III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

вектор, коллинеарный а, той же длины, что и а, но протпиеополозспо направленный. Если в качестве точки приложения этого вектора выбрать конец вектора о, то конец противоположного вектора совпадет с началом вектора а. Согласно правилу треугольника, суммой векторов а и ( — а) будет вектор с совпадающими началом и концом, т.е. нулевой вектор. ~ 5'. Для любых векторов а и Ь существует такой вектор а, что а+ а = Ь. При этом вектор а определен однозначно. ~ Укаэанному условию удовлетворяет вектор ( — а) + Ь, так как с учетом свойств 2'-4' а + о = а + (( — а) + Ь) = (а + (-а)) + Ь = О+ Ь = Ь. Если вектор ж удовлетворяет равенству а+ а = Ь, то, прибавив слева к обеим частям последнего равенства вектор (-а), получим с учетом свойств 1', 2', что а = (-а) + Ь. Действительно, (-а)+ (а+к) = ((-а)+а)+л =О+к =а = ( — а)+Ь.

Значит, вектор л определен однозначно. > 1.3. Лииейиые операции и их свойства 21 Свойство 5' позволяет ввести операцию вычитания векторов. Определение 1.6. Раз«остиью Ь вЂ” а двух ее«тавров а и Ь называют такой вектор а, что а+ е = Ь. С алгебраической точки зрения переход от а + е = Ь к а = Ь вЂ” а (в соответствии с определением 1.6) означает, что при переносе вектора в другую часть равенства перед ним надо менять знак. Корректность определения разности векторов, т.е.

существование и единственность вектора е устанавливает свойство 5'. Практически для вычисления разности векторов можно воспользоваться правилом треугольника. Совместим начала векторов а н Ь, тогда вектор с началом в конце вектора а и концом, совпадающим с концом Ь, равен разности Ь вЂ” а этих векторов (рис. 1.6). и Операцию вычитания векторов Рис. 1.6 также относят к линейным, так как она определяется операцией сложения и является обратной сложению. Определенае 1.7.

Произведе«кем ве«творе а «а число Л называют вектор Ла, коллинеарный вектору а, с длиной ~Л~ )а), одкокакравлеккый с а при Л ) О и противоположно направленный при Л ( О. Замечание 1.4. Если Л = О, то, согласно этому определению, вектор Оа должен иметь длину О~а! = О, т.е.

должен быть нулевым вектором. Поэтому, хотя остальные характеристики в определении и не определены (коллинеарность, направленность), произведение вектора на число О определено однозначно: Оа есть нулевой вектор. Пример 1.2. Произведение вектора а на число — 1 есть вектор, противоположный к а, т.е. ( — 1)а = ( — а). ~ 22 1. ЛИНКИ НЫК ОПЯРЛЦИИ НАД ВККтОРАМИ Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности, а совместно с операцией сложения она удовлетворяет двум свойствам дистрибутивностн. б'. Умножение вектора на число ассоциативно: (Лр)а = = Л(ра).

1 Действительно, обе части равенства представляют собой векторы, коллинеарные исходному вектору а. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин векторов очевидно. Если числа Л и р имеют один и тот же знак, то векторы в обеих частях будут однонаправлены с вектором а. Если же Л и р имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к а. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины, т.е. равные векторы. Ь 1<0 Л>0 Рис. 1.7 7'. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно векторов: Л(а + Ь) = Ла+ ЛЬ. 4 При Л = 0 свойство очевидно, так как в этом случае слева будет нулевой вектор (произведение вектора на число 0), а 23 1А.

Ортогонваьнав лроекцнл справа — сумма двух нулевых векторов. Если Л ф О, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. На рис. 1.7 представлены случаи для Л > О иЛ<О.~ 8'. Умножение вектора на число дйстрнбутивно относительно чисел: (Л+р)а= Ла+уиз.

~ В указанном равенстве —, три коллинеарных вектора. Поэтому доказательство сводится к подсчету длин векторов, которым присвоены знаки, учитывающие направление. Если Л и р имеют положительные знаки, то все три вектора в равенстве имеют одно направление, совпадающее с направлением вектора о. При сложении этих векторов справа складываются их длины, а доказываемое равенство равносильно следующему: (Л+р)~о~ = Л~о)+р~а~.

