III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Далее будет приведено и другое доказательство, более короткое, но и более формальное (см. 2.4), ИЗ. Векторное лроиэведеяие Обозначим а' = пр а, Ь' = пр Ь. Согласно свойству 5', векторное умножение этих векторов на вектор с заключается в их повороте на прямой угол в плоскости и. Согласно правилу па- е раллелогремма, сумма повернутых векторов получается из суммы исходных а'+ Ь' поворотом на прямой угол, или, другими словами, умножением на вектор Рис.
2.6 с (рис. 2.8). в Замечание 2.2. Доказанные свойства ассоциативности и дистрнбутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство лимебмоспзи еемтпорного произееденчаа относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя: ах(ЛЬ) = -(ЛЬ)ха = -Л(Ьха) = Л(ахЬ), ах(Ь+с) = — (Ь+с)ха =-(Ьха+сха) =ахЬ+ахс.
Пример 2.Т. Найдем площадь Я треугольника, построенного на векторах а =Зс — 2д и Ь= с+И при условии, что |с| =1, |д| = 4, а угол у между векторами с и д равен 30'. Для решения задачи воспользуемся формулой Я = 0,5 |ахь!. Используя алгебраические свойства векторного произведения, находим, что ахЬ = (Зс — 2д)х(с+И) = Зсхс+Зсхд — 2дхс — 2дхд = = Зохре+ 2схд = 5схд. Поэтому 5 = 05 |ах Ь| = 05 |5схд| = 25 |с| |д|лш у = 5. И ПРОИЗВЕДЕИИЯ ВЕКТОРОВ гх,у =й, зхй =я, йхй= 2, ухе= — й, йху = — Я, йхй = —,у. (2.13) В екторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нуль-вектору. Таблицу произведений (2.13) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройка векторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается у из исходного базиса я, у, й циклической перестановкой.
На рис. 2.9 этот порядок соответствует движению против хода часовой стрелки. При дви° женин на рис. 2.9 от первого сомнол жителя ко второму по ходу часовой стрелки в правых частях соответствующих равенств (2.13) появляется знак минус. Рассмотрим два вектора а и Ь, заданных своими координатами в ортонормнрованном базисе я, у, й: а = (х„. у,; я,), Ь= (х~, уз, яз). Тогда имеют место разложения этих еенторое я Рис. 2.9 а = з,у+у,з'+ я,й, Ь = х~й+ уьр'+ лей. Алгебраические свойства позволяют вычислить векторное произведение через координаты венгаоров и векторные произведения векторов, образующих базис. Наиболее просто соответствующие формулы выглядят в ортонорляированноля базисе.
Рассмотрим правый ортонормированный базис я, з, й. Векторные произведения всевозможных пар векторов базиса (всего 9 пар) выглядят следующим образом: 65 ИЗ. Векторное проиэведение Исходя из этих представлений и алгебраических свойств век- торного умножения, получаем а хЬ = (х,с+ у,у + «, lс) х (хьс+ уьу'+ «Ь3с) = = х,хьсх с+ х,уьсху + ха«ььх $с+ + уахЬу'хе+ у,уьу'ху+ уа«ЬЗ'хРс+ +«ахь1схс+ «,уь|сху+«.«Ь|сх(с= = (Уа«Ь УЬ«а)С+ («аХЬ вЂ” «ЬХа)э + (ХауЬ вЂ” ХЬуа)ЬС = уа «а . Ха «а . Ха уа уь Ь1 ~*ь ь хь уь с у й Ха уа «а хь уь «ь (2.14) ахЬ аа Пример 2.6.
Найдем все векторы, ортогональные векторам пь —— (3; 1; — 2) и пз —— 11; — 1; 1). Отметим, что векторы п1 и п«неколлинеарны, так как их координаты непропорциональны, например: 3 1 1 — 1 Совместим начала этих векторов в некоторой точке. Тогда существует единственная плоскость, содержащая эти векто- Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложения определителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы. Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна — из векторов. При вычислении определителя, умножение векторов на числа и сложение векторов выполняются по обычным правилам, введенным для этих линейных операций в гл.
1. Итак, формулу вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе с, у, Ь можно записать в виде 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ры. Искомое множество векторов, ортогональных данным, со- впадает с множеством векторов, перпендикулярных укаэанной плоскости, а зто множество совпадает с множеством векторов, коллинеарных векторному произведению й у Ь 3 1 — 2 1 -1 1 = -й — Ьу — 4Й. «1 х«1 —— Ответ: Л( — й — 5т' — 4Й), где Л б И. 2.4. Смешанное произведение Смешанное произведение отличается от скалярного и векторного произведений в первую очередь тем, что имеет три сомножителя, а ие два.
