III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при Ф = -3 и $ = 4 данные векторы ортого- нальны. сов(а,Ь) = хахь + уауь / х2+У2 / 2+уз' Пример 2.6. Найдем значения параметра 2, при которых векторы а = 1ь; 1 — $; 7) и Ь = (1+1;2; -2), заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. Используя критерий (2.10) ортогональности векторов, получаем уравнение 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.3.
Векторное произведение Векторное произведение вводится для двух веящоров из Уз. Оно опирается на следующее понятие. Определение 2.2. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов а,Ь,с называют нравот3, если направление вектора а совмещается с направлением вектора Ь при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой. Так как три некомпланарных вектора образуют бвэис в Уз, то также говорят о яровых и левых базнсах.
Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е. все базисы в Уз разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, называют его ориентпацией. Определение 2.3. Зеятпорным произведением векторов а и Ь называют такой вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям. 1. Вектор с ортвогонален векторам а и Ь.
2. Длина вектпора с равна ~с~ = ЩЬ|в1п~р, где ~р — угол между веятпорвми а и Ь. 3. Упорядоченная тройка векторов а,Ь,с является правой (рис. 2.2). Векторное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать ахЬ, хотя в литературе встречается и обозначение ~а, Ь). Если векторы а и Ь яоллинеарны, то условие 3 в определении 2.3 становится неопределенным, Рнс. г.г так как тройка векторов будет 2.3. Векторное произведение ко.ипланариа. Однако при этом, согласно условию 2 определения, длина векторного произведения должна равняться нулю. Это однозначно определяет векторное произведение как вектор, равный нуль-векозорд. Поэтому дополним определение 2.3, полагая, что векторное произведение двух коллинеарных векторов есть нуль-вектор.
В это дополнение входит и случай, когда хотя бы один из двух векторов является нулевым, так как в этом случае эти два вектора коллинеарны. Векторное произведение используют, например, в механике. Так, момент силы Г, при— к. ОМкр ложенной к точке М, относительно некоторой точки О равен ОМхГ (рис. 2.3). Однако роль к,то'' векторного произведения выходит далеко за рамки его механи- Рис. 2.3 ческой интерпретации.
Свойства векторного произведения можно разделить на две категории: геометрические и алгебраические. Рассмотрим первую категорию — геометрические свойства. 1'. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору. Ч Необходимость следует из приведенного выше обсуждения определения 2.3 векторного произведения в случае коллинеарных сомножителей.
Докажем достаточность. Если ахЬ = О, то |ахЬ) = О, т.е. |а| |Ь)впар = О, где ~р — угол между векторами а и Ь. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: |о| = О, |Ь| =0 или ип~р= О. Однако каждое из этих равенств влечет коллинеарность векторов а и Ь. ~ 2'. Если векторы а и Ь неколлинеарны, то модуль |ахЬ) их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 2.4). 88 г. ПРОИЗ8КДКНИЯ ВККтОРОВ Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной н той же формуле как произведение длин а векторов (сторон параллелограмма) Рис. 2.4 на синус угла между ними.
В 3'. Если ненулевые векторы а и Ь ортогональны, то для геометрического построения вектора ахЬ достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вектор а на 90' вокруг вектора Ь по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь), а затем умножить повернутый вектор на число )Ь~. ~ Действительно, так как векторы а и Ь ортогональны, их некторное произведение есть вектор, ортогональный и а, и Ь, который по модулю равен ~а~ )Ь|.
Векторы ь а и ахЬ лежат в плоскости, перцендику- лярной вектору Ь. Поэтому мы можем о получить вектор ахЬ поворотом векто- ра а вокруг вектора Ь на прямой угол с а 90 последующей корректировкой длины при помощи умножения на число ~Ь~. Так как тройка векторов а, Ь, ахЬ, по опреде- ахЬ лению векторного проиэнедения, является правой, поворот должен выполняться по Рис. 2Л ходу часовой стрелки (рис. 2.5). $» Для геометрического построения векторного произведения в общем случае нам потребуется следующее понятие. Проектлиеб пр а вектпора а = Ао ка плоскостпь тт назовем вектор, соединяющий ортогонзльные проекции на плоскость я начала А и конца В вектора а (рис.
2.6). Напомним, что ортпогокальноб проекциеб точка ка плоскостпь называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 59 2.3. Векторное произведение Проекция вектора на плоскость сохраняет свойства проекции вектора на прямую: проекция суммы векторов равна сумме их проекций, цри умножении вектора на число его проекция на плоскость умножается на это число. Рис.
2.6 4'. Пусть я — плоскость, перпендикулярная вектору Ь. Тогда ахЬ= (пр„а)хЬ. м На рис. 2.7 векторы а, Ь и а'= пр а изображены с общим началом в некоторой точке плоскости я. Прежде всего отметим, что Ь эти векторы компланарны, так как направление вектора Ь и пери пеидикуляр из конца а на плоскость я параллельны.
