III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вопросы и эадачи 77 2.18. Доказать, что для любых трех векторов справедливо равенство (охЬ) хс = (ос)Ь вЂ” (Ьс)а, причем в его правой части в круглых скобках стоят скалярные произведения соответствующих векторов. 2.19. Доказать, что любые векторы а, Ь и с удовлетворяют соотношению ах(Ьхс) +сх(ахЬ) + Ьх(сха) = О.
2.20. Доказать, что для любых четырех векторов о, Ь, с и д выполнено тождество (ахЬ)(ехай) = (ас)(Ы) — (ааЮ)(Ьс). 2.21. Доказать, что если два вектора равной длины лежат на одной прямой и однонаправлены, то их моменты относительно любой точки равны между собой. 2.22. Доказать, что если частица массой т с электрическим зарядом я со скоростью е попадает в постоянное магнитное поле с магнитной индукцией В и векторы о и В неколлинеарны и неортогональны, то она будет двигаться по цилиндрической спирали.
Вычислить радиус основания соответствующего прямого кругового цилиндра и расстояние между соседними витками спирали. 2.23. Для каких векторов о, Ь и с выполнены соотношения: а) ~а — Ь| = )а+ Ь); б) )а — Ь! ) ~а+ Ь|; в) )а — Ь| ( ~а+ Ь~; г) аЬ= ~аЙЬ~; д) ~ахЬ|=.~аЙЬ|; е) аЬс= ~аиЬЙс~. 2.24. Найти все векторы х Е $~з, удовлетворяющие данному условию: а) ах=О; б) ахх=О; в) ахх=Ь; г) ахх=Ьхх. 2.25.
Какому условию удовлетворяют векторы а и Ь, если для любого вектора х Е Ъз выполнено равенство а хх = Ьхх. 2.26. Доказать, что для векторов а, Ь и с, удовлетворяющих условию о+Ь+с= О, выполнены равенства охЬ = Ьхс = сха. 2.27. Доказать компланарность векторов а — Ь, Ь вЂ” с и с — а. 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В основе аналитической геометрии лежит возможность однозначного описания точек при помощи наборов чисел, называемых координатами.
Описание множества с помощью соотношений между координатами входящих в него точек позволяет привлечь для его исследования алгебраические методы, что значительно расширяет возможности анализа. Обратно, зависимости (уравнения, неравенства и их системы) можно интерпретировать как зависимости между координатами точек и ассоциировать с ними множество, составленное из точек, координаты которых удовлетворяют этим зависимостям, и, следовательно, получить наглядное представление чисто алгебраической задачи (например, в случае поиска решений уравнений и их систем).
Таким образом, возникает своеобразный мостик, связывающий алгебру и геометрию, Его роль выполняет система координат. 3.1. Декартова система координат Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая геометрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Мы дадим определение прямоугольной системы координат, используя векторную алгебру. Фактически мы построим систему координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом.
Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми. Назовем декартовой (аффиииой) системой коордииит пару, состоящую из фиксированной точки О и некоторого 3.1. Декартова система кооряягат базиса. Соответственно трем проспвранствам Ув, Уз, 1з получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости и в пространстве. Декартпоеыми (аффинными) ввоординатпами произвольной тпочки М являются координаты вектора ОХ~ в заданном базисе. С декартовой системой координат связаны следующие понятия: — начало (еиетпемы) координапв — точка О в составе декартовой системы координат; — ретвер — базис в составе декартовой системы координат, для векторов которого выбирается общая овечка приловкенил в начале координат; оси координапв (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, задающие направление на этих прямых.
Оси ямеют специальные названия (в порядке нумерации): оеъ абсцисс, осъ ординатп и осъ аппликапв. Координаты точки именуются по осям: абсцисса, ординапва и аппликатпа. На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат. координатпные плоскоспви — плоскости, определяемые парами векторов репера. Понятие используется для декартовой системы координат в пространстве; радиус-вектпор точки М вЂ” вектор ОМ, соединяющий начало координат О с этой точкой. Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной сиспвемоб координавп. Если репер декартовой системы координат является орпвонормированным базисом, то такую систему координат называют декартпоеоб прямоугольной сиепвемой координата, или просто прлмоуголъноб систпемо6 координатп, а декартовы координаты точки — ее прлмоуголъными координапвами.
