III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 39
Текст из файла (страница 39)
То же верно и для последовательных шагов метода Гаусса. Таким образом, выполнение прямого хода метода Гаусса означает умножение уравнения Аа = Ь слева на некоторую невырожденную матрицу 5, равную произведению матриц специального вида для элементарных преобразований прямого хода, причем в результате такого умножения система преобразуется к виду Уа = Ь' = ЯЬ, где У вЂ” верхняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. Обозначив А= Я т, заключаем, что А= Ш Выясним, какой вид имеет матрица Ь.
Для восстановления Ь-й строки в матрице А надо Ь-ю строку матрицы У умножить на аь~ ' и к результату последовательно прибавить 1-ю, 2-ю, ..., (Й вЂ” 1)-ю строки с коэффициентами соответственно аы, а~~, а,~ . Это равносильно умножению матрицы У слева на маптритту-сатрапу 1 й-2 й-1 л аы, ат,, ..., аль, аль, О, ..., О) Д.Ю.1.
Мультипликатмвные раэлокенцл матриц 289 длины и. Следовательно, если из таких строк составить матрицу О О Ь= О аы О О а21 агг О 1 1 2 аз1 аэг аэз 1 2 в-1 ав1 авг авэ ' ' ' 11вв то матрица А получается из матрицы 1У умножением слева на Ь. Как видим, использование прямого хода метода Гаусса, приводящего к верхней треугольной матрнце 1У> дает коэффициенты аь., позволяющие записать матрицу у. Теорема 10.3. Если для квадратной мапгрииы А существует ИУ-разложение А = ИУ, то зто разложение единственное. ~ Пусть А = У11У1 — Ь21У2. Матрицы Ьг и 1У2 невырождены.
По- этому, умножив равенство Ь1У1 — — Ь21У2 на обратные матрицы слева и справа, запишем (У Ь,)(1У и ) =Е. Ь, 'Ь1 = Е, 1У11У2 ' = Е. Из этих равенств следует, что Ь1 —— Ьг и У1 — — У~, т.е. теорема будет доказана. Итак, покажем, что представление Е = ИУ единственно.
Обозначим 1 О О ... О 121 122 О ... О 1 и1г и12 .. и1 О 1 игз -- ° и2в 1в1 1вг 1вз 1вв О О О ... 1 Мы получили мультипликативное разложение единичной ма1н- рины Е. Установив, что единичнал матрица имеет единствен- ное ИУ-разложение (с единицами на главной диагонали 1У), а именно Е = ЕЕ, мы тем самым докажем, что 290 нь числнннын мятоды тшнния сллу Рассмотрим произведение 1-й строки матрицы А на 1-й столбец матрицы У. Оно равно 1». Но ИУ = Е, поэтому произведение г-й строки Ь на 1-й столбец У равнонