые прямые параллельны.
Расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая н плоскость могут пересекаться в одной точке. Онн могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой ы плоскости зависит от способа нх описания. Предположим, что плоскость х задана общим уравненыем и: Ах+ Ву+Сл+ В = О, а прямая Ь вЂ” каноническими уравне- ниями х — хе р †г †1 га и Уравнения прямой дают координаты точки Мо(хо, уе, 'ло) на прямой и координаты направляющего вектора з = (1; т; в) этой прямой, а уравненые плоскости — координаты ее нормального вектора 22 = 1А; В; С).
Если прямая 1, и плоскость к пересекаются, то направляющий вектор з прямой не параллелен плоскости к. Значит, нормальный вектор лл плоскости не ортогонзлен вектору з, т.е. нх скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой н плоскости это условие записывается 5.4. Взаимное расположение прлыык и плоскостей 141 в виде неравенства А!+ Вен+ Си ф О. А!+ Вт+ Сн = О.
Чтобы разделить случаи „параллельныа и „прямая принадлежит плоскости", нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости. Таким образом, все трн случая взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий: Ахо+ Вуо+Схо+ Р = О, А!+Вы+Си=О; Ахо+Вуо+ Схо+ Р 1 0 А!+ В~в,+ Сн = 0; Ь принадлежит х А параллельна я Т, пересекается с х ев А!+ Вен+Си ~ О. Если прямая Ь задана своими общнми уравнениями: Ь: А~х+ В1у+ Сгх+ Р~ = О, Азх+ Взу+ Сзх+ Рз — — О> то проанализировать взаимное расположение прямой и плоско- сти я можно следующим образом, Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим сис~вему 1нрех линей- ных уравнений с тремя неизвестными А1х+ В|у + С1х+ Р, = О, Азх + Взу + Сзх + Рз = О, Ах+ Ву+ Сг+ Р = О. (5.18) Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости.
Если она имеет единственное решение, то прямзл н плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее Если прямая н плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие я 1 та, которое в координатах сводится к равенству 142 л. пряМЛЯ И ПЛОСКоСтЬ В ПРОСтрлистВВ равносильно тому, что определитвель систпемы (5.18) Ат Вт С, Аз Вз Ся А В С отличен от нуля.
Наконец, если система (5.18) имеет бесконечно много решений, то прямал принадлежит плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Угол чт между прямой я †у — уо л †Ь. — = —— 1 тв и и плоскостью тс Ая+ Ву+ Сг + В = 0 находится в пределах от 0' (в случае параллельности) до 90' (в случае перпендикулярности прямой и плоскости).
Синус этого угла равен ~соеф~, где ф — угол между направляющим вектором прямой л и нормальным вектором тт плоскости (рис. 5.10). Вычислив косинус угла между двумя векторами через вх коордннаРис. 5.10 ты (см. (2.11)), получим ~А1+ Втв+ Св~ а1пЧт = ~совф~ я~+в'~-с 'Рт~~Р' Отсюда )А1+ Втв+ Сп~ <р = атса1п ~А ~В <.С~IРт ~+ Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов это условие записывается в виде двойного равенства А В С (5.20) 143 Б.Б.
Расстояние Ло плоскости и Ло примой 5.5. Расстояние до плоскости и до прямой Расстояние от точки до плоскости. Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость и и произвольную точку Мо. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор и с началом в некоторой точке М1 Е я, и пусть р(Ме,х)— расстояние от точки Мо до плоскости х. Тогда (рис. 5.11) о(Мо,п) = !пр„М11Мо! = 1пММ!, (5.21) так как )ть) = 1.
Если плоскость я задана в прямоугольной системе координат своим общим урав- нением я: Ах+Ву+Сг+В=О, Рнс. о.11 то ее нормальным вектором является вектор с координатами (А; В; С) и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать (А; В; С) нл ~-В ~.с Пусть (хо, уо', го) и (хы у1', г1) — координаты точен Мо и М1. Тогда выполнено равенство Ах1+ Ву1+Сг1+Р = О, так как точка М1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора М~Моь. ММо = 1хо-хы Уо-УП го г1) оюо 144 Б, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Записывая скалярное произведение таМ1М~ ов координатной форме и преобразуя (5.21), получаем ~ А(хо — х1) + В(уо — у1) + С(хо — я1) ~ р(М, к)— 'А ~-В +С ~ Ахо + В ус + Сго — (Ах1+ Вд1 + Схе) ~ ' А + В '~ <- С~ ~Ахо+ Вуо+ Сго+ Р~ ~А+~В~ +С поскольку Ах1 + Ву1 + Сг1 — — Р.
Итак, чтобы иычнслнть расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки М1(х1,у1,21) до прямой Ь, заданной каноническими уравнениями х — хо у — уо х — хо Ь: — = — =— 1 щ и Рнс. $,12 может быть вычислено при помощи веичнориозо произведения.
Действительно, канонические уравнения прямой дают нам точкУ Мо(хо,'Уо, .го) на пРЯмой и наиРавллюи1иб вектоР в = (1; т; и) зтой прямой. Построим параллелограмм на векторах в и МоМ1. Тогда расстояние от точки М~ до прямой Ь будет И равно высоте а параллелограмма (рис. 5.12). Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле 5.5. Рясстояиие до плоскости и до прямой 145 где числитель представляет собой площадь этого параллелограмма.
Используя формулы вычисления длины еектпора и векторного произведения векторов через их координаты, получаем (5.22) 1з+плз+пз Расстояние между прямыми. Если прямые пересекаются, то очевидно, что расстояние между ними равно нулю.
Случай совпадающих прямых также малосодержателен. Поэтому о расстоянии между прямыми имеет смысл говорить, только если они параллельны или скрещиваются. Два указанных случая с точки зрения вычислений заметно расходятся. Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, достаточно вычислить расстояние от произвольной точки, например, второй прямой до первой прямой, т.е. можно воспользоваться формулой (5.22). Таким образом, если две параллельные прямые заданы каноническими уравнениями х — х1 у — у1 г- г1 х — хз у — уэ г — гз 1~ пл1 п1 1з щз то расстояние между ними вычисляется по формуле И~в Ь|) = 11+ тп1+ п1 Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смепланмое произведение.
Пусть, как и выше, прямые Ь1 и Ьз заданы каноническими уравнениями. Так как 146 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРА НСТВЕ М, ~л1лгМ1Мг! Рис, $.13 ~Л1ХЛ2~ Записывал смешанное и векторное произведения в координатах, окончательно получаем 1 12 Х2 — Х1 1нг Пг У2 У1 22 — х1 Р(Ь1 Ьг)— Расстояние между прямой н плоскостью. Если прямая Ь и плоскость я пересекаются, то расстояние между ними равно нулю.
Если же они параллельны, то расстояние от прямой до плоскости есть расстояние от любой точки прямой до плоскости. Пусть плоскость задана общим уравнением я: Ах+ + Ь~у+ Сх+ В = О, а прямая — каноническими уравнениями х — хе У вЂ” Уе 2 — хе Ь ти и они скрещиваются, их направляющие векторы л1, лг и вектор Мгйгг, соединяющий точки на прямых, некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 5АЗ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