Поэтому векторы ахЬ и (пр а)хЬ коллинеарны, так как они перпендику- Рис. 2.7 лярны плоскости, параллельной векторам а, Ь и пр а. Более того, векторы ахЬ и (пр а)хЬ однонаправлены. Поэтому они равны, если равны их длины. Проверим равенство длин: )ахЬ|=~аПЬ)е1пу, )(пр а)хЬ|=~пр аЙЬ|. Но )пр а! = ~а)е1п у, значит, длины совпадают. Ь 5'. Чтобы геометрически построить векторное произведение векторов а и Ь, надо, совместив их начала, спроектировать вектор а на плоскость я, перпендикулярную вектору Ь.
Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вокруг вектора Ь на угол 90' по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь) и результат поворота умножить на число )Ь|. 60 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ~ Сформулированное свойство непосредственно вытекает из свойств 3' и 4'. ~ь Алгебраические свойства векторного произведения используют при преобразовании выражений, в которые входят векторные величины.
Важнейшими алгебраическими свойствами являются следующие три: — свойство антикоммутативности ахЬ = -Ьха; — свойство ассоциативности совместно с умножением на число (Ла) хЬ = Л(ахЬ); — свойство дистрибутивности относительно сложения (а+ +Ь)хс= ахс+Ьхс. ~ Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы а и Ь коллинеарны, то в обеих частях равенства ахЬ = — Ьха в соответствии со свойством 1' стоит нулевой вектор.
Если же векторы а и Ь неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны. В силу первого условия определения 2.3 векторного произведения векторы ахЬ и Ьха перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллипеарны. Ясно, что и длины векторов ахЬ и Ьха равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2'). Остается доказать, что векторы ахЬ и Ьха имеют противоположное направление. Это следует из того, что если тройка векторов а,Ь,ахЬ правая, то тройка Ь, а, а х Ь вЂ” левая. Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторов Ь,а,— ахЬ, причем вектор — ахЬ коллинеарен вектору Ьха и имеет ту же длину.
Согласно определению 2.3, это означает, что вектор — ахЬ равен векторному произведению векторов Ь и а, т.е. ахЬ= -Ьха. Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов а и Ь, а также при Л = 0 векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) равны нуль-вектору, поскольку каждый из них является или векторным произведением коллинеарных 61 2.3.
Векторное лронооеденне векторов, или произведением вектора на число, равное нулю. Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (Ла) хЬ= Л(ахЬ) выполнено. Предположим теперь, что векторы а и Ь неколлинеарны, а Л ~ О. Покажем сначала, что в левой и правой частях доказываемого равенства стоят коллииеарные векторы, равные по длине. Действительно, если считать, что векторы а, Ь и Ла имеют общее начало, то пары а, Ь и Ла, Ь неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярны их векторные произведения ахЬ и (Ла) хЬ. Поэтому векторы Л(ахЬ) и (Ла)хЬ коллинеарны.
Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так как |Л(ахЬ)| = |Л| |ах Ь| = |Л||а||Ь|я1пср, где у — угол между векторами а и Ь, а |(Ла)хЬ! = |Ла||Ь!е1п4~= |Л||а||Ь!я1п4 = |Л||а||Ь!ип~р, где ф — угол между векторами Лез и Ь и использовано равенство я1п ф = яп у, выполненное при всех Л ~ О.
Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу. Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, что векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) являются однонаправленными. Если Л ) О, то векторы п и Ла однонаправлены. Следовательно, векторы (Ла) хЬ и ахЬ тоже являются однонаправленными. А поскольку векторы ахЬ, Л(ахЬ) тоже однонаправлены, то однонаправлены и векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ).
Если Л ( О, то векторы а и Лез являются противоположно направленными. Следовательно, векторы (Ла)хЬ и ахЬ тоже являются противоположно направленными. Умножение вектора ахЬ на отрицательное число Л меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы (Ла)хЬ и Л(ахЬ) имеют одинаковое направление.
62 2, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Остановимся на доказательстве свойства дистрибутивности1. Если е = О, то равенство является очевидным, так как и слева, и справа будут стоять нулевые векторы. Поэтому этот случай далее не рассматриваем и полагаем, что е ~ О. Мы также можем считать, что )с~ = 1, так как равенство в общем случае (а+ Ь) хс = ахе+ Ьхе при помощи свойства ассоциативности легко преобразовать к форме ~с) (а+ Ь) хс' = ~с)ахс'+ ~с~ Ьхе', е' = —, ~е~ ' т.е. к частному случаю тройки векторов а, Ь, с', для которой ~е') = 1. Итак, пусть ~с~ = 1.
Вспомним геометрическое свойство 5' (см. с. 59), дающее геометрическую интерпретацию произведения двух векторов. При нашем дополнительном условии ~с~ = 1 преобразование произвольного вектора а в векторное произведение ахс происходит за два шага: проектирование и на плоскость я, перпендикулярную вектору с, и поворот проекции в этой плоскости на прямой угол. Согласно свойству 4' векторного произведения (см. с. 59), получаем (а+Ь)хе = (пр (а+Ь))хе= (пр„а+пр Ь)хс, а хе+ Ьхс = (пр,а) хе+ (пр„Ь) хе, и нам остается показать, что (пр а+пр Ь)хе=(пр„а)хе+(пр Ь)хе. 1 Следующее далее доказательство опирается на геометрическое представление векторного произведения и в этом сммгле достаточно наглядно, так как в нем в основном используются понятия элементарной геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