Далее будем использовать в основном прямоугольные системы координат, т.е. будем предполагать, что репер предста- а сиСГемы кООРдиНАТ 80 вляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в Уэ (т.е. на плоскости) называют краеььм (левььк), если первый его вектор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки, Итак, под систвемоб коордккокэ подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под коордикокэами тпочки — ее прямоугольные координаты. Использование других систем координат будет обязательно оговариваться. Для обозначения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозначения типа Оэук, где Π— начало системы координат, а э, у, и ортонормированный репер (базис), или Охух (1], где указаны обозначения для координатных осей.
3,2. Преобразование прямоугольных координат Все прямоугольные сисглемы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е. выбор одной иэ них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования коордвваго щочки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе. Пусть Оэуй — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О'э'у'к' — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис. 3.1).
Считаем, что известны координаты точки О'(Ь|, 'Ьэ, 'Ьэ) и векгворов ! / = (о11) оэп о31~~ у = (о12~ о221озэ)~ й — (о13~ оэз~ озэ~ в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (х;у;э) в старой и координаты (х',р';э') в 81 3.2. Преобразование лрвмоугоаьиых координат новой системах координат.
Это значит, что выполняются два равенства О'М = х'ао +у'2'+ «'й' ОХ~ = хй+ уз'+ гй. (3.1) Рис. 3.1 — -+ — Ф Векторы ОМ и 0'М связаны соотношением ОМ = 00'+ + 0'М, причем координаты вектора 00' являются также координатами качала координат 0' новой системы координат относительно старой, т,е. 00" = Ь1 г+ Ь22 + Ьзй. поэтому Ой1 = 00'+ 0 М = Ь11+ Ьд'+ Ьзй+ х 22+ у'2'+ х'й' = = Ь11+Ь22+Ьзй+ + х (ехий+ о212+ оз1й) + + У'(о1 2й+ ех222'+ оззй) + + х (о13а+ о232 + схззй) = = (сх11х +ех12У +а133 +Ь1)й+' + (о21х + озву + оззх + Ь2)2 + + (ехз1х + схззу'+ схззх + Ьз) й, (3.2) 82 3.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ т.е. получено разложение вектора ОЛ21 в репере старой системы координат. Опо должно совпадать с (З.Ц в силу единственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффипиенпгы разложений в (3.1) и (3.2), получаем * = оых + о1гу + о1зг'+ 6ы У = оггх'+ оггу'+ огзг'+ 6г г = озгх'+озгу +оззз'+ 6з. (З.З) Соотношения (З.З), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систиау трех линейных уравнений относительно неизвестных х', у', г'. Чтобы найти новые координаты х', у', г' по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых координат.
Система (З.З) при любых х, у, г имеет единственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что выполнены равенства ОЫ ОШ О12 ог1 о22 о23 оз1 аз 2 озз О11 О21 ОЗ1 огг огг озг О1З Огэ ОЗЗ х = х'+ Ь1, у=у'+Ь„ = '+Ь. (3.4) так как векторы г', у', к' образуют правый ортонор.нироеанный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1 (или -1 в случае левого базиса).
Набор коэффициентов ог в системе (З.З) отражает положение репера новой системы координат, а свободные члены 61, Ьг, 6з характеризуют изменение начала координат. Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобразования выглядят более просто: 83 3.2. Преобразование нрхноугоаьных ноордннат Преобразование (3.4) называют параллельным переносом системы «оординатп в пространспъве на вектор 00'. Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе координат в пространстве.
Прямоугольная система координат на плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две координаты. Преобразование системы координат на плоскости описывается уравнениями х = оп х'+ о12 у'+ 61, Д = о21х + о22Д + 62, (3.5) где (о1;,.о2;), 1 = 1,2, — координаты векторов Г, у' нового репера относительно старого (я,у), а (61,62) — координаты точки 0' начала новой системы координат в старой системе координат. Преобразование параллельного переноса системы «оординатп на плоскостпи выглядит так: х = х'+6м у=у'+6,.
х = оых + о12у, а l а Р У= о21х +о22У. (3.6) Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некоторый угол <р вокруг общего начала систем координат, причем полагают, что ~р > 0 (<р(О) при повороте против хода (по ходу) часовой стрелки. В этом случае преобразование (3.6) называют поворотном системы координата на плоскостпи на Если начала новой и старой систем координат на плоскости совпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид: 84 В. СИСТЕМЫ КООРДИНА Т угол у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
