III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Но длины отрезков ОХ;, 40 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАПИИ НАД ВЕКТОРАМИ (1.9) Аналогично вычисляют длину вектора иэ пространства Ъз по его координатам х1, хз в ортонормированном базисе: ~х~= 1~х~+х~, х Е $~1, (1.10) и длину вектора иэ $'1 с коорди- натой х1 в ортонормированном базисе: Рнс. 1.14 ф = ~х11 — — ~х1~, х б Ъ"1. (1.11) Пусть ненулевой вектор х б $з образует с направлениями векторов ортонормированного базиса г, у, Й углы о,,д и 7 соответственно.
Величины сОва, сов11, сов7 называют наиравлюю илими косинусами вентпора х (рис. 1.15). Направляющие косинусы век- Т Ф Р тора можно испольэовать прн вычислении его координат. Если ненулевой вектор х б $~з имеет в О 1 ортонормированном базисе з, у, Й координаты (х1, хз, хз) и направляющие косинусы сова, сов,д, сов7, тО Рис. 1.15 х1 — — (х~сово, хз = ~х~совД хз = ~х)сов7. (1.12) Используя формулу (1.9) для вычисления длины вектора, получаем ~х~ = ~х~ сов о + ~х~ сов 11 + ~х~ сОв 7, ОХ, ОХь — это абсолютные значения координат вектора х = ОА в базисе е, у, Й.
В результате получаем формулу для вычисления олины векщора х с координатами (х1, хз, хз) в ортонормированном базисе з, у, Й пространства Уз.' 41 Воиросы и задачи откуда после сокращения на ~х~ ф 0 вытекает следующая формула связи для направляющих косинусов: сое~а+сое~13+сое~ у = 1. (1.13) О хз — — ~х~е1п~р. х1 — ф ожчз, Рис. 1,16 Вопросы и задачи 1.1. Что можно сказать о сумме АВ+ ВС+ СА трех векторову 1.2. Доказать, что если медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, то: а) АМ=(АВ+АС)/3; б) МА+Мх1+ +мд=о. В начале главы мы говорили о том, что векторные величины имеют скалярную характеристику (длнну) н направление. Направляющие косинусы не зависят от длины вектора: при умножении вектора на положительное число направляющие косинусы не изменяются.
Именно они и характеризуют направление вектора. Если известны длина вектора и его направляющие косинусы, то вектор определен однозначно. Направляющие косинусы могут быть заданы углами а, В, у из отрезка [О,х], удовлетворяющими соотношению (1.13). В качестве примера можно взять вектор (сова; сов~3; сое у). Согласно формулам (1.9) и (1.13) этот вектор имеет единичную длину, а значения сова, сов~3, сову представляют собой направляющие косинусы этого вектора.
В случае ортонормированного базиса в пространстве Ъз направление вектора удобно указывать одним углом <р, который отсчитывается от первого вектора базиса против хода часовой стрелки (в случае положительного значепия). Угол ~р, длина вектора х и его координаты (х~, хз~ связаны соотно- и шениями: 42 Е ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАд ВЕКТОРАМИ 1.3. Пусть биссектриса угла А треугольника АВС пересекает противоположную сторону в точке Ь. Выразить вектор, однонаправленный с вектором Аь, через векторы АМ и АС. 1.4. Как связаны вектор АС и ортогональная проекция пр~(АВ+ ВС) ? 1.5. Доказать, что АВСР— параллелограмм, если А4 = =2а — ЗЬ+с, АС=а — Ь+2с, Ас1= — а+2Ь+е. 1.6.
Найти длыну вектора а = -4+Зу+ Ь. 1.7. Может ли некоторый ненулевой вектор образовывать с векторами 1, у и Ь углы, равные соответственно: а) 120', 135', 45' б) 120' 135' 60' 1.8. Найти значения параметра 1, при которых вектор а = = -а+ 11'+ 4Ь имеет длину, равную 5, и образует с вектором у тупой угол. 1.0. Найти значения параметра г, при которых вектор а = =1+(1 — 1з),у — 2Ь: а) образует с вектором у угол 90', б) коллинеарен вектору Ь = -24 — у + 4Ь; в) является противоположно направленным вектору Ь = — 2г+ т+4Ь.
1.10. Доказать, что три вектора линейно зависимы, если среди них есть нуль-вектор. 1.11. Доказать, что если АВСР— трапеция, то векторы АВ, АС и АР линейно зависымы. 1.12. Доказать, что векторы а = й + 21, Ь = г — Зу и с = = 4г — 2у линейно зависимы. Выразыть: а) вектор с через векторы а и Ь; б) вектор а через векторы Ь ы с; в) вектор Ь через векторы а и с.
1.13. Доказать, что векторы а = г + 21, Ь = й — Зу' и с = = 2г+ 4у линейно зависимы. Можно ли выразить вектор Ь через векторы а и е? Воеросьг и залечи 43 1.14. Выяснить, образуют ли базис в Уз векторы: а) в = = г+ 1, Ь = з — у; б) а = -й + 21, Ь = 24 — 4у. 1.15. Доказать, что если три ненулевых вектора линейно зависимы, то любой из них является линейной комбинацией остальных. 1.16. Найти все значения параметра 1, при которых векторы а = 4+ у +Ь, Ь = й — Зу+ Ь, с = Зй — 58у+Мс образуют базис в Уз.
1.17. Доказать, что равновесие точки невозможно под действием: а) двух неколлинеарных сил; б) трех некомпланарных сил. 1.18. В Уз заданы и векторов. Как можно построить их сумму? 1.1Э. Доказать, что система из н векторов, соединяющих центр масс системы из н материальных точек с зтими точками, линейно зависима. 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.1. Определители второго и третьего порядков В этой главе приведены начальные сведения об определителях второго н третьего порядков. Это вызвано тем, что некоторые формулы векоюрной аагебры, записанные через определители, имеют достаточно компактный вид и удобны как при изложении теории, так и при решении задач.
Более полнел теория определителей изложена далее (см. 7). Четырем числам а1, 61, аз, Ьз можно поставить в соответствие выражение а16з — аэ6ь которое называют оаределипзелем вовороео тьорлдко и обозначают в виде следующей таблицы нз двух строк и двух столбцов, отделяемой слева и справа вертикальными линиями: а1 Ь1 а16э — аз61 = аз Ьз (2.1) 3 7 5 -2 = 3( — 2) — (5 7) = -41.
Числа а1 и Ьз из-эа их расположения в определителе (2.1) называют дноеомсмьными элемеитвами определителя второго порядка и говорят, что они расположены на его глаемо4 диоеомоли. Аналогично числа аэ и Ь1 расположены на еторо4 (или твобочной) диоеома ви определителя. Можно сказать, что определитель второго порядка равен произведению его элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, например: г.п Определители второго и третьего порвдков 45 Подобным же образом иэ девяти чисел составляют оггределигпель гтьретпъеео порлдкв. По определению полагают аг Ьг сг аг Ьг сг аз Ьз сз = агЬгсз+ Ь! сгаз+ агбзс1— — азЬгсг — агЬгсз — агЬзсг.
(2.2) Элементы аг, Ьг и сз располагаются на главной диагонали определителя (2.2), а аз, 6г и сг — на побочной. В формулу (2.2) вычисления определителя третьего порядка входят шесть тройных произведений, сомножители которых расположены в разных строках и разных столбцах. Произведения имеют разные знаки, и запомнить формулу сложно. Для ее запоминания используют тгрввмло Свррюсв, или «рввгьло тггре1геольммма. Оно состоит в следующем: со знаком плюс берут слагаемые, являющиеся произведением элементов главной диагонали и произведением элементов, лежащих на параллелях к этой диагонали. Члены, имеющие знак минус, формируются таким же образом относительно побочной диагонали. Схематически зто правило выглядит так: аг Ьг сг аг Ьг сг аз Ьз сз Линиями соединены элементы определителя, произведения которых дают слагаемые с соответствующим знаком.
Пример 2.1. Используя правило треугольника, вычислим определитель третьего порядка: 1 -3 0 4 2 1 5 0 6 =1 2.6+О 4 О+5(-3)1-5 2 0-6.4( — 3) — 1.1 0=69. 46 г. пРОизВедения ВектОРОВ Вычисление определителя третьего порядка можно свести к вычислению трех определителей второго порядка. Для получения соответствующей формулы воспользуемся тем, что в правой части равенства (2.2) каждое слагаемое содержит один из элементов а«, 6«или с«первой строки определителя. Собирая в (2.2) подобные члены по этому признаку и вынося общие множители эа скобки, получаем а«6«с« аг Ьг сг аз Ьз сз = а«(Ьгсз — 6зсг)— — 6«(огсз — азсг) + с«(агЬз — азЬг) (2 3) где из второй скобки дополнительно вынесен знак минус.
Выражения в скобках представляют собой определители второго порядка Ьг сг аг сг аг Ьг| Ьгсз — Ьзсг=~Ь ~, агсз-азсг=~ ~, агЬз — азЬг=~ ~Ьз сз~' ~аз сз~' ~аз Ьз~' что позволяет записать равенство (2.3) в следующем виде: а« 6« с« аг Ьг сг аз Ьз сз =а, г г 6 г г +с г г (24) Равенство (2.4) называют разлог«секиелт определитпелл тпретпьеео порлдка по первой стпроке.
Можно аналогичным образом получить разложение определителя по любой строке (столбцу), если тройные произведения в правой части (2.2) группировать по элементам этой строки (столбца). Обратим внимание на структуру формулы (2.4). Элемент а« умножается на определитель второго порядка, который можно 2ок Определители второго и третьего оорвдков 47 Пример 2.2. Вычислим определитель третьего порядка а Ь с 2 -1 3, а,Ь,сей, — 4 5 1 используя его разложение по 1-й строке: а Ь с 2 -1 3 — 4 5 1 =а — Ь +с = -16а+ 146+ 6с.
Определители второго и третьего порядков находят применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим, например, систпему двух линейных уравнений а1х + 61 у = с1, а2х + 62у = с2 (2 5) относительно неизвестных х, у и найдем ее решение методом исключения неизвестных. Для этого первое уравнение умножим на -а2, второе — на а1 и после почленного сложения этих выражений и приведения подобных членов получим соот- ношение (а1Ь2 — а261)у = а1с2 — аэс1. получить из вычисляемого определителя третьего порядка вычеркиванием в нем 1-й строки и 1-го столбца, на пересечении которых расположен элемент а1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
