III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Скалярные и векторные величины не исчерпывают всех возможных вариантов. Например, свойства кристаллических тел передавать теплоту и деформироватьсл под действием нагрузки не удается описать при помощи скалярных и векторных величин. Для таких свойств в физике и механике используют более сложные тензорные величины. Перейдем к строгим определениям и понятиям. Определение 1.1. Геометрическим вектпором (также кикравлеииым оквреэком) называют любой отрезок, на котором выбрано одно из двух возможных направлений (рис. 1.1).
Любой отрезок однозначно определяется своими концами, поэтому одно из двух возможных направлений для данного отрезка можно задать, указав порядок концов, т.е. от какого конца отрезка надо начать движение в заданном направлении, для того чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в его другой 14 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАЛ ВЕКТОРАМИ конец. Это позволяет определить геометрический вектор просто как упорядоченную пару точек: первую точку в паре называют кача вом геометпрического вектпора, а вторую— его конт1ом. Начало геометрического В вектора называют также тпочкот1 его «риложенил.
Обозначение геометрических векто- ров отражает указанную интерпрета- А цию: если точка А является началом геометрического вектора, а точка В— Рис. 1.1 его концом, то геометрический вектор обозначают АВ или Ас1. Второе обозначение явно подчеркивает, от какого конца отрезка к какому происходит движение в заданном направлении. В первом варианте направление определяется порядком букв, обозначающих концевые точки, а черта сверху предназначена для выделения геометрических векторов среди других геометрических объектов.
Важной характеристикой геометрического вектора АВ является его модуль, или длина, ~А11~, равный длине ~АВ~ отрезка, соединяющего его начало А и конец В. Длина геометрического вектора может выражаться любым неотрицательным числом. Геометрический вектор называют ненулевым, если его длина положительна. Длина, равная нулю, соответствует ситуации, когда начало и конец геометрического вектора совпадают. В этом случае геометрический вектор называют нулевым или нуль-вектпором и обозначают О. Если длина геометрического вектора равна единице, его называют ортпом или единичным. Для нуль-вектора понятие направления теряет смысл, так как начало и конец у него совпадают.
Однако такому геометрическому вектору удобно приписать произвольное направление, которое устанавливают в зависимости от конкретной ситуации. 1.2. Типы векторов и их взаимное расположение 15 1.2. Типы векторов н их взаимное располозкение Определение 1.2. Два геомеуприческпг векгпора называют коллинеарньани, если они лежат на одной прямой1 нли на параллельных прямых. Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них коллинеарен другому. Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы: — однонаправленные (или сонаправленные) коллинеарные геолаетричеекие векторы, имеющие совпадающие направления; — протнвоположно направленные комвинеарные геолаетрические векторы, имеющие противоположные направления.
Если коллинеарные геометрические векторы АМ и Слу не лежат на одной прямой, то точки А, В, С н Ю образуют четырехугольник, который является трапецией (рнс. 1.2). В случае однонаправленных геометрических векторов отрезки АС и В11, соединяющие соответственно два начала векторов и два их нонна, определяют боковые стороны трапеции (рис. 1.2, в). Если же эти геометрические векторы противоположно направленные (рис. 1.2, б), то отрезки АС и В11 являются диагоналями трапеции. По определению считаем, что нуль-векпюр коллинеарен любому другому. Определение 1.2 распространяется очевидным образом на любое число геометрических векторов.
Определение 1.3. Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. 1 Говерл, что геометрический вектор лежит на примой, мн подразуме. наем очевидную ситуацию, когда начало н конец вектора лежат на атой примой. 1б ь линейные ОпеРАЦии ИАД ВектОРАми с и В А Рнс.
1.3 Это определение теряет смысл, если его сформулировать дяя двух геометрических векторов, потому что любые два геометрических вектора лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. Однако можно говорить о четырех компланарных геометрических векторах или об их большем числе. Определение 1.4. Два геометрических вектора называют равными, если: — они коллинеарны и однонаправлены; — их длины совпадают. В соответствви с определением 1.4 равные геометрические векторы могут иметь различные точки прилозсенил, но задают одно и то же направление и имеют одинаковые длины. В этом случае, т.е. когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободныб вендор.
Термин подчеркивает, что точка приложения геометрвческого вектора может меняться пронзвольно. В дальнейшем для удобства свободные векторы мы будем называть просто веншорамн. Векторы обозначают одной строчной буквой с дополнительной чертой или стрелкой вверху: а или — + а . Распространенным является также обозначение вектора полужирным шрифтом а, которое в дальнейшем мы и будем использовать. Разный характер действия векторов в прикладных задачах приводит к необходимости рассматривать другие типы век- 17 Ь, а Типы ееетерее и их взавмное реепело~кение торов.
