III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Тогда расстояние между прямыми равно высоте й этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых. В результате получаем формулу для расстояния р(Ь1,Ь2) между прямыми: 147 ДЛ.1. Пучки и связки Канонические уравнения прямой позволяют сразу найти координаты одной точки на этой прямой: Ме(хе, уе, ле). Поэтому расстояние р(Ь,х) между прямой Ь и параллельной ей плоскостью х равно р(Ь, г) = р(Ме,гг) = ~Ахо+ Вуо+Схо+ Р~ Аз+В +С Дополнение 5.1.
Пучки и связки Пучок плоскостей. Пучком гэлосмосгпеб в пространстве называют семейство всех плоскостей, содержащих фиксированную прямую. Пучок однозначно определяется любой парой своих различных плоскостей, Любые две непараллельные плоскости однозначно определяют некоторый пучок плоскостей.
Рассмотрим вопрос о том, как, зная уравнения двух различных плоскостей пучка, найти уравнения остальных плоскостей пучка. Теорема 5.2. Для того чтобы плоскость принадлежала пучку плоскостей, определяемому парой непараллельных плоскостей яг. А1х+В1у+Сгх+Рг —— О, ггэг Аэх+Вэу+Сэя+Рэ=О, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде о(А1 х + В1 у+ Сг я+ Р1 ) + +Д(Аэх+Вэу+Сэг+ Рэ) = О, о~+~3~ фО. (5 23) м Достаточность. Покажем, что при -любых значениях параметров о и Д, одновременно не равных нулю, уравнение (5.23) задает плоскостыг, содержащую общую прямую плоскостей х1 и хэ.
Отметим, что после приведения в (5.23) подобных 148 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ слагаемых получим уравнение (аА1+ВАз)х+ (оВ1 + 0Вз) у+ (оС1+ фСз)х+ (ай1+ ~3йз) = О, являющееся уравнением первого порядка, так как в нем хотя бы один козффнциент прн переменных отличен от нуля. В самом деле, поскольку плоскости х1 н нз непараллельны, нх нормалькьае вектпорм и, = (А1, В1',С1) н пз — — (Аз, Вз, Сз~ неколлннеарны, а значит, вектпориое произведеиие п1хпз не является иулевым веитиором.
Позтому хотя бы один из определигпелгй втпорого порядка Аз Вз ' Аз Сз ' Вз Сз ' представляющих собой координаты зтого векторного пронзведеняя в прямоугольной системе иоордимат, отлнчен от нуля. Пусть, например, первый из них не равен нулю. Тогда система А1 о+ Аз,б = О, В1о+ Вз~3 =О А|хо+ В|уз+ С1хв+ В1 — — О, Азха+ Взуо+ Сзго+ Рз = О. (5.24) Следовательно, для координат точки Мо выполняется н соотношенне (5.23), т.е. точка Мв лежит в плоскости х. Тем самым имеет единственное решение н нм является а = В = О.
Это значит, что если а н ф одновременно не обращаются в нуль, то либо козффнцнент А1о+ Азр прн переменной х, либо коэффициент В1а+ Взб при переменной у в уравнении (5.23) отличен от нуля. Итак, (5.23) является уравнением плоскости. Остается убедиться, что эта плоскость проходит через прямую пересечения плоскостей х1 н хз. Но если точка Мо(хо, уе, го) принадлежит одновременно плоскостям х1 и хз, то одновременно выполняются соотношения 149 Длп1.
Пучки и связки мы показали, что точки пересечения плоскостей яг и яз лежат на плоскости х. Необходимость. Пусть плоскость я'з. 'Азх+ Взу+ + Сзх+ Рз = О содержит общую прямую плоскостей яг и яз. Докажем, что ее уравнение можно записать в виде (5.23) при некоторых значениях параметров гг и Д. Заметим, что нормальные векторы гэг, ггэ, ггз трех плоскостей яг, хз, яз, имеющих общую прямую, лежат в одной плоскости я„, перпендикулярной этой общей прямой (рис. 5,14). Векторы ггг и твз неколлинеарны, так как соответствующие им плоскости непараллельны.
Поэтому эти два вектора образуют базис в просгпраиспгве Уэ векторов, параллельных яв. Это значит, что вектор пз является лииебиоб комбииациег1 векторов и, и пэ, т.е. при некоторых значениях гг и ~3 Гэз —— ГГГЭ1+ ДГЗз. ез "г Рис. 5.14 На прямой, общей для трех плоскостей, зафиксируем точку Мо(хе, уо, хе) и рассмотрим произвольную точку М(х; у; г) и вектор Мой = ОМ вЂ” ОМр. Коордииагпы гпочки Мо удовлетворяют равенствам (5.24). С помощью этих равенств можно выразить свободные члены Вг н Оэ в уравнениях плоскостей через координаты точки Ме и записать векторные уравнения этих плоскостей: , (Оп — Оп ) =О,,:,(Оп — ОК) =О.
~5.2е 150 Б. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Но тогда веатаорпое уравнение «з(ОХ~ — ОМр) = О плоскости хз преобразуется к соотношению или Преобразуя векторные уравнения плоскостей х1 и хз к ях общим уравнениям, получаем уравнение вида (5.23), т.е. плоскость хз пучка описывается зтим уравнением. Г Пучок прямых па плоскости. Аналогично пучку плоскостей в пространстве рассматривают пучок прямых на плоскости. Пучком «рллвых на плоскости называют семейство всех прямых, проходящих через фиксированную точку плоскости.
