III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Любой ненулевой вектпор пространства т1 называют базисом в тт. Любые два вектора этого пространства, будучи коллинеарными, линейно зависимы, т.е. один из них может быть получен из другого умножением на число. Выберем и зафиксируем в $~1 базис, т.е. вектор е фО. Тогда любой вектор х Е $~~ представляется в виде х = Ле.
Это равенство называют раз воасением веятпора х в базисе е, а число л — координатной ееятпора х в этом базисе. Отметим, что коэффициент Л при этом определен однозначно. Действительно, этот коэффициент равен л = ~~х~/~е~, причем выбирают знак плюс, если векторы х и е однонаправлены, и знак минус в противоположном случае. Рассмотрим пространство тз. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве тт называют базисом в $'х. Выберем в этом пространстве базис, т.е.
два неколлинеарных вектора е1, ея. Согласно теореме 1.5, эти два 34 ь ЛИНЕЙные ОПеРАцИИ НАД ВеКтОРАМи вектора н любой третий вектор х, будучи компланарнымн, линейно зависимы. Поэтому один нз ннх является лииейиой комбииаиией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е1 и ез. Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов (1.3) ах+ 111 е1+ ~3зез — — О, в которой один из коэффиииенпюв не равен нулю. Сразу делаем вывод, что а 1~ О, так как в противном случае в равенстве (1.3) слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы е1, ез линейно зависимы.
Но этого быть не может, так как они неколлинеарны (см. теорему 1.4). Так как о ~6 О, мы можем разделить равенство (1.3) на о. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида (1.4) х = Л~е1+ Лзез, которое называют разлохсеиием векпзора х в Базисе ем ез, а коэффициенты Л1, Лз этого представления — коордииапмьми векпзора х в базисе ем ез. Отметим, что в представлении (1.4) коэффициенты Л1 и Лз определены однозначно. Это можно обосновать, анализируя доказательство теоремы 1.5 (используемый в доказательстве параллелограмм однозначно определен диагональю и прямыми, на которых лежат смежные стороны).
Однако то же можно установить, используя лишь факт линейной независимости векторов е1 н ег. В самом деле, если есть два представления х = Л1е1+ Лзез = И1 е1+ Изез, то, перенеся в последнем равенстве все слагаемые влево и используя свойство 8' (см. с.
23) дистрибутнвности умножения вектора иа число относительно чисел, получим (Л1 — и1)е1+ (Лз — Из)ез = О. 35 Коэффициенты в этом равенстве слева равны нулю, так как векторы еы ез линейно независимы (они неколлинеарны, см. теорему 1.4). Таким образом, Л1 = п1, Лз = рз, и два взятых нами представления вектора м совпадают. Рассмотрим пространство Ъз. Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базмсом в 1 "з.
Выберем в Ъз базис, т.е. любые три некомпланарных вектора еы ез, ез. Этн три вектора с добавленным к ним произвольным четвертым вектором е линейно зависимы (см. теорему 1.6). Можно доказать так же, как мы это делали в случае пространства Г~, что вектор м является линейной комбинацией векторов еы ез, ез: м = Л1е1+ Лзез + Лзез. (1.5) При этом коэффициенты в представлении (1.5) определены однозначно, так как векторы еы ез, ез линейно независимы. Представление вектора х в виде (1.5) называют разломсеммем ееммзора в базисе еы ез, ез, а коэффициенты Лы Лз н Лз разложения — моординаьпами вемтпора м в базисе еы ез, ез.
Векторы в базисах пространств Ър н 1'з, согласно определению базисов, являются упорядоченными. Порядок векторов в базисе устанавливает порядок среди координат любого вектора, и поэтому координаты всегда считают тоже упорядоченными. Если базис, например, в пространстве $~з фиксирован, то каждому вектору нз $~з соответствует единственная упорядоченнэл тройка чисел, составленная из его координат. Кроме того, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная линейная комбинация векторов базиса, т.е. вектор из $ "з, координаты которого совпадают с этой тройкой чисел.
Поэтому, если базис фиксирован, то векторы можно рассматривать как упорядоченные наборы их координат в этом базисе. Эту возможность часто используют, отождествляя векторы с упорядоченными наборами их координат. Например, если вектор м иэ $~з в базисе еы ез, ез имеет разложение а = 2е1 + Зез — 4ез, то этому вектору соответствует упорядо- зб Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ченная тройка его координат, которую часто записывают так: (2; 3; — 41.
Более того, отождествляют вектор с упорядоченной тройкой координат и пишут х = 12; 3; -4), вкладывая в это равенство укаэанный выше смысл. Итак, если базис в пространстве $'м Ъг или $з фиксирован, то любой вектор из этого пространства однозначно определен своими координатами, записанными в порядке следования векторов базиса. Поэтому можно сказать, что координаты вектора являются представлением, или „изображением", этого вектора в данном базисе. 1.Т. Вычисления в координатах Выясним, что происходит с коордикапгами векторов пры выполнении линейных операций.
Теорема 1 7. При сложении двух векторов ых координаты в одном и том же базисе складываются. При умножении вектора на число координаты этого вектора умножаются на это число. Ч Для простоты остановимся, например, на пространстве $з. Фиксируем в Ъз базис ег, ег, ез. Возьмем два произвольных вектора х и у и запишем их разлогкеиил в выбранном базисе: х = хгег+хгег+ хзез, у = угег + угег+ увез. Используя свойства линейных операций, вычисляем сумму этих векторов: к+у= (хгег+хгег+ хзез)+(угег+угег+увез) = = (хг + уг)ег+ (хг+ уг)ег+ (хз+ уз)ез Мы получили разложение суммы векторов в фиксированном базисе. Отсюда заключаем, что координаты х; и у; исходных слагаемых, соответствующие одному вектору е; в базысе (г = = 1,2,3), складываются.