Например, вектор угловой скорости н вектор силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно перемещать только вдоль прямых, на которых они находятся. Такие векторы называют сколъзльььими вектпорами. Наконец, геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще свлэанными вектпорами. К ним относятся скорости в потоке жидкости или газа. Пример 1.1. В зависимости от учета тех или иных конкретных условий одну и ту же векпьорную величину иногда удобно рассматривать как свободный, скользящий или связанный вектор.
Например, вектор ускорения земного притяжения является связанным вектором, поскольку его модуль и направление зависят от расположения точки приложения относительно центра Земли. Поэтому при расчете траектории полета, например с Земли на Луну, его считают связанным вектором. Однако в задаче о движении снаряда при стрельбе на небольшую по сравнению с радиусом Земли дальность изменения вектора ускорения земного притяжения вдоль траектории снаряда незначительны и его принимают постоянным по модулю и направленным вертикально вниз, т.е.
считают свободным вектором. Учет кривизны поверхности Земли приведет к необходимости считать этот вектор уже скользящим, т.е. постоянным при перемещениях лишь вдоль радиуса к центру Земли. Замечание 1.1. Многие понятия, связанные с геометрическими векторами, переносятся и на свободные векторы. Так, говорят о начале (тпочке прилозкенил) вектпора, конце вектпора, модуле (длине) вектпора. Различают векьпоры ненулевые (включая единичные, илн ортпы) и нулевые (ну*ъ-векпьоры), векторы кол ьинеарные и вектпоры компланарные. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными (сонаправленными) и протпивоположно направленными. 18 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1.3. Линейные онерации и их свойства Над веком>раин можно выполнять различные операции. Свойства этих операций определяют правила преобразования выражений, содержащих вектлорные величины. Эти правила и составляют предмет век«зоркой алвебры. Обсуждение векторных операций начнем с двух из ннх— сложения векторов и умножения вектора на число. Эти операции часто объединяют общим термином лииедиые о«еремии. Определение 1.6. Срммоб а+Ь двух веиг«орое а и Ь называют вектор с, построенный по следующему «раеилр «арал ьелоерамма, Выбрав для векторов а и Ь общее начало, строим па этих векторах параллелограмм.
Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму (рис. 1.3). Замечание 1.3. Наряду с правилом параллелограмма существует равносильное ему «рае1ьио е«ререольиииа. Совместим начало вектора Ь с концом вектора а. Тогда суммой этих векторов будет вектор с, начало крторого совпадает с началом а, а конец — с концом Ь (рис.
1.4); Отметим, что если векторы а и Ь коллинеарны, то их сумму по правилу параллелограмма определить нельзя, а правило треугольника в этом случае применимо. Рис. 1.3 Рис. 1А ЬЗ. Линейные операции и их саейстиа Замечание 1.3. В определении 1.5 существует произвол в выборе точки приложения векторов. Чтобы определение было корректным, надо убедиться, что результаты, получаемые с различными точками приложения, равны между собой. Убедитесь в этом самостоятельно! Операция сложения векторов по своим свойствам напоминает операцию сложения чисел. 1'.
Сложение векторов коммутативно: а+ Ь = Ь+ а. 2'. Сложение векторов ассоциативно: (а+ Ь)+ с = а+ + (Ь+ с). Доказать это свойство проще всего при помощи правила треугольника. Выберем в качестве начала вектора а точку А (рис. 1.5), и пусть а = АВ. Совместим начало вектора Ь с а+(Ь+е) точкой В, и пусть Ь = Вд. Нае е конец, начало вектора с совме- ыС / стим с концом С вектора Ь, и г пусть тогда с = С11. Непосредственно из построРис. 1.5 ения получаем Л (а+ Ь) + с и А1) = АИ + ВВ = АВ + (ВС + СВ) = а + (Ь + с), АВ = АС" + СВ = (АЕ~ + ВС) + Се) = (а + Ь) + с, а Если складываемые векторы неколлинеарны, то свойство непосредственно вытекает нз правила параллелограмма, так как в этом правиле порядок векторов не играет роли.
Если же векторы коллинеарны, то их сложение сводится к сложению или вычитанию их длин в зависимости от того, являются ли складываемые векторы однонаправленными или противоположно направленными. ~ 20 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ т.е. ееомешрический вектор чО изображает и левую часть доказываемого равенства, и правую. ~ 3'.
Существует такой вектор О, что для любого вектора а выполняется равенство а + О = о. ~ Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что указанному условию удовлетворяет нулевой вектпор. Проверку удобно проводить прн помощи правила треугольника. ~ 4'. Для любого вектора а существует такой вектор Ь, что а+Ь= О. М Действительно, таким является вектор ( — а), мрогмивоаоложный к вектору а, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