Случай, когда Л и р отрицательны, аналогичен. Пусть Л и р имеют противоположные знаки. Для определенности будем считать, что Л > О, р < О. Противоположный случай сводится к этому заменой обозначений и учетом коммутативности сложения чисел и векторов. Если Л > О, р < О, то при сложении векторов Ла и ра вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с о при ~Л! > ~14 и противоположно направленным при ~Л~ < ~14. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна ~Л+ р()а~. Учитывая направление этого вектора, заключаем, что ои равен (Л+ р)о, т.е.

доказываемое равенство верно и прн противоположных знаках коэффициентов Л и р. ~ 1.4. Ортогональная проекция Пусть на плоскости заданы прямая Ь и точка А. Опустим из точки А на прямую Ь перпендикуляр (рис. 1,8, а). Тогда его основание (точку 0) называют оргооеомальмов ороемцмеб озочми А ма орлм1яю Ь.

Если прямая Ь и точка А заданы 24 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки А на прямую Ь называют точку О пересечения прямой Ь с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку А (р с, б). ~" ли точка А лежит на прямой Ь, то она совпадает ис. 1.8 б). с'"л со своей ортогональной проекцией на Ь. ,А О Ь Рнс. 1.В Для вектора АВ (на плоскости илн в пространстве) можно построить ортогональные проекции на прямую Ь его начала и конца (рис. 1.9).

Тогда вектор ОАОВ, соединяющий эти проекции ОА и ОВ и лежащий на прямой Ь, называют ортоеональной проекцией вектора Ас1 на прямую Ь. В Прямую, на которой задано одно иэ двух возможных направлений, называют осью. Выбранное направление на оси изображают с помо- ОА О в щью стрелки на соответствующем конце оси. Ортогональную проекРие.

1.9 — + цню ОАОВ вектора АВ на ось! можно полностью описать длиной вектора ОАОВ, приписав ей знак, указывающий направление вектора. Если направление ОАОВ совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то ерут знак минус. Длину вектора ОАОВ со знаком, определя- 1М. Ортогонвльнав проекция ющим направление этого в итера, н зывают ортоео аной проекцией вектора АВ но ось ! и обозначают прка.

Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую — это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможных направлений. Каждый ненулевой венгпор 1 однозначно определяет осгк его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление. Поэтому ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортоеона еьной проекцией вектора на направление вектора 1. Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют делом между этнми векпзорами. Угол может изменяться в пределах от 0 до я.

Крайние значения 0 и х отвечают ноллиневрным вектором, соответственно однонаправленным и противоположно направленньим. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то угол между такими векторами не определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение. Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или х).

Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя нз конкретной ситуации. Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора о на направление ненулевого вектора 1 равна длине ~о~, умноженной на косинус угла ~р между векторами а и 1, т.е. прка = ~а~сов(а,!), где (о,1) — угол между векторами а и 1. н Пусть вектор 1 лежит на прямой Ь, а его началом является точка А. Совместим начало вектора о с точкой А, и пусть его концом будет точка В (рис.

1.10). Построим ортогональную 26 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ проекцию С точки В на прямую Ь. Тогда вектор АС является ортогональной проекцией вектора а = АВ на прямую Ь. В С 1 Ь С А Ю Ь Рис. 1.10 Если угол ~р между векторами а и ! острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора 1 и точка С лежат по одну сторону от точки А. В этом случае проекция а на направление вектора 1 равна длине ~АС~ = ~АВ~ сов ~р катета АС треугольника АВС. Если угол у тупой (см.

рис. 1.10, б), то конец вектора 1 и точка С лежат по разные стороны от точки А. Это значит, что векторы АС и 1 имеют противоположные направления, а проекция вектора а равна — ~АС~. В треугольнике АВС угол 9, прилежащий к катету АС, равен я — у, поэтому ~АС~ = = ~АВ!сов(н — ~р) = — (АВ~сову. Если же у = 90' или а = О, то точка С совпадает с точкой А н вектор Ас ' является нулевым вектором.

Характеристики

Список файлов книги