III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти координаты центра масс треугольника с вершинами А(-1; 7; 4), В(13; 5; 2), С(7; -1; -4), если масса треугольника равномерно распределена по его площади. 3.15. На плоскости расположены три точки А(1+1;3 — 1), В(3 — й;6+21) и С(-1+1;1). Выяснить, при каких значениях параметра 1 иэ точки А не видна точка С. 3.18. Доказать, что в полярной системе координат расстояние между точками М~(р~, у~) и Мэ(рэ, уэ) вычисляется по формуле 4.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 4,1. Алгебраические кривые первого порядка Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в заданной прямоугольной системе коордннащ описываются алгебраическим уравнением первого порядка ах+ Ьу+ с = О, где хотя бы один из козффициентов а или Ь отличен от нуля'. Это уравнение называют также линейным уравнением. Теорема 4.1. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая. 4 Рассмотрим произвольную прямую Ь на плоскости.
Пусть точка МО(хе,уе) лежит на Ь, а ненулевой векпюр и = 1а; Ь) перпендикулярен этой прямой. При таких исходных условиях произвольная точка М(х;у) принадлежит прямой Ь тогда и только тогда, когда вектор МОЬ1 ортогонаяен вектору и (рис. 4.1). Зная координаты векторов МО ляа = л = (х — хе,. у — уе) и и, запишем условие ортогональности этих векторов через 90' их скалярное произведение: а(х — хе) + +Ь(у — уе) = О или ах+ Ьу+с= О, где ~0 с = -ахе — Ьуе Так как п уЬ О, то либо а~О, либо Ь~О.
Первое утверждение теоремы доказано. 1 Условие, что коэффициенты а и Ь одновременно ие обращввэтсв в нуль, коротко иоино эанисать так: а +Ьэ ус О. 105 я. Ь Алгебрвические кривые первого лорлялл Для доказательства второго рассмотрим произвольное уравнение первого порядка с двумя неизвестными ах+ Ьу+ с = О, аз+ Ьз ф О. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если а ф О, то решением уравнения является х = -с/а, у = О, Это значит, что геометрический образ уравнения является не- пустым и содержит какие-то точки. Пусть точка Ме(хе,уе) принадлежит указанному образу, т.е.
выполняется равенство ахо+ Ьуо+ с = О. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквивалентное исходному. Это новое уравнение после группяровки слагаемых примет вид а(х — ха) + Ь(у — уе) = О. (4.1) Нетрудно увядеть, что полученное уравнение представляет собой условие ортогональностн векторов и = (а;6) и МеМ, где М вЂ” зто точка с координатами (х; у).
Следовательно, если точка М(х; у) принадлежит геометрическому образу уравнения ах+ 6у+с = О, то вектор п ортогонален вектору Мел4, т.е. точка М лежит на прямая, проходящей через точку Ме перпендикулярно вектору и. ~ Определение 4.1. Уравнение вида ах+ 6у+ с = О, аз+ Ь~ ф О, (4.2) называют общим уравнением прямой. Из доказательства теоремы 4,1 следует, что коэффициенты а я Ь в общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют иормальиььм веиилором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.
Пусть прямая Ь задана уравнением (4.2). Если точка Мо(хо, уе) лежит на, прямой 1, то ее координаты удовлетворяют 106 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ уравнению (4 2), т е. ахо+ 6уо+ с = О. В любой точке М~(х1, ут), не лежащей на прямой Ь, значение левой части уравнения (4.2) равно ах1+ 6у~ + с = ах, + бу, — ахо — 6уо = = а(хт — хо) + 6(У1 — Уо) = езМоМ) ~ О. Знак скалярного произведения езМоХ~~ определяется углом между вектором МоМ~~ и нормальным вектором прямой тв. Если точки Мз и Мз расположены по одну сторону от прямой Ь (рис.
4.2, а), то, подставив их координаты в левую часть уравнения (4.2), мы получим значения с одним знаком. Если такая подстановка координат точек М1 и Мз приводит к значениям с разными знаками, то эти точкн лежат по разные стороны от прямой Ь (рис. 4.2, 6). Рис. 4.2 Пример 4.1. Выясним, как по отношению к прямой Зх — 4у+5 = 0 расположены точки А(4;4) и В(6;6).
Подставив координаты точки А в левую часть общего уравнения прямой, получим положительное число 1, а подстановка координат точки В приводит к отрицательному числу -1. Значит, точки А и В расположены по разные стороны от данной прямой. ф 4.3. Специааьеые виды уравнение лраыой 107 Уравнение (4.1) очень полезно при решении задач. Оно позволяет по координатам точки на прямой Ь и координатам нормального вектора прямой Ь записать уравнение прямой без промежуточных вычислений. 4.2. Специальные виды уравнении примой Кроме общего уравнения прямой на плоскости часто используют и другие уравнения прямой.
Это связано с тем, что, в зависимости от геометрического описания прямой на плоскости, ее уравнение может быть получено в некотором специальном виде. Кроме того, каждому виду уравнения соответствует свой геометрический смысл его коэффициентов, что также важно. Фиксируем на плоскости прямоугольнуи систему координат Оху. Ъ'равнение с угловым коэффициентом, Определим прямую Ь на плоскости, задав точку Мо(яо,уе) на этой прямой и угол ~р, на который надо повернуть против хода часовой стрелки ось абсцисс Ох до совмещения с прямой (рис.
