III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пример 6.2. Найдем общее уравнение плоскости, которая проходит через точку с координатами (1;1;2) и отсекает от осей координат отрезки одинаковой длины. Уравнение плоскости в отрезках при условии, что она отсекает от осей координат отрезки равной длины, скажем а ф О, имеет вид х у — + — + — =1. а а а Этому уравнению должны удовлетворять координаты (1; 1; 2) известной точки на плоскости, т.е.
выполняется равенство 4/а = 1. Поэтому а = 4 н искомым уравнением является х+ +у+я-4=0. аЬС ф О, не лежат на одной прямой и задают плоскость, которая отсекает на осях координат отрезки ненулевой длины (рис. 5.3). Здесь под „длинами отрезков" понимают значение ненулевых координат радиус-векторов точек М;, 1= 1,2,3. Поскольку М~.Иэ У= (-а; Ь;0), М~МзУ вЂ” — (-а;0;с), М~Х~ = = (х-а; у; х), то уравнение (5.7) принимает вид 126 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Норманьиое уравнение плоскости. Рассмотрим некоторую плоскость к в пространстве. Фиксируем для нее единичный нормальный вектор и, направленный нз начала координата „в сторону плоскости", н обозначим через р расстояние от начала О системы координат до плоскости я (рнс.
5.4). Если плоскость проходит через начало системы р координат, то р= О, а в качел стве направления для нормально- О го вектора н можно выбрать любое нз двух возможных. Если точка М принадлежит плоскостня,тоэтоэквнвалентно тому, что ортогональная проекРис. в.в иия вектора Олл на направление вектора н равна р, т.е. выполнено условие тиО М= ар„Олт'=р, так как длина вектора п равна единице. Обозначим координаты точки М через (х; у", г) н пусть н = = (саво; совД совТ) (напомннм, что для единичного вектора ть его направллютаие косинусы сова, совд, сов у одновременно являются н его коордннатамн).
Записывая скалярное пронзведенне в равенстве нОй~ = р в координатной форме, получаем нормальное уравнение плосностпи х саво+ усову+ гсов у — р = О. Анаяогнчно случаю прямой на плоскости, общее уравнение плоскости в пространстве можно преобразовать в ее нормальное уравнение деленнем на нормнрующнй множитель. Для уравнения плоскости Ах+ Ву+Сх+ят = О нормнрующ г ~чА ХВ ~-с~, рого выбирается противоположным знаку Э. По абсолютной Б.З, Уравнения прямой в пространстве 127 5.3. Уравнения прямой в пространстве Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Если плоскости гг1'. А1х+В1у+Сгх+В1 — — О> кз. 'Азх+Взу+Сзх+Вз= О непараллельны, то пересекаются по прямой. Точка М(х; у; х) принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению каждой из плоскостей, т.е. являются решениями системы уравнений А> х+ Вгу+ Сгх+ 0г — — О, Азх + Взу+ Сия+ Эз — — О, (5,8) которую называют общими ураекекилми прямой.
Векторное уравнение прямой. Описание прямой в пространстве при помощи общих уравнений — не единственный способ. Прямую Ь в пространстве можно также однозначно задать любой ее точкой Ме и параллельным ей ненулевым вектором л. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называют капраел.вющим еектпором прямой. Если точка М принадлежит прямой Ь, то это эквивалентно тому, что вектор МеМ коллинеарен вектору л (рис. 5.5).
Тэк как л у~ О, то вектор л является базисом в пространстве $>г величине нормирующий множитель представляет собой длину нормального вектора 1А; В; С) плоскости, а знак соответствует нужному направлению единичного нормального вектора плоскости. Если плоскость проходит через начало системы координат, т.е. О = О, то знак нормирующего множителя можно выбрать любым. 128 а пРямАя и плОскОсть В пРОстРАнсТВе (5.9) с=ге+~в, которое называют ееягпорным уравнением прлмоб в про- странстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Предположим, что известны координаты (1;т;п) направляющего вектора в прямой Ь и точки Мо(хо' уо~ «о) с Ь в прямоугольной системе координат. Обозначим через (х; у; «) координаты произвольной точки М.
Критерием принадлежности точки М прямой 1, является условие коллинеарности векторов МеХ~= (х — хо', у — уо; « — «о) и в (см. рис. 5.5), что равносильно пропорциональности их координат (см. теорему 1.8). Обозначив через 1 коэффициент пропорциональности, получим равенства х -хе=И, у-уе =«т, « — «е = «п. Но тогда х = хе+И, у = уз+ т«, « = «О+пг, (5.10) и (5.10) называют пораметпричесянмн уравнениями прямоб в пространстве. Шесть коэффициентов в системе уравнений (5.10) имеют наглядный геометрический смысл: они представляют собой координаты одной точки на прямой, соответствующей 1= О, и координаты направляющего вектора прямой, который соединяет точки, соответствующие значениям параметра 1 = 0 и 1 = 1.