Обозначают смешанное произведение трех векторов о, Ь, с так. "ойс. Смешанное произведение имеет простой геометрический Теорема 2.2. Смешанное произведение трех некомпланорных векторов айс равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины, взятого со знаком плюс, если тройка векторов о, Ь, с — правая, и со знаком минус, если зта тройка — левая. < Вектор охЬ перпендикулярен грани указанного параллелепипеда, построенной на векторах о и Ь, и в силу свойства 2 векторного произведения (см.
с. 57) имеет длину, равную площади 5 этой грани (рис. 2.10). Обозначив через е единичный вектор, ортогональный векторам о и Ь и однонаправленный Определение 2.4. Сметно««ььм произееде«ием трех векторов о, Ь, с называют число, равное (охЬ)с — скелярному произведению векпторного произведения первых двух векторов и третьего вектора. 67 аа Смешаююое проаэведение с векторным произведением ахЬ, получим ахЬ= Яе. Смешанное произведение аЬс равно скалярному произведению вектора Яе на вектор с и равно Я~с~соа<р, где Рис.
2.10 ~р — угол между векторами ахЬ н с. Отметим, что число ~с~ сов~р равно проекции вектора с на направление вектора е, а его модуль, т.е. ~ )с~ совф, равен высоте Ь параллелепипеда. Знак проекции определяется углом у между с и е. Если р < 90', то векторы с и е находятся по одну сторону от плоскости векторов а, Ь. Значит, тройки векторов а, Ь, е и а, Ь, с имеют одну и ту же ориентацию правую, В этом случае смешанное произведение положительно и равно объему параллелепипеда со знаком плюс. Если же <р > 90е, то ориентация указанных троек различная, т.е. тройка а, Ь, с является левой, и смешанное произведение будет равно объему параллелепипеда со знаком минус. ° Замечание 2.3.
Если векторы а, Ь, с комп.аоиорны, то параллелепипед, построенный на них, вырождается (лежит в плоскости). Поэтому ему следует приписать нулевой объем. Непосредственно из определения заключаем, что для компланарных векторов а, Ь, с векторы ахЬ и с ортогональны, т.е.
(а хЬ)с = О. Значит, теорема верна и в случае, когда векторы компланарны. 4~ Как видно из определения, смешанное умножение векторов является вторичной операцией и определяется при помощи скалярного и векторного умножений. Однако смешанное умножение играет важную роль в геометрических приложениях, что и подтверждает теорема 2.2.
Исходя из этой теоремы, а также из свойств скалярного и векторного произведений, можно получить несколько важных свойств для смешанного произведения. 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1'. Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки: (ахЬ)с = (Ьхс)а = (сха)Ь= — (Ьха)с= -(схЬ)а = -(ахс)Ь. М Действительно, все шесть указанных произведений по абсолютной величине дают объем одного и того же параллелепипеда, а знак произведений определяется ориентацией тройки сомножителей. Прн циклической перестановке векторов в тройке ориентация не меняется, при перестановке местами двух векторов в тройке ориентация меняется на противоположную. ~ Замечание 2.4.
Из доказанного свойства получаем, что аЬс = (ахЬ)с = а(Ьхс), т.е. порядок двух операций, дающих смешанное произведение, не является существенным. Это объясняет, почему в обозначении смешанного произведения знаки образующих операций опускаются. 2'. Три вектора а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. ~ Это вытекает из теоремы 2.2 и замечания 2.3.
~ 3'. Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно умножения векторов на число: (Ла)Ьс = Л(аЬс). ~ Обозначив Ьхс = е и используя свойство 2 ассоциативности скалярного произведения относительно умножения на число, получим (Ла)Ьс= (Ла)(Ьхс) = (Ла)е = Л(ае) = Л(а(Ьхс)) = Л(аЬс). в» 4'. Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности (а1+ аг)Ьс = а1Ьс+ азЬс. а4. Смешанное нровэведенне ~ Обозначив Ьхс = е и используя свойство 3' дистрибутивно- сти скалярного произведения, получим (ад+ад)Ьс= (ад+аз)(Ьхс) = (ад+аз)е =аде+аде = = ад(Ьхс) + аз(Ьхс) = адЬс+ азЬс.
Замечание 2,5. Свойства 3' и 4' смешанного произведения сформулированы для первого сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичные утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенства а(ЛЬ)с = Л(аЬс), аЬ(Лс) = Л(аЬс), а(Ьд+ Ьз)с = аЬдс+ аЬгс, аЬ(сд+ сз) = аЬсд +аЬсз, и в итоге имеем свойство лммебмосддди смешаммоео ароиз- ееденил по каждому сомножителю. Замечание 2.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
