III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Однако сов90в = О, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. Ь Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векгаоров на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число: пр1(а+ Ь) = пр~а+ пр~Ь, нр1(Ла) = Лир~а. 1.Б. Линейное зависимость и независимость веиторов 27 ° 1 Доказательство следует из рис. 1.11. В случае а имеем пр1а = ~АВ~, пр1Ь= — ~ВС~, пр(а+Ь) = )АС~ = ~АВ~-~ВС~.
В случае б пр1а = ~АВ~ и, если Л > О, пр1(Ла) = )АЕ) = Л)АВ~. Остальные варианты (точка С не принадлежит отрезку АВ в случае а, Л < О в случае б) рассматриваются аналогично. > А К В 1 В Рис. 1.11 1.5. Линейная зависимость и независимость векторов о1а1 — о1о1+ + ооао1 Е 1м1 (1.1) ГДЕ О1, ..., Ои — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ДЕйетВИтЕЛЬНЫЕ ЧИСЛа. Эта выражение называют лккеккой комбккаикеб векпзоров а1, ..., а„, Числа о;, 1=1,п, представляют собой коэффк«кектпы линейкой комбикацки.
Набор векторов называют еще систпемоб вектпоров. Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для еектпорныя величин н преобразовывать их прн помощи установленных для зтих операций свойств. Исходя из заданного набора векторов а1, ..., а„, можно составить выражение вида 28 ь линейные ОпеРА Ции нАД ВектОРйми В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов о~, ..., а„. Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, н единственности такого представления.
Если каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов и притом единственным способом, то мы можем интерпретировать вектор как набор коэффициентов соответствующей линейной комбинации. Тогда взаимосвязи между геометрическими объектами— векторами — будут представлены некоторыми числовыми соотношениями, а мы получим возможность изучать свойства векторов и других геометрических объектов алгебраическими методами. Определение 1.8. Векторы аы ..., а„называют ликебмо зависимыми, если существует такой набор коэффициентов оы ..., жъ! что о~а~ +... + а„а„= О (1.2) и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой.
Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют лвмебмо мезаввсимымв. Если а~ — — ... = а„= О, то, очевидно, а~а~+ ... + а„а„= = О. Имея зто в виду, можем сказать так: векторы аы ..., в„линейно независимы, если нз равенства (1.2) вытекает, что все коэффициенты аы ..., а„равны нулю. Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином „зависимость" (нли „независимость"), и дает простой критерий линейной зависимости.
Теорема 1.3. Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных. 1.б. Линейная зависимость и независимость векторов 29 4 Необходимость. Предположим, что векторы О1, ..., а„ линейно зависимы. Согласно определению 1.8 линейной зависимости, в равенстве (1.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например О1. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство2 на ат, ПОЛУЧИМ О2 Ов О1 = — — О2- О1 О1 т.е. представление вектора а1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2, ..., а„. Достаточность. Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: О1 = 132О2+ ... +13„О„.
Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим О1 — Ф2О2 — " ° Аоо — — О, т.е. линейную комбинацию векторов а1, ..., О„с коэффициентами О1 = 1, О2 = -112, ..., О„= -11„, равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 1.8, векторы а1, ..., О„линейно зависимы. ~ Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов.
Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, У нас нет такой онерации „деление вектора на число". Поэтому формам но вместо „разделим равенство на число о1" мы должны были бы говорить „умножим равенство на число 1/о1". Однако подобная педантичность усложняет изложение, в то время как формально не определенное понятие деления достаточно очевидно.
зо Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ нужно вместо „векторы линейно зависимы" говорить „система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение „система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеется только один коэффициент, и он не должен равняться нулю). Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию.
Эту интерпретацию проясняют следующие три утверждения. Теорема 1.4. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они ноллинеарны. ~ Если векторы а и Ь линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = ЛЬ для некоторого действительного числа Л. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и Ь являются коллинеарными.
Пусть теперь векторы а и Ь коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая их линейная комбинация равна нулевому вектору. Пусть один из этих векторов не равен О, например вектор Ь. Обозначим через Л отношение длин векторов: Л = ~а~/~Ь|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными или противоположно направленными.
В последнем случае у Л изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = ЛЬ. Согласно теореме 1.3, векторы а и Ь линейно зависимы. ~ Замечание 1.5. В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется 'как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов.
Теорема 1.5. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они нонпланарны. ЬБ. Дииейивв вввисииость и неоввисювость векторов 31 о1 Если три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то, согласно 'теореме 1.3, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: тт = рЬ + ус. Совместим начала иеиторов Ь и с в точке А.
Тогда векторы 11Ь, ус будут иметь общее начало в точке А и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор а, будет представлять собой вектор с началом А и концом, являющимся вершиной параллелограмма, достроенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Пусть векторы а, Ь, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных.
Достаточно все коэффициенты линейной комбинацяи взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке О. Пусть их концами будут соответственно точки А, В, С 1рис. 1.12). Через точку С проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек О, А н О, В. Обозначив точки пересечения через А' и В', получим параллелограмм ОА'СВ', следовательно, — + — + ОС = ОА'+ О В'. Вектор ОА' и ненулевой вектор а = ОА коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное с число ос ОА'=оОА. Аналогично — Ф ОВ' = 0ОВ,,В б В.
В результате получаем, что ОС = аОА+ ~304, т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов а и Ь. Согласно теореме 1.3, векторы о, Ь, с являются линейно зависимыми. 1в Рис. 1.12 Теорема 1.6. Любые четыре вектора линейно зависимы. ~ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 1.5. Рассмотрим произвольные четыре вектора о, Ь, с и д. 32 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ОВ = ОА'+ ОВ'+ ОС'. Рис. 1,13 Остается заметить, что пары векторов ОА ~ О и ОА', 03 ~ 0 и ОВ', Ос," ф О и О~~ коллинеарны, и, следовательно, можно подобрать коэффициенты а, 13, у так, что ОА' = аОА, Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три нз четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы.
Например, если векторы о и Ь коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию аа+ рЬ = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную 0 линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты. Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не ивляются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О. Тогда концами векторов а, Ь, с, И будут некоторые точки А, В, С, В (рис.
1.13). Через точку В проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОСА, ОАВ, и пусть А', В', С' — точки пересечения этих плоскостей с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед ОА'С"В'С'В" ВА", и векторы е, Ь, с лежат на ребрах параллелепипеда, выходящих яз вершины О. Так как четырехугольник ОСЧЭС' является параллелограммом, то ОМ = А" 0 = ОС" + ОС~. В свою оче- С' ( В" редь, отрезок ОС" является диагональю параллелограм- В' с" ма ОА'С"В', так что ОС'= Ф ! О А А' = ОА'+ОВ'.
Значит, ОВ' = дОН и ОС~ = ~00. Окончательно получаем Следовательно, вектор Ох1 выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 1.3, линейно зависимы. ~ 1,б. Базис Аналогично трем моделям геометрии (геометрии на прямой, на плоскости и в пространстве) мы рассмотрим три множества свободных вектпоров, илн, как говорят, три пространства векторов: простпранстпво Ъ; всех коллинеарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой прямой, таростпранстпво т з всех компланарных между собой векторов, т.е. параллельныхнекоторой плоскости, и простпранстпво к всех свободных векторов. Рассмотрим пространство т1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