коллинеарных ему векторов. ПозтоМ Ъ му для некоторого числа $ выполням ется равенство Моля = ~в. Так как Мой=ОХ~ — ОМе — — г — ге где г и Рнс. б.в ге — радиус-векторы точек М и Ме соответственно, то условие М Е ь можно записать в виде урав- нення 129 Б.З. Уравнения орамой в простраястве Итак, если задана система трех уравнений вида (5.10), в которой хотя бы один из коэффициентов 1, гв, а отличен от нуля, то эта система определяет в пространстве прямую, причем тройка коэффициентов хо, уо, хо задает на прямой точку, а тройка коэффициентов 1, т, в представляет собой координаты направляющего вектора прямой. Канонические уравнения прямой в пространстве. Как и в случае прямой на плоскости, из параметрических уравнений (5.10) можно исключить параметр 1 и записать результат в виде х — хо у — уо х — хо (5.11) ! гв и Уравнения (5.11) называют маномичсскими уравнениями пр.ему в пространстве. Канонические уравнения представляют собой, по существу, другую форму записи условия коллинеарности векторов МоХ~ и л, состоящую в пропорциональности их координат (см.
следствие 1.1). В знаменателе канонических уравнений допускается нулевое значение. Чтобы понять смысл нулевых значений параметров 1, т, п, обратим внимание на параметрические уравнения прямой (5.10), в которых нет проблемы нулевых знаменателей. Например, при 1 = 0 из (5.10) следует, что х = хо. Мы видим, что если в канонических уравнениях один иэ знаменателей (или два, но не все три) равен нулю, то соответствующий числитель тоже равен нулю. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Каждая прумая в пространстве однозначно задается любыми двумя своими различными точками. Если известны координаты этих точек М1(х1,.у1, г1) и Мз(хз, .уз, .хз), то в качестве направляющего вектора прямой подходит ненулевой вектор М1Мз —— (хз — х1, 'уз — у1, хз — х1).
Зная его координаты и координаты точки М1 на прямой, можно записать канонические 130 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ уравнения прямой (5.11). В результате получим х — х1 у — уг х — х1 хг — хг уг — уг хг — хг уравнения ирлмой, проходлюцей через дее точки. Пример 5.3. Точки М1(1;2;3) и Мг(3;2;1) определяют проходящую через них прямую х — 1 у — 2 х — 3 3 — 1 2 — 2 1 — 3 Нуль в знаменателе второй дроби означает, что для координат всех точек прямой выполнено равенство у = 2. Позтому прямая расположена в плоскости у -2 = О, параллельной координатной плоскости хОх и пересекающей ось ординат в точке с ординатой 2.
Изменение формы уравнений прямой. Переход от канонических уравнений прямой к параметрическим и обратно достаточно очевиден и сводится к введению илн исключению параметра г. Одна форма уравнений непосредственно записывается по другой, так как в них используются одни и те же параметры, задающие координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора,. Пример 5.4. Найдем координаты точки В, симметричной точке А(2; 3; -1) относительно прямой х — 1 у+2 х — 1 1: 1 -1 2 В вычислениях будем опираться на следующее геометрическое построение точки В: а) через точку А проводим плоскость к, перпендикулярную прямой 1,; б) находим точку М пересечения прямой Е и плоскости я; в) отрезок АМ удлнняем до отрезка АВ так, чтобы точка М оказалась в середине отрезка АВ (рис. 5.6). 131 о.З. Уравненнв праной в пространстве Так как плоскость к перпендикулярна прямой Ь, то в качестве нормального вектора и плоскости можно выбрать нв правляющий вектор прямой Ь: и = 11; — 1; 2).
По известным координатам нормального вектора плоскости к и принадлежащей ей точки А записываем уравнение плоскости к в ви- Рвс. ь.в де (5.2): 1(х — 2) + (-1) (у — 3) + 2(х+ 1) = О. Чтобы найти координаты точки М пересечения прямой и плоскости по их уравнениям, запишем параметрические уравнения прямой Х' у=-2 — С, л=1+2С. х= 1+С, Подставив эти выражения для координат точки на прямой в уравнение плоскости, получим уравнение для параметра С (1+ С вЂ” 2) — ( — 2 — С вЂ” 3) + 2(1+ 2С+ 1) = О, х = 1 — 4/3 = -1/3, у = -2+ 4/3 ев -2/3, г = 1 — 8/3 = -5/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
