III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.8. Прямая, проходящая через точку М(1; 4) и не проходящая через начало системы координат, отсекает от первой четверти координатной плоскости треугольник минимальной площади. Найти ее уравнение, 4.9. Найти уравнение прямой, которзл касается окружности радиуса 2 с пентром в начале системы координат и проходит через точку М(3; 1).
4.10. Найти расстояние между прямыми: а) х = — 2+$, у = = 3+ 21 и 2х — у+ 8 = 0; б) х = 2 — 31, у = 1+ 1 и 2х + у+ 3 = О. 4.11. Найти координаты вершин квадрата по уравнению одной из его сторон Зх — 4у+ 20 = 0 и точке М(-3; 4) пересечения его диагоналей. 4.12. Найти угол между медианой и высотой треугольника АВС, выходящими из вершины А(1; -5), если известны координаты точки М(2; 1) пересечения его медиан и вершины В(5; 0). 4.13. Найти уравнение множества точек на плоскости, которые удалены от прямой (х — 2)/3 = (у+ 1)4 в два раза дальше, чем от прямой х =1 — 121, у =5+51. 4.14. Доказать, что медианы (высоты, биссектрисы) треугольника пересекаются в одной точке, 4.18. Найти площадь треугольника, если известны координаты его двух вершин А(1; 6), В(3; 8) и точки пересечения: а) медиан М(4; -4); б) высот Н(5; 0). 5.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 5.1. Алгебраические поверхности первого порядка Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет вид Ах+ Ву+ Сг+ В = О, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Окуз алгебраическую поверхность первого порядка. Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости — геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными. Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость.
< Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость к задана своей точкой Мо и ненулевым вектором п, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других — из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости. Какому из зтих множеств принадлежит произвольная точка М пространства, зависит от знака скалярного произведения пМеЛ$.
Если точка М принадлежит плоскости 1рис. 5.1, а), то угол между векторами п и Мой~ прямой, и позтому, согласно теореме 2.1, 120 их скалярное произведение равно нулю: тьМоМ = О. (5.1) Мз б Рис, 6.1 Если же точка М не принадлежит плоскости, то угол между векторами и и МоХ~ острый или тупой, и поэтому еМоМ ) О или тьМоХ~ ( О соответственно (см. доказательство теоремы 2.1), причем знак этого скалярного произведения один и тот же для всех точек, расположенных по одну сторону от плоскости (рис.
5.1, б). Обозначим координаты точек Мо, М и вектора в через (хо, 'уо, 'хо), (х; у; х) и (А; В; С) соответственно. Так как МоЛя" = = (х — хо, 'у — уо,' х — хо1, то, записывал скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.9) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов и и МоА~, получаем условие принадлежности точки М рассматриваемой плоскости в виде (5.2) А(х — хо) + В(у — уо) +С(х- го) = О. Раскрытие скобок дает уравнение Ах+ Ву+ Сх+ Р = О, (5.3) где Р = -Ахо — Вуо — Схо и хотя бы один из коэффициентов А, В, или С отличен от нуля, так как вектор та = (А;В; С1 Л.1.
Авгебрвические поверхности первого порвдкв 121 ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка. Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометрическим образом уравнения Ах+ Ву+ С«+ Р = О, Аз+ В«+ С« ф О, является плоскость. Выберем три числа (х = хо~ у = уо, « = «о), удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существуют. Например, при А ф О можно положить уо = О, «о = О и тогда хо = -Р1А. Выбранным числам соответствует точка Мо(хо; уо; «о), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ахи+ Вуо+ С«о+ Р = О следует, что Р = — Ахо — Вуо — С«о. Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ах + Ву+ С« — Ахо — Вуо — С«о = О, что равносильно (5.2). Равенство (5.2) можно рассматривать как критерий ортогонплъности векторов в = (А; В; С) и МоХ~, где точка М имеет координаты (х; у; «).
Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору п = (А; В;С), и не выполнен для остальных точек пространства. Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости. ~ Уравнение Ах+ Ву+С«+ Р = О называют обнанм уравнением н воскости, Коэффициенты А, В, С при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор и = (А; В; С) перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором илоскости. По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких— либо вычислений.
122 а пРЯМлЯ И плоскость В ПРОСтрлНСтвК Пример 5.1. Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-вектору точки А(2;5; 7) и проходящей через точку Мо(3; -4; 1). Поскольку ненулевой вектор ОА = (2; 5; 7) перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х — 3) + 5(у+ 4) + 7(» — 1) = О. Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоско- сти 2х + 5у+ 7»+ 7 = О. 5.2. Специальные виды уравнения плоскости Векторное и параметрические уравнения плоскости.
