III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Нетрудно убедиться, что координаты векторов Г и у' новой го репера относительно старого выl 1О х' ражаются через угол поворота у1: У вч = (сов ~О; 81п ~р), у' = (- 818 1р; сов уО) о 1 х (рис. 3.2). Зная координаты векторов нового репера относительно старого, мы можем записать уравнения для поворота системы координат на плоскости: х = х сов 1р — у 81п д, ! / У = Х 81П 1Р+ У'СО81О. (3.7) Если преобразование состоит в последовательном выполнении поворота и параллельного переноса, то оно имеет вид; х = х~со81Π— у~8181р+ 61, у = х'81п ~7+ у сезар+ 68.
(3.8) Система (3.8) легко решается относительно х', у', и обратное преобразование координат, отражающее переход от новой сис- темы координат к старой, будет иметь вид: Х = Хсов~О+ув!ПРО+61, У = -х81п Р+Усовф+ бв, где 6' = 61сов~о+ 6881п~о, 6' = — 6181пд+бгсо81р. Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол 1р, но в противоположную сторону (на угол — у в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор 04). Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на некоторый угол ~р можно совместить лишь векторы 8 и 8', но при этом векторы 3 и ут окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.
З.З. Простейшие задачи аиалитичесиой геометрии 85 В первом случае о двух реперах на плоскости говорят, что они имеют одинаковую ориентпоцию, а во втором— пропзиеополозкную. Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют внд: Х = О11Х + О12У + О13Х, 1 Ф у = О21Х + О22у + О233 1 О31Х + О32У + ОЗЗХ " (3.9) З.З. Простейшие задачи аналитической геометрии рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, связанные со взаимным расположением точек на плоскости или в пространстве. Преобразование (3.9) называют поворопзом сиспземы координопз в проспзранспзве, если реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е. являются оба правыми нли левыми.
Как и в случае плоскости, это связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать с помощью поворотов. Например, можно сначала совместить ВЕКТОРЫ й И еч С ПОМОЩЬЮ ПОВОРОта СтаРОГО РЕПЕРа ВОКРУГ ВЕК- тора ахи, а затем выполнить второй поворот вокруг вектора 2' для совмещения повернутого вектора у с вектором 3'. При зтом векторы Й и Й' автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут противоположными для реперов противоположной ориентации.
В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобразования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами 2' и Зч). 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 86 Векторы и точки. Задача состоит в том, чтобы выразить координаты вектора через координаты точен его начала и нонна.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и вектор АХ1 с координатами (1; т;п1, у которого известны координаты точек его начала А(х„; у„; хв) и конча В(хь; уь; хь). Обозначим через О начало системы координат. Тогда координаты точек А и В представляют собой координаты их радиус-векторов ОМ и О.В. Следовательно, 04 — ОА = = (хь — х„; уь — у„; хь — г,) и из соотношения Ай) = 04 — ОА заключаем, что (11 т; н1 = (хь — ха, уь — уа, 'гь — ха), тль 1=хь — х„т=уь — у„а=хь — х,. (3.10) В случае прямоугольной системы координат на плоскости координаты вектора Ах1 = (1;т1 на этой плоскости и координаты точек его начала А(х,; у,) и конца В(хь, уь) связаны аналогичными соотношениями (3.11) 1 = хь — х„т = уь — у,.
Из (3.10) н (3.11) вытекают правила; — координаты вектора получают вычитанием из координат его конца координат его начала; — координаты конца вектора получают сложением координат вектора с координатами его начала; — координаты начала вектора получают вычитанием из координат его конца координат вектора. Деление отрезка в заданном отношении. Задача состоит в том, чтобы на данном отрезке М1 Мз найти точку М, делящую отрезок в заданном отношении: )МьМ~: ~ММз~ = р: д. Для точки М нз отрезка М1Мз векторы МьМ и ММз коллинеарны и однонаправлены (рис. 3.3). Следовательно, один из них может быть получен из другого умножением на поло- 3.3.
Простейшие эадачи аиааитичееиой геометрии 87 жительное число. Пусть, пав + =+ пример, Ммз — — АМ1М. Число Л равно отношению длин отрезков Ммз и М|м, т.е. Л = д/р. Поэтому м, Рис. 3.3 м,К=М, м+мм,=мя+ чм,=йч= р— +'м~, Р Р откуда М,М = — 'М,М,'. Р+д (3.12) оМ вЂ” ом = Р ~ом -ом ) Р+Ч и найдем, что Ой~= — "ОМ~+( — ' ')ОМ~= Р+Ч ~ Р+Ч/ Р ~ Ч ~ Р ..