Пучок однозначно определяется любой парой своих прямых. Для пучка прямых на плоскости справедлив следующий аналог теоремы 5.2. Теорема 5.3. Для того чтобы прямал входила в пучок прямых, определяемый парой непараллельных прямых Ь1. 'а1х+51у+ с1 = О, Аз. азх+ Ьзу+ сз = О, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде о(а~х+51у+ с1) + 9(азх+йзу+сз) = О, о~+В~ ф О. (5 26) Связка плоскостей, Селз«об «лес«ос«зеб называют семейство всех плоскостей в пространстве с одной общей точкой. Связка плоскостей однозначно определяется любой тройкой своих плоскостей, не принадлежащих одному пучку плоскостей.
Действительно, две различные плоскости связки пересекаются по прямой и определяют тем самым пучок плоскостей. 151 Дчсб Пучки и связки Если третья плоскость связки не принадлежит зтому пучку, то у таких трех плоскостей имеется единственная общая точка, определяющая связку плоскостей. Трн различные плоскости могут не иметь общих точек (рнс.
5.15, а), иметь нх бесконечно много (рнс. 5.15, 6) нлн иметь единственную общую точку. В первых двух случаях нормальные векторы плоскостей компланарны. Если же нормальные векторы трех плоскостей некомпланарны, то о таких плоскостях говорят, что онн находятся в общем узолонсеяия.
Трн плоскости, находящиеся в общем положения, пересекаются в единственной точке н однозначно определяют связку плоскостей. Это следует нз того, что условие некомпланарностя нормальных векторов плоскостей х;: А;х+В;у+Сз+.О; =О, 1 = 1,2,3, в координатной записи означает, что ооределипзель А~ В1 С1 Аз Вз Сз Аз Вз Сз Ряс. $.1б 152 5.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ отличен от нуля и это приводит к существованию единственного решения у сисгпемы огрех лииебиых уравнений с тремя неизвестными А1х+В|у+С1х+Пг = О, Агх+ Вгу+ Сгл+ 0г = О, Азх+ Взу+ Сзх+ Рз = О. Теорема 5.4. Для того чтобы плоскость входила в связку плоскостей, определяемую тройкой плоскостей х;: А;х+ В;у+ + С,х+ В; = О, 1 = 1,2,3, общего положения, необходимо и достаточно, чтобы ее общее уравнение можно было записать в виде о(Аг х+ Вг у+ С1 х+ Рг) + 13(Агх+ Вгу+ Сгх+ Вг) + +'7(Азх+ ВзУ+Сзх+ 0з) = О (5.27) где ог+Дг+7гфО ~ Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.
Различие состоит лишь в том, что в случае пучка плоскостей нормальные векторы двух непараллельных плоскостей образуют базис в гг, а нормальные векторы трех плоскостей общего положения образуют базис в Фд. ~ Если дана точка Мо(хо,уо,ло), то связку плоскостей, проходящих через эту точку, легко определить, рассмотрев три плоскости, параллельные координатным, т.е. х = хо, у = уо, х = хо. По теореме 5.4 получим уравнение связки: о(х хо) + р(у уо) + 7(х хо) = О.
Коэффициенты о, 11 и 7, являясь хоордииапмьии нормального векигора плоскости в базисе из трех нормальных векторов выбранных плоскостей, в данном случае есть его координаты в прямоугольной системе координат. Вопросы и задачи 153 Вопросы и задачи 5.1. Найти общее уравнение плоскости: а) проходящей через начало системы координат; б) параллельной координатной плоскости хОу (уО»); в) параллельной оси ординат (аппликат); г) проходящей через ось ординат (аппликат).
5.2. Найти канонические уравнения прямой: а) проходящей через начало системы координат; б) параллельной оси абсцисс (ординат, аппликат); в) совпадающей с осью абсцисс (ордннат, аппликат); г) параллельной координатной плоскости хОу (уО»). 5.3. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через начало системы координат и перпендикулярной плоскостям 2х — Зу — »+ 5 = О, 4х — 3»+ 1 = О. 5.4. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки Мл(-1; 3; 2), Мз(4; 1; 0) и параллельной прямой х+2 у-1 »+5 3 — 4 1 5.5.
Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1;-2;1) и прямую х — 1 у+1 »-1 2 3 2 5.6. Исследовать взаимное расположение пар плоскостей: а) Зх — у+ 2» — 4 = О, -бх+ 2у — 4» — 4 = 0; б) х+ 2у — 2» — 4 = О, 2х+ 4у — 4» — 8 = О. 5.7.
Найти все значения параметра 1, при которых плоскости сх — у — » — 4 = О, х+ 2у — 3» — 5 = О, (2 — ~)х+ у — 24»+ 1 = 0 находятся в общем положении. 5.8. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки М1(0; 1; — 2), М»(1; 2; 1) н перпендикулярной плоскости х — у+ 3» — 12 = О.
5.9. Найти канонические уравнения прямой, параллельной плоскостям х — у — » — 5 = О, х+ 2у+ 2» = 0 и проходящей через точку М1(1; 0; -2). 154 Л. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 5.10. Найти параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки М~(1; 1; -2) на прямую х+2 у — 1 я+5 3 2 2 5.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