4.3). Предположим, что ~р ф к/2. Точка М(к; у) принадлежит прямой Ь тогда и только тогда, когда вектор Мой составляет с осью Ох угол ~р или к — 1р, при этом отношение координат этого вектора равно с~у. Это условие можно записать в виде — = сбР. У вЂ” Уо Рис. 4.3 Находя у, приходим к уравнению у= йк+Ь, (4.3) где й = С~у; 6 = уо — хе 1Н р.
4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Уравнение вида у = йх+ 6 называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Параметр Й (угловой коэффициент прямой) равен тангенсу угла наклона прямой. Параметр 6 равен ордвнате гаечки пересечения прямой с осью Оу. Векторное н параметрические уравнения прямой. Определим прямую Ь на плоскости точкой Мо(хо., уо) на этой прямой и пемулевы.м вектором з = (1; т), параллельным ей (рис. 4.4). Такой вектор з называют каиравллюи4им вектором ирлмой Ь. Если точка М(х;у) принадлежит прямой Ь, то это эквивалентно тому, что вектор Моле коллинеарен вектору з, т.е. эти векторы принадлежат одному и Ь тому же пространству У1.
Так Мо как вектор з не равен нулевому, он образует базис в этом прострз,нстве У~. Следовательно, М для некоторого числа, 6 выполРис. 4.4 няется рз,венство МоМ = М. Воспользовавшись тем, что Мой = (х — хо, 'у — уо), з = = (1; т), запишем это равенство в координатах: < хо — Н1 у — уо=т~ нли Е х = хо+И, у=уо+тФ. (4.4) Уравнения (4.4) называют параметрическими уравнениями прлмой. Точка, М(хо,уо), лежащая на прямой, соответствует значению параметра 6 = О.
Если равенство Мой = М записать через радиус-векторы го и г точек Мо и М соответственно, то в результате получим 100 4.2. Специальные аиды уравнении праной ве«тпор«ое уровне«ие прлмоп т' — го = ьз, или г = т'о+те. (4.5) х — хо у — уо (4.6) Уравнение (4.6) называют «а«о«ичес«им уров«е«нем пр»- мо6. Это уравнение можно также получить, исключив из параметрических уравнений (4.4) параметр 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Зададим прямую Ь на плоскости двумя различными точками Мт(х,,ут) и Мз(хз, ут) иа ней. Тогда вектор МтМ2 параллелен Ь и ее каноническое уравнение (4.6) как уравнение прямой, проходящей через точку Мт(хт, Ут), с напРавллюшим вектоРом з = МтМзт, имеет виД х — хт у- ут хт — хт ут — у1 (4.7) Уравнение (4.7) называют уравнением прямой, проход»олен через две «зоч«и. Уравнение прямой в отрезках. Определим прямую Ь ее точками А(а, 0) и В(0, о) пересечения с осями координат, предполагал, что зти две точки не совпадают с качо»ем сисотемы координат, т.е.
что е ~ 0 и й 7й 0 (рис. 4.5). Записывая уравнение прямой Ь в виде (4.7) по двум ее точкам А и В, получаем х — а у — 0 0 — а о — 0 Каноническое уравнение прямой. Модифицируем вывод параметрических уравнений прямой. Коллииеариоствь векторов Мой и з, согласно следствию 1.1, эквивалентна равенству отношений их одноименных координат: 110 4.
ПРЯМАЯ ИА ПЛОСКОСТИ откуда -х/а+ 1 = у/Ь, илн — + — = 1. (4.8) х у а Ь Уравнение прямой (4.8) называют уравнением прямой в отпрезках. Нормальное уравнение прямой. Определим прямую 1 при помощи перпендикулярного ей единичного векпюра и и расстояния р > 0 до прямой от начала системы координат. Существуют два единичных вектора, перпендикулярных прямой Е. Из этих двух выберем тот, который имеет начало в точке О и направлен „в сторону примоя" Ь (рис. 4.6). Выбранный вектор и однозначно определяется своим углом <р с осью Ох, который отсчитывается против хода часовой стрелки.
Координаты вектора У и легко вычисляются через этот М угол: и = (сов~р; в1п~р). Условие, что точка М(х; у) А принадлежит прямой Ь, эквивалентно тому, что ортогональная Р О проекция радиус-вектора точки М на направление нормального Рнс. 4.6 вектора прямой равна расстоянию р от'точки О до прямои: пр„ОМ = р (см. рис. 4.6).
Проекция пр„ОМ совпадает со скалярны.и произведением векторов Олв и и, так как длина нормального вектора и равна единице, и это приводит к равенству О лйп = р. Записав скалярное произведение Ойвп в координатах, получим уравнение прямой 1, в виде (4.9) хсов~р+ ув1п ~р — р = О. 4.3. Взаимное раепоаопеппе двух прамых 111 Уравнение (4.9) называют нормальным уравнением прямой. Параметрами в этом уравнении являются угол у между нормальным вектором прямой и осью Ох и расстояние от начала, системы координат до прямой.
Общее уравнение прямой ах+ Ьу+ с = 0 можно преобразовать в ее нормальное уравнение делением на нормирующий множитель ~~~ее~+6г, знак которого выбирается противоположным знаку с. По абсолютной величине нормирующнй множитель представляет собой длину нормального вектора (а; Ь) прямой, а выбор знака означает выбор нужного направления из двух возможных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