Пусть го и г — радиус-векторы точек Мо и М соответственно. Тогда МвМ вЂ” — г — го, и условие (5.1) принадлежности точки М плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно ненулевому вектору о (рис. 5.2, а), можно записать с помощью скаллрноео произведения в виде соотношения а(г — гв) = О, (5А) которое называют вектпормым уравнением плоскоспзи. о Рис. 5.2 Фиксированной плоскости в пространстве соответствует множество параллельных ей векторов, т.е. оросгаранстиво Кз.
а 2. Специальные виды уравнении плоскости 123 Выберем в этом пространстве базис еыег, т.е. пару неколлинеарных векторов, параллельных рассматриваемой плоскости, и точку Мо на плоскости. Если точка М принадлежит плоскости, то это эквивалентно тому, что ей параллелен вектор Моле (рис. 5.2, б), т.е. он принадлежит указанному пространству Уг. Это означает, что существует разложение вектвора Мола в базисе ет,ег, т.е. существуют такие числа 11 и 12, для которых 1Ю = 1т от + тгег Записав левую часть этого уравнения через радиус-векторы го и г точек Мо и М соответственно, получаем вектворное паралтетирическое уравнение плоскостви и = го+ 1тет+ 1гег, 1т,гг Е К. (5.5) Чтобы перейти от равенства векторов в (5.5) к равенству их кооРдинат, обозначим чеРез (хо1Уо, го), (х; У; 2) кооРдинаты таочек Мо, М и через (ет ', е1т, еге), 1ег, ег„, ег,) координаты векторов ет, ег.
Приравнивая одноименные координаты векторов т и го+1гет + 1гег, получаем паралтетврические уравнениа плоскостви х = хо+1теьт+ Цгег„ у = уо+11ет„+1гегт, г = го+1теы+1гег,. Плоскость, проходящая через три точки. Предположим, что три точки Мы Мг и Мз не лежат на одной прямой. Тогда существует единственнал плоскость н, которой эти точки принадлежат. Найдем уравнение этой плоскости, сформулировав критерий принадлежности произвольной точки М данной плоскости н.
Затем запишем этот критерий через координаты точек. Указанным критерием является описание плоскости и как множества тех точек М, для которых векторы МтМгг, МгМзт и Мтй компланарны. Критерием и о 124 н прямля и плоскость в прострлнствв компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (см. 2.4), Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты векторов в ортонормированном базисе. Поэтому, если (х;;у;;«;) — координаты точек М;, ! = 1,2,3, а (х;у; «) — координаты точки М, то М!Л$=(х — х!, у — у!, « — «!), М!Мз =(хз-х!1 уз-у!' «з-«!) М!Мз —— (хз-х!, Уз-у!, «з-«!) и условие равенства нулю смешанного произведения этих векторов имеет вид х — х! у-у! «-«! хз — х! У« — у! «з — «! хз — х! уз — у! «з — «! (5.7) Вычислив определитель, получим линейное относительно х, у, «уравнение, являющееся общим уравнением искомой плоскости.
Например, если разложить определитель по 1-й строке, то получим ! У2 У! «2 «! 1хз — х! «з — «!1 (х — х!) — (у — у!) + Уз-У! «з-«! 1хз х! «3 «! 1 хз-х! Уз-у! Это равенство после раскрытия скобок преобразуется к общему уравнению плоскости. Отметим, что коэффициенты при переменных в последнем уравнении совпадают с координатами векторного произведенил М!Мзх М!Мз. Это векторное произведение, будучи произведением двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости я, дает ненулевой вектор, перпендикулярный и, т.е. ее нормальный вектор.
Так что появление координат векторного произведения в качестве коэффициентов общего уравнения плоскости вполне закономерно. Рассмотрим следующий частный случай плоскости, проходящей через три точки. Точки М!(а;0;О), Мз(0;Ь;О), Мз(0; 0;с), Б.я Специальные виды уревиеиие плоскости 125 х — а у х -а Ь 0 -а 0 с Вычислив определитель, найдем Ьс(х — а) + псу+ айг = О, разделим полученное уравнение на айс и перенесем свободный член в правую часть, Рнс. в.э х у х — + — + — =1. а Ь с Это уравнение называют уравкекаеле еьлоскоскли в оукрез- ках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
