III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Впрочем, несовместность очевидна н так, потому что последней матрице соответствует СЛАУ, в которой третье уравнение имеет вид: Ох1+ Охз+ Охз+ Оха = 1. Пример 9.5. Найдем все матрицы, перес?вековечные с матрицей А=( ). Обозначим искомые матрицы через Х. Условие перестановочности означает выполнение матричного равенства АХ'= ХА. Чтобы существовало произведение в левой части этого равенства, матрица Х должна иметь две строки, а чтобы существовало произведение в правой части — два столбца. Следовательно, Х вЂ” кеадратнал матрица второго порядка, т.е.
Х= 266 9. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ и для ее нахождения требуется решить матричное уравнение (' ') (:.'::) -(:.'::Н' ') Перемножая матрицы в этом уравнении и приравнивая элемен- ты, стоящие на одинаковых местах в получающихся матрицах, приходим к равносильной системе четырех уравнений или Эта система имеет простой вид, и мы можем отойти от общей схемы решения однородных СЛАУ, продемонстрированной в примере 9.2. Легко увидеть, что если из второго уравнения вычесть удвоенное третье, то получится такое же уравнение, как первое и последнее.
Поэтому первые два уравнения в этой системе можно отбросить и тогда х1+ хз — х4 = О, Зхз-2хз= О х1 — — -хз+ хл, или хз = 2хз/3. Итак, хз, х4 — независимые неизвестные, а х1, хз — зависимые неизвестные. Для независимых неизвестных положим хз = с1, х4 — — сз и тогда получим ответ в виде х1= — с1+сз, хз = 2с1~3, хз= ем х4=сз, нли в матричной форме ( сз — с1 2с1/3 '~ с1 сз (' х1+2хз = х1+Зхя! хз+ 2х4 — — 2х1+ 4хз, Зх~+4хз= хз+Зх4 Зхз+ 4*4 = 2хз+ 4хч, Зхз-2хз=О 2х1+ Зхз — 2х4 — — О, х1+ хз — х4 — — О, Зхз — 2хз = О.
Д.а Ь СЛАУ с вонплекеныни коэффициентами 267 где сы сз е 1ч — произвольные постоянные. Если фиксировать для см сз конкретные значения, то из множества всех перестановочных с А матриц будет выделена одна. Например, при с1 = О и сз —— О получается нулевая матрица, а при с1 = О и сз = 1 — единичнал. Дополнение 9.1. СДАУ с комплексными коэффициентами Изложенный в главах 6-9 материал относится к „действительному" случаю, поскольку элементами матриц и определителей, коэффициентами СЛАУ являлись действительные числа. В качестве решений СЛА Утакже рассматривались наборы действительных чисел.
Оказывается, что имеется „комплексное" обобщение указанного материала. Для получения соответствующего комплексного варианта того или иного из приведенных результатов достаточно заменить в формулировках и доказательствах действительные числа на комплексные [1-4.3). Специально подчеркнем, что для уравнений с комплексными коэффициентами сохраняется всл теория СЛАУ. В том числе остаются справедливыми: условия совместности СЛАУ (см. 9.3) и свойства их решений; правило и формулы Крамера (см. 9.4) для квадратных СЛАУ с невыроокденной матрицей; условие существования ненулевого решения у однородной СЛАУ; метод решения СЛАУ на основе приведения расширенной матрицы к ступенчатому виду.
Пример 9.6. Решим квадратную СЛАУ второго порядка с комплекснымн коэффициентами (г — мнимал единица, 1л = — 1) а *1 — 1хг =1+ 1, х1 + 2хл — 21. Вычисляем определитель де1А матрицы СЛАУ: де1А= =1 2 — Ц вЂ” 1)=2+1фО. 1 2 268 а системы линейных уРАВнений Следовательно, матрица СЛАУ невырождена, и система имеет решение, притом единственное. Чтобы его найти, воспользуемся формулами (9.3) Крамера: 21 1 ~1+1 — ~ ('+1)2+21з х| = — = —, бесА 2+1~ 21 2 ~ 2+1 21 21(2 — 1) 2+ 41 2+1 5 5 ,Ья 1 11 1+ 11 21 — (1+ 1) -1+ г -1+ 31 де~А 2+111 21 ~ 2+1 2+и' 5 Вопросы и задачи 9.1. Решить СЛАУ и найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы: а1 + 2хз — х4 — — 5, Зх1 — хз+ хз+2х4=1, х1-2хз+ хз+2хл =3, 5х| — Зхз+ 4хз+ Зх4 = 9, 5х1 — бхз+ Зхз+ бхя — — 7.
