III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Отметим, что при доказательстве свойств смешанного произведения мы не использовали свойства векторного произведения. Наоборот, обоснование свойств векторного произведения можно строить на основе свойств смешанного произведения. Покажем зто на примере свойства дистрибутив- ности векторного произведения, доказательство которого мы обещали привести. Сначала обратим внимание на следующее. Если векторы хд и хз таковы, что для любого вектора у выполняется равенство (2.15) ду = хзу то хд = хз. Действительно, равенство (2,15) означает, что (хд — хз)у = О. Так как вектор у любой, мы можем положить у — хд хз ° Тогда получим (хд хз) — О~ но зто возможно только при хд — хз = О, т.е.
при хд = хз. Согласно доказанному, равенство (ад+аз)хЬ=адхЬ+азхЬ 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ то будет выполняться, если для любого вектора с ((аь+аз)хЬ)с= (аьхЬ)с+(алхЬ)с, или (аь + аз)Ьс = аьЬс+ азйс. Пусть векторы а, Ь, с заданы своими ноординатани в ортонормированном базисе: а = (х„у,; х,), Ь = (хь; уь, гь), с = = (х„у,; х,). Чтобы найти их смешанное произведение, воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений: аЬс = а(Ьхс) = уь хь ' хь хь ° хь уь ха Уи ха хь Уь гь х, у, уь ь хь гь + хь уь Согласно полученной формуле, свойство 2' смешанного произведения можно сформулировать так: необходимым и достаточным условием комплаиарности трех векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, является равенство нулю онределипьелл третьего порядка, строками которого являются координаты этих векторов.
Пример 2.9. Найдем объем треугольной пирамиды, построенной на векторах а = (-2; 1; -2), Ь = (1;О; — Ц и с = = (1; 1; 1) как на смежных ребрах. Трем векторам с общим началом можно сопоставить как треугольную пирамиду, так н параллелепипед, причем объем Но последнее равенство верно, так как выражает доказанное свойство 4~ дистрибутивности для смешанного произведе- ния. (Ь 71 2.Б. Приломенмя произведений векторов пирамиды будет в 6 раз меньше объема параллелепипеда, равного модулю смешанного произведения оЬс данных векторов. Итак, объем пирамиды равен К = ~ойс~/6 = 1, поскольку — 2 1 — 2 1 0 -1 1 1 1 2.5.
Приложения произведений векторов Рассмотрим различные приложения произведений векторов на следующих примерах. Пример 2.10. Работа А постоянной силы Р при прямолинейном перемещении материальной точки из положения М~ в положение Мз равна А = ~Г~ ~М1Мз~ сезар 1рис. 2.11, е). Поэтому с помощью скаллриоео ароизведекил зта работа вычисляется по формуле А=Ел, л=ММз. Рис. 2.11 Если к материальной точке приложено п постоянных сил Д, 1 = 1, и, то при том же ее перемещении сумма А их работ А; равна работе равнодействующей силы 72 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ поскольку А=~~ А;=~~) Дз=(~) Д)з=Гз. Из этого равенства следует, что система сил не сонершает работу, если их равнодействующая оргпогональна венгпору перемещения з. Ясно, что равенство А = Гз = О справедливо и в случае, когда равнодействующая равна нулю или отсутствует перемещение, или верно и то и другое.
Пример 2.11. Круговой диск вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг перпендикулярной ему оси вращения Ь, проходящей через его центр Р (рис. 2А1, б). Пусть и — скорость точки Р. Тогда и=мхОФ, где м — вектор угловой скорости. Пример 2.12. На движущуюся со скоростью и частицу с электрическим зарядом в магнитное поле с магнитной индукцией В действует с силой Лоренца у =вихВ. Если векторы и и В нвллинеарны, то ихВ = О и при постоянном магнитном поле частица будет совершать прямолинейное равномерное движение.
Если же векторы и и В неколлинеарны, то у ,-~ О, но мощность, развиваемая этой силой, равна нулю: И' = уи = в(и х В)и = виВи = О, поскольку смешанное произведение номпланарных вектпоров равно нулю. Следовательно, заряженнэл частица массой ш в постоянном магнитном поле сохраняет свою кинетическую энергию тпиз72. 73 Д. ИЛЬ Двойное векторное нронэнеденне Рассмотрим случай, когда векторы о и В ортогонзльны, т.е. еВ = О.
Поскольку и сила Лоренца у ортогонзльна В, то частица остается в плоскости, перпендикулярной вектору В, и двигается по окружности радиуса В, который определяется из условия равновесия возникающей при этом центробежной силы и действующей силы Лоренца, шез/Н= фихВ~ = у~и~)В~з1пЯО'. Отсюда Дополнение 2.1. Двойное векторное произведение Трем еектаорам а, Ь и с можно поставить в соответствие вектор, равный ах(Ьхс). Этот вектор называют двойным веккзоркым ароиэведекием векторов а, Ь и с. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике.
Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух иэ трех своих сомножителей по формуле ах(Ьхс) = Ь(ас) — с(аЬ). Докажем это. Обозначим через х разность левой и правой частей этого равенства х = ах (Ьхс) — Ь(ас) + с(аЬ). Нам достаточно показать, что х = О. Предположим, что векторы Ь и с колликеаркы. Если онн оба нулевые, то в выражении для вектора х все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равенство х = О выполнено. Если же один из коллинеарных векторов Ь, с ненулевой, например 74 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ с, то для другого вектора при некотором о 6 И выполнено равенство Ь = ос.
Но тогда к = ах(осхс) — ос(ас)+со(ос) = О. Предположим теперь, что векторы Ь и с пеколлинеарны. Тогда их векторное «роизведеиие не равно пулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору Ь. Векторы образуют «равый орщоиориироваииый баэис в Рз (это и отра- жено в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения вект«оров: Ь= |Ь!в, с=с1в+сзй, а =а14+азз'+азй, и поэтому Ьхс= -|Ь|сг1, ах(Ьхс) = -|Ь!сз(а1й — аз4). Кроме того, Ос = а1с1 азсз~ ОЬ = а1|Ь(, В результате находим, что н в случае неколлинеарных векторов Ь и с выполнено равенство к = -|Ь!сз(а1й — азъ) — (а1с1 — азсз)|Ь|ъ+ а1|Ь|(с14+ сэва) = О.
Вопросы и задачи 2.1. Вычислить определители: а) Ь |ЬГ 2 О 3 7 1 6 6 О 5 Ьхс 1= —, Й=гху |Ьхс| ' 1 1 1 б) 4 5 9 16 25 81 75 Вопросы и задачи 2,2. Решить уравнения и неравенства: 1 — х 39 и 0 2 — х 2 =0; б) 0 0 5+х а) х — 1 0 1 х 1 0 — 1 х < 3; г) =0; в) 0< 3 х — 4 2 -1 3 х+10 1 1 =0; е) > О.
д) 2,3, Найти все значения параметра $, при которых система двух линейных уравнений йх — Зу= 2, 2х+ ($ — 5)у= 5 имеет единственное решение. Найти зависимость этого един- ственного решения от параметра 1. 2,4. Доказать справедливость равенств: Ь а' Ь ) Л~~ Ь а1 Ь а1+а1 61 аз+аз Ьг а) а1 61 с1 6г аз Ьз сз а1 с1 Ь1 аз сг Ьг аз сз Ьз в) аг Ь1 с1 О Ь 0 0 сз аг 0 0 О Ь О 0 0 сз г) = а16гсз 2.5. Найти длину вектора с = а — 2Ь, если известно, что ~а) = 3, ~Ь~ = 5 и угол между векторами а и Ь равен 45'. ад аг аз 6г сг 61 с1 с 0 0 Ь О Ьз сз 1 1 1 хг 5 3 >О хз 25 9 г .3 — 1 3 4 2 — 6 6 2 х+2 -1 1 1 — 2 5 — 3 х 76 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.6. Найти угол между векторами с = а — 2Ь и Ы = За + 2Ь, если известно, что (а~ = 3, )Ь| = 5 и угол между векторами а и Ь равен 120'.
2.7. Найти значения параметра 1, при которых векторы с = а — 1Ь и д = а+ 1Ь имеют одинаковую длину. 2.8. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а = 24 — у+ЗЙ и Ь= й+З' — Й. 2.9. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 45', ~АВ~ = 1, (АС~ = 4. Найти угол между медианой и биссектрисой, которые проведены из вершины А.
2.10. Точки В1 и Вз принадлежат соответственно прямым Ь1 и 1,з, которые пересекаются в некоторой третьей точке + + А. Выразить через АВ1 и АВз векторы, направленные по биссектрисам углов между прямыми. 2.11. Найти угол между векторами е и Ь, если они имеют одинаковую длину, а векторы с = а — 2Ь и Ы = а+ ЗЬ ортогональны. 2.12.
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а = 4 — ч'+ЗЙ, Ь= 24+З вЂ” Й, с= Зй+З+2Й. 2.13. При каких значениях ~ векторы а = 6 — йзЗ + РЙ, Ь= 24 — у — Й, с = -44+ 2З+5Й компланарны. 2.14. При выполнении какого условия равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, будет направлена по биссектрисе угла между ними? 2.15. Найти работу силы Г = з+ Й при перемещении материальной точки на вектор а = Зй — 21'+ Й. 2.16. Найти угол между ненулевыми векторами а и Ь, если они удовлетворяют соотношению ~ахЬ~ = аЬ. 2.17. Векторы а, Ь и с некомпланарны, а векторы ах(Ьхс) и Ь коллинеарны. Найти угол между векторами а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