Ч = — Омз+ — ОМ~ — — — (хз' нз'хз)+ — (хП Р1 еД = Р+Ч Р+Ч Р+Ч Р+Ч рхз+ дх1 Руз+ ЧУ1 Риз + дя1 Р+Ч Р+Ч Р+Ч Итак, если обозначить координаты точки М через (х; у; я), то х= рхз+дх1 руз+ду1 рхз+дх1 и=, х= . (3.13) Р+Ч Р+Ч Р+Ч Пусть концы М1 и Мз отрезка М1мз заданы своими координатами в произвольной прямоугольной системе координат Ог37е в пространстве: М~(ХП у1, я1), Мз(хз, уз, лз). Найдем координаты точки М в этой же системе координат. Для этого запишем равенство (3.12) через радиус-векторы входящих в него точек 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 88 Если точка М вЂ” середина отрезка МгМг, то р = д = 1, и поэтому из (3.13) следует, что координаты М равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка, т.е.
хг+хг уг+уг хг+хг х= —, у= 2 ' 2 ' 2 г= В случае плоскости нет аппликат и из (3.12) следует, что координаты точки М(х; у), делящей отрезок МгМг в отношении ~МгМ): ~ММг~ = р: д, определяются через координаты точек Мг(хг>уг) и Мг(хг', уг) концов этого отрезка с помощью равенств Рхг + Чхг Руг + Чуг Р+Ч Р+Ч которые для середины отрезка переходят в соотношения хг + хг уг + уг х= 2 2 У= Пример 3.1. В вершинах А(4; 4; 4), В(-2; 6; 4), С(-4; 4; 2) треугольника АВС расположены материальные точки равной массы. Найдем координаты центра масс этой системы точек.
Центр масс указанной системы точек совпадает с точкой М пересечения медиан треугольника АВС. Пусть точка Ф— середина стороны ВС. Тогда ее координаты (х; у; г) равны полусумме соответствующих координат точек В и С, следовательно, х = — 3, у = 5, я= 3. Медиану АФ точка М делит в отношении ~АМ): ~М1У~ = 2: 1, поэтому координаты (хо, уо, .ге) центра масс рассматриваемого треугольника в соответствии с (3.13) равны 2(-3)+14 2 25+14 14 23+14 10 2+1 3' 2+1 3 ' 2+1 3 ' Длина отрезка. Задача вычисления длины отрезка (или расстояния между двумя точками) по координатам его концов в прямоугольной системе координат известна из школьного 89 3.4. Вычисление площадей и объемов курса геометрии. Мы выведем эту формулу при помощи вектпорной алгебры.
Длина отрезка — зто длина вектора, соединяющего его концы, а длину вектора можно определить, вычислив его скалярный квадрат. Пусть концы отрезка М1 и тьт2 заданы своими координатами в прямоугольной системе координат 022й: М1(х1, у1, 21), М2(хзу; у2; г2).
Тогда М1М2 = 1Х2 — Х1, 'у2 — у1', г2 — г1). Скалярный квадрат вектора М1М2, заданного своими координатами в ортонормированном базисе 2', у, й, находится с помощью формулы (2.9) для вычисления скалярного нроизведе- М1М2 —— (х2 — х1) + (уз — у1) +(Х2 — 21) . Итак, длина отрезка М1М2 вычисляется по формуле /М1М2! = (х2 — хт)2+ (у2 у1)2+ (22 г )2 3.4. Вычисление площадей и объемов Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координата, основывается на использовании скалярного, вектпорного и смешанного произведений векторов. Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно.найти координапты двух вектпоров, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения.
Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах. Пример 3.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: А(4;4;4), В(1;2;3), С(3;-1;2). 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 90 Для определения площади ЬАВС с помощью (3.10) найдем координаты векторов АФ и АС: АВ =(1-4;2-4;3-4) = (-3; -2;-1), Ад= (3 — 4;-1 — 4;2 — 4) = (-1;-5; -2). Затем по (2.14) вычислим их векторное произведение: у й -2 -1 -5 — 2 АВхАд= = — г — 5т'+ 13Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