9.2. Решить матричное уравнение х(', ~)+(~ )х=( 1). 9.3. Найти общее решение СЛАУ Ах = Ь1 — 2Ьз, если известцы общие решения систем Ах =Ь1 и Ах =Ьз. 9.4. Может ли неоднородная СЛАУ Ах = Ь быть неопределенной, если столбцы ее матрицы линейно независимы (линейно зависимы)? 9.5.
Может ли неоднородная СЛАУ Ах = Ь быть неопределенной, если соответствующая однородная СЛАУ является определенной (неопределенной)? Вопросы и задачи 9.6. Совместна или несовместна СЛАУ, если столбцы ее расширенной матрицы линейно независимы (линейно зависимы)? 9.Т. Может ли неоднородная СЛАУ Аа = Ь быть совместной (несовместной), если соответствующая однородная СЛАУ является определенной (неопределенной)? 9.8. Привести примеры совместной и несовместной СЛАУ, у которых строки матрицы системы линейно зависимы.
Что можно утверждать о совместности СЛАУ, если строки ее матрицы (расширенной матрицы) линейно независимы? 9.9. Квадратная СЛАУ Аи = Ь имеет невырожденную матрицу А, а свободные члены являются непрерывными функциями нз, отрезке 1а, Ь]. Доказать, что любое решение этой СЛАУ состоит из функций, непрерывных на этом отрезке. 9ЛО. Найти условие, при выполнении которого линейнзл комбинация решений неоднородной СЛАУ будет: а) решением этой же СЛАУ; б) решением соответствующей однородной СЛАУ. 9.11. Сколько решений может иметь неоднороднзл (однородная) СЛАУ, если столбцы ее матрицы линейно независимы? 9.12. Доказать, что неоднороднзл СЛАУ совместна, если строки ее матрицы линейно независимы.
10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛА'У' 10.1. Проблемы, связанные с вычислениями При разработке любого численного метода решения какой- либо математической задачи возникает несколько общих проблем. Первая проблема состоит в том, что теоретически корректный метод, приводящий к решению за конечное число операций, может оказаться плохим или вообще неприемлемым, если это конечное число операций окажется слишком большим. Например, при решении СЛАУ с квадратной невырозкденной натриней пор*дка и по правилу Крамера необходимо вычислить и+ 1 определитель и-го порядка. Прн вычислениа только одного из этих определителей „в лоб", согласно определению 7.1, требуется и!и — 1 арифметических операций.
Таким образом, всего для решения системы требуется (и+1Ип!и — 1)+и операций. Уже прн и = 23 это число имеет порядок 10з~. Даже при скорости 10е операций в секунду потребуется не менее 30000 лет! Вторая проблема связана с тем, что в практических задачах приходится иметь дело с неточными данными. При решении СЛАУ с квадратной матрицей требуется, чтобы определитель Ь матрицы системы был отличен от нуля. Однако нарушение этого условия, т.е. соотношение Ь = О, накогда не выполняется точно, так как коэффициенты СЛАУ содержат, вообще говоря, погрешности, н определитель можно вычислить лишь приближенно.
При этом, если определитель Ь мал по сравнению с коэффициентами системы, то небольшае погрешности могут приводить к существенному изменению решения. 271 10.1. Проблемы, еинэанные с иычиелениеми Пример 10.1. Рассмотрим системы < х+ у=1, х+ 1,01у = 1; < х+ у=1, х + 1>01у = 1,1. и+1 Рис. 10.1 Говорят, что СЛАУ езлохо обусловлена, если незначительные изменения ее коэффициентов могут привести к существенному изменению ее решения. Если этого не происходит, СЛАУ называют хороию обус воелемиоб. Третья проблема, возникающая в процессе вычислений, также связана с погрешностями и вызвана тем, что вычисления прн помощи компьютера или калькулятора выполняются лишь Решение первой них — х = 1, у = О, решение второй — х = — 9, у = 10.
