III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 14
Текст из файла (страница 14)
3.4). 3.6. Поаирнаи система координат 97 Расстояние между точками О и О~ выбирают в качестве единицы масштаба. Ясно, что полюс полярной системы координат О, ее полярнал ось 1 и установленная единица масштаба однозначно определяют на плоскости положение точки О1. Поэтому выбор этой тройки геометрических объектов часто рассматривают как выбор конкретной полярной системы координат. Положение точки М в полярной системе координат фиксируется расстоянием р между точкой М и полюсом О, называемым иоллркьам радиусом, и углом у между полярной осью н вектором Оно — коллркым делом.
Полярный радиус и полярный угол составляют коллрные коордикаекы вточь М на плоскости, которые записывают так: М(р;у). Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси. Если значение угла положительно, то его отсчитывают против хода часовой стрелки, в противном случае — по ходу часовой стрелки (см. рис. 3.4). Для полюса р = О, а угол у не определен.
Для остальных точек плоскости р ) О, а полярный угол у определен с точностью до 2я. Поэтому для полярного угла иногда фиксируют промежуток его изменения, например ( — я,я], ( — я,я) или (0,2я). Координагпы точки на плоскости часто записывают как в полярной, так и в прямоугольной системах координат и используют преобразования этих координат друг в друга. Если нет специальных указаний, то при этом подразумевают следующее взаимное расположение прямоугольной и полярной систем координат (рис. 3.5): полюс полярной системы координат совмещен с началом прямоугольной д системы координат; полярная 'Р ось совпадает с положительной и х частью оси абсцисс, а масштаб в полярной системе для вычисле- Рнс.
З.Ь 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 98 ния расстояний берется равным единице длины в прямоуголь- ной системе координат. В этом случае прямоугольные коорди- наты (х; у) точки М на плоскости выражаются через ее поляр- ные координаты (р,у) с помощью соотношений (см. рис. 3.5) х = рсовнт, у = рвш<Р. (3.16) С учетом ограничения уб(-х,х) на полярный угол полярные координаты точки определяются через ее прямоугольные ко- ординаты следующим образом: у>0; у<0; у>О; у < О.
(3.1Т) Пример 3.6. Найдем полярные координаты точек М(3; 4) и Дг(-1; 1). Для точки М имеем: р = ~/34+ 4~ = 5, ~р = агс16(4/3), а для ° н — р=Д:+ц~Р=Л,т=,+„,~т[-ц=з ~4. З.Т. Цилиндрическая и сферическая системы координат Для введения цилиндричесттоб систпемы координатп в пространстве выберем плоскость Р и зафиксируем на ней некоторую полярную систему координат с полюсом О и полярной осью Ор. Через точку О перпендикулярно плоскости Р проведем ось Ох, выбирая ее направление таким образом, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Ох происходило против хода часовой стрелки (рис.
3.6, а). Фиксируем единицу масштаба для расстояния между точками. агсг6(у/х), тт +атее(у/х), -я + агс18(у/х), х/2, -и/2, х>0; х<0, х <О, х=О, х=О, 3.7. Цидиидричесивя и сферическая системы координат 99 Цилиндрическими координатами точка М в пространстве называют упорядоченную тройку чисел р, у, г, в которой (р; у) — полярные координаты ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а г — ортогональная проекция вектора ОМ на ось Оз (см. рис.
3.6, а). Координата р точки М равна ее расстоянию до оси Ог. Название этой системы (цилиндрическая) связано с тем, что точки с одинаковой первой координатой р образуют боковую поверхность неограниченного прямого кругового цилиндра радиуса р. Рис. ЗЯ х = реомюр, у = рв1п~р, г= г. (3.18) На рис. 3.6, б показано стандартное взаимное расположение цилиндрической и прямоугольной систем координат в пространстве. Плоскость Р совмещена с 1соординапзной плоскостью прямоугольной системы координат, проходящей через оси абсцисс и ординат, н в этой плоскости согласованы полярная и прямоугольная системы координат. Ось Оз цилиндрической системы координат автоматически совпадает с осью аппликап1. При таком взаимном расположении цилиндрической и прямоугольной систем координат прямоугольные координаты (х; у; г) точки М выражаются через ее цилиндрические координаты (р; ~р; г) с помощью равенств 3, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 100 Для нахождения цилиндрических координат по прямоугольным можно воспользоваться (3.17) с учетом того, что третьи координаты любой точки в этих системах совпадают.