37 д.7. Вычнследдив в «оордяавта« Аналогично с учетом свойств линейных операций имеем Лх = Л(хдед + хгег+ хзез) = (Лхд)ед+ (Лхг)ег+ (Лхз)ез. 8 итоге получаем разложение вектора Лх в фиксированном базисе. Из этого разложения видим, что каждая из координат исходного вектора х умножена на число Л. ~ Разложение вектора в базисе имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим, например, пространство Уз. Разложение вектора И в базисе, скажем а, Ь, с, показано на рис.
1.13. Координатами вектора д будут отношения ~ОА'( )ОВ'~ ~ОС'~ дда=~ ~ д16=~ ~ д1с=~ ~ОА~ ' ~ОВ~ ' ' ~ОС~ ' где знаки выбирают в зависимости от того, является соответствующая пара коллннеарных векдпоров (например, ОА и ОА' для и ) однонаправленной или нет. Теорема 1.8. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их одноименные координаты в одном и том же базисе бъдли пропорциональны. ° я Докажем теорему в случае пространства Уз. Фиксируем в Уз базис ед, ег, ез. Рассмотрим разложения в выбранном базисе векторов х и у: х = хдед+ хгег+ хзез у = удед+ угег+ узез (1.б) Если одноименные координаты этих векторов пропорциональ- ны, т.е.
существует такое Л Е Й, что выполнены равенства хд — — Луд, хг — — Луг, хз — — Луз, (1.7) то х = хдед +хгег+ хзез — — Лудед + Лугег+ Лузез = = Л(удед+угег+узез) = Лу и из теорем 1.3, 1А следует, что векторы х и у коллинеарны. Достаточность условия доказана. Для доказательства его 38 1, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ необходимости предположим, что векторы х и у коллинеарны. Но тогда по теореме 1.4 они линейно зависимы и в силу теоремы 1.3 один из них, например х, является линейной комбинацией „остальных", т.е. х = Лу.
Подставляя в зто равенство разложения (1.6), получаем х1е1+ хзез+ хзез = Л(У1е1+узез+ увез), илн (х1 — ЛУ1)е1+ (хз — ЛУз)ез+ (хз — Луз)ез = О. А поскольку вектор О в любом базисе имеет нулевые координа- ты, то нз последнего равенства следуют соотношения (1.7). ~ Следствие 1.1. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы отношения их одноименных координат в одном и том же базисе были равны. М Выражал Л из соотношений (1.7) и приравнивал полученные дроби, находим, что Х1 ХЗ ХЗ (1.8) У1 Уз Уз Отметим, что в условии (1.8) в знаменателях дробей могут стоять нули, но при этом подразумевается, что и в числителе соответствующей дроби стоит нуль.
Для пространства 1 з условие (1.8) сводится к равенству только первых двух дробей. ~ Пример 1.3. Пусть векторы е1,ез образуют базис в Уз. Векторы а = 2е1 — Зез, Ь = -е1+ Зез линейно независ1ьны, так как 2/(-1) ф — 3/3. Поэтому они тоже образуют базис в том же Ър. Найдем разложение в этом базисе векторов е1 и с = Зе1 — без. Чтобы найти разложение вектора е1, вычислим сумму векторов о и Ь1 а+Ь=е1.
Следовательно, искомым разложением является е1 = а+ Ь. 39 1.7. Вычисления в яоординвтах Чтобы найти разложение вектора с, поступим следующим образом. Пусть с = Л1а+ ЛзЬ. Подставив в это равенство разложения векторов с, а, Ь в базисе еы ез, приведем подобные слагаемые в правой части равенства. Получим, что Зе1 — без = Л1(2е1 — Зез) + Лз(-е1 + Зез) = = (2Л1 — Лз)е1+ ( — ЗЛ1+ Зля)ез.
Поскольку каждый вектор в любом базисе имеет единственное разложение, то Лы Лз должны удовлетворять системе уравнений < 2Л1 — Лз =3, зл — зл = б. Решая эту систему, находим, что Л1 — 1, Лз —— -1. Это значит, что с = а — Ь. Определение 1.9. Базис называют ортогональным, если он состоит из векторов, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых. Базис называют орозонормированным, если он ортогональный и состоит из единичныя вектиоров. Параллелепипед, изображенный на рис. 1.13, в ортонормированном базисе в 17з является прямоугольным, а точки А', В', С' — оргпогональными проекциями глочки В на соответствующие прямые. Координаты вектора И = 01~ в ортонормнрованном базисе равны оргпогональным проекиилм этого вектора на направления векторов, образующих этот базис.
Ортонормнрованный базис в пространстве $7з принято обозначать, с учетом порядка, буквами я, у, Й, в $'з — соответственно я, у и в %1 — й. В случае ортонормированного базиса в пространстве $д легко яайти расстояние от точки О до произвольной точки Х. По теореме Пифагора )ОХ<э = <ОХ;)з+ )ОХ~<э+ <ОХь)з (рис. 1.14), где точки Х;, Х, Хь — ортогональные проекции точки Х на соответствующие оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