Как видим, изменение всего лишь одного коэффициента на 10% приводит к совсем другому результату. Понять причину этого феномена проще всего с помощью геометрической интерпретации СЛАУ. Данные системы можно рассматривать как пары прямых на плоскости. Тогда их решения изображаются точками пересечения этих пар прямых. В нашем случае прямые „почти параллельны" (рис.
10.1). Поэтому незначительное изменение положения одной из них приводит к большому смещению точки пересечения. 272 НХ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ с конечным числом значащих цифр н потому их результаты содержат ошибки округлений (этого можно избежать только при вычислениях в целых числах, но диапазон целых чисел, используемых в компьютере, очень узкий, и это может привести к переполнению его разрядной сетки). В силу этой особенности, даже если все коэффициенты в СЛАУ заданы точно, решение получается, как правило, приближенным. 10.2.
Прямые и итерационные методы решения СЛАУ Мы остановимся на решении только таких СЛАУ, у которых матрица является квадратной и невырозсденноб. В этом случае система имеет решение, и притом единственное. Для его нахождения используются рззлвчиые методы. Выбор метода решения СЛАУ определяет не только объем вычислений, но и точность получаемого этим методом результата. Прлмые методы решенил СЛАУ выполняются за фиксированное число арифметических операций, не зависящее ни от значений коэффициентов, ни от требуемой точности вычислений (но зависяШее, разумеется, от порядка системы). Если вычисления проводятся точно (например, в целых числах), то прямой метод всегда дает точное решение. Поэтому такие методы иногда называют тонными. Пример точного метода (хотя и неприемлемого на практике для больших систем) — это правило Крамера.
Итерационные методы решения СЛАУ принципиально иные и априори строятся на том, что ответ в любом случае будет приближенным. Каждый итерационный метод сводится к построению последовательности сталбцое х(1), х<з), ..., х("), ..., которая в пределе дает решение СЛАУ. Каждый очередной столбец вычисляется на основе уже найденных и является более точным приближением искомого решения. Вычисление очередного столбца называют итерацией. В опре- 273 1а3.
Метод Гаусса деленный момент процесс прерывают, а последний полученный столбец принимают за приближенное решение данной СЛАУ. Как уже отмечалось, прямые методы решения СЛАУ выполняются за фиксированное число шагов, зависящее для каждого конкретного прямого метода лишь от размеров системы. Точность получаемых прн этом решений зависит как от свойств методов, так и от того, является СЛАУ хорошо обусловленной или нет. В некоторых случаях прямые методы могут давать неверные результаты. Итерационные методы решения СЛАУ в сравнении с прямымн методами, как правило, более устойчивы к погрешностям вычислений.
Это связано с тем, что при использовании итерационных методов ошибки вычислений, содержащиеся в х1"1— результате и-й итерации, могут компенсироваться при вычи- СЛЕНИИ Х1п+0 — СЛЕдуЮщЕй, (и+1)-й ИтЕрацнн. ПЛОХая Обусловленность СЛАУ обычно приводит к тому, что замедляется сходимость последовательности х1"1 к решению системы и увеличивается число итераций для обеспечения нужной точности решения.
10.3. Метод Гаусса Рассмотрим квадратную СЛАУ аЫХ1+... + а1пХп = Ь1, ап1Х1+ ° ° ° + аппеп = еп с невырожденноб матрииеб А. Если в методе решения этой СЛАУ, изложенном в 9.7, зафиксировать определенный порядок преобразований 1а любой численный метод должен базироваться на точном порядке вычислений), то получится численный метод, известный как мелиод Гаусса исключения неизвестных (или просто метод Гаусса). Метод Гаусса имеет следующий алгоритм, состоящий 274 Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ из 2п — 1 шага.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