С4ерическиа систпема коордикигп в пространстве вводится точно так же, как и цилиндрическая система. Отличие имеется лишь в определении третьих координат точек. Сферическими коордииотпами изочки М в пространстве называют упорядоченную тройку чисел р, у, д, в которой р — длина вектора Олл, у — полярный угол ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а д — угол, который образует вектор ОМ с положительным направлением оси Оз (рис. 3.7, а), Замечание 3.1.
Используют и другой иариант сферической системы координат, в которой в качестве угла д берется угол между вектором ОМ и плоскостью Р. 41 Отметим, что д б (О,я), а сферическая координата р точки равна ее расстоянию до точки О. Название системы (сферическая) соответствует тому, что точки с одинаковой первой координатой р образуют поверхность сферы радиуса р с центром в точке О. Рис.
3.7 Для стандартного взаимного расположения сферической и прямоугольной систем координат в пространстве (рис. 3.7, 6) преобразования координат имеют вид: я = ре1пдсоау, у = ря1пде)п у, (3.19) л = Рсовп Волрогэгя эадачи ~гРгр ~Р агссов ~э гртГ агс$3(у/х), х > 0; н+агсгб(у/х), х <О, у> О; — и+агсгб(у/х), х <О, у<0; х/2, х=О, у>0; -гг/2, х=О, у<0. (3.20) Вопросы и задачи 3.1. Доказать, что если уравнение хз+ху+ у — 1 = О записать в новых координатах х', у' с помощью преобразования координат * = огх'+ Ау' у озх +азу 1 то при ФО порядок уравнения не изменится.
Привести пример, показы- вающий, что при нарушении этого условия порядок может уменьшиться. 3.2. Найти преобразование координат на плоскости: а) прн параллельном переносе системы координат на вектор (-3;5); б) при повороте на угол -х/3. Замечание 3.2. В цилиндрической и сферической системах координат могут накладываться ограничения на возможные значения угла ~р, отмеченные выше для полярной системы координат, с тем чтобы этот угол определялся для каждой точки однозначно. Значение второй координаты уэ в этих системах для точек оси Ог не определено, и положения таких точек полностью определяются значениями двух других координат. 102 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 3.3.
Выяснить, задают лн формулы: а) х = х'+ у', у = х'— — У'; б) х = 0,5х' — ~ГЗу'/2, у = ~Г3х'/2+ 0,5у' поворот системы координат на плоскости. Если задают, найти угол поворота. 3.4. Найти расстояние между точкамн М1 и Мз, если они заданы своими полярными координатами РО1о1 и рз,уэ соответственно. 3.5. Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс в ее положительном направлении, вращаясь с угловой скоростью 1рад/с. В момент времени 1= 0 точка М окружности совпадает с началом системы координат. Доказать, что эта точка движется по никлонде х = а(1 — я1п $), у = а(1 — сов|).
Построить эту кривую. 3.6. Нарисовать на плоскости кривую, по которой движется точка с коордипатамн х = ьйп1, у = е1пз1. Прокомментировать зто движение точки. 3,7. Доказать, что множество точек на плоскости, произведение расстояний от которых до точек г) (-а; 0), гз(0; а) есть величина постоянная, равная а~, представляет собой кривую (лемнискапгу), которая описывается уравнением (хз+ у~)~ = = 2а~(хз — уз).
Записать уравнение этой кривой в полярной системе координат и построить кривую. 3.8. Что представляют собой множества точек в пространстве, равноудаленных от точек: а) А(0;0; — 10), В(0;0;10); б) А(1;1;0), В(-1; — 1;0); в) А(1;2;3), В(-1;-2;-3)7 Построить соответствующие геометрические образы и найти их уравнения. 3.9. Найти координаты центра масс системы четырех материальных точек одинаковой массы тл, расположенных на плоскости, если даны их координаты (5; 9), (1; — 7), (-4; -8), (2; 2), 3.10.
Найти объем четырехугольной пирамиды БАВСР, если в ее основании лежит параллелограмм АВСР и известны координаты вершин Я( — 5; 1;9), А(1;3;-7), В( — 4; -2;8), Вопросы и задаче С(-2;1;2). Чему равна высота этой пирамиды, опущенная из вершины Я? 3.11. Луч света, исходящий из точки А(-2;4) в сторону оси абсцисс, после зеркального отражения от этой оси прошел через точку В(4;12). Найти координаты точки отражения н точки пересечения луча с осью ординат.
3,12. Найти угол, под которым из начала прямоугольной системы координат виден отрезок, соединяющий точки В(4;10; 8) и С(2; 2;2). 3.13. Доказать, что два ортонормированных базиса в пространстве, имеющих одинаковую ориентацию, можно совместить друг с другом при помощи поворота вокруг некоторой оси. Найти вектор, задающий направление этой осн, и угол поворота,. 3.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
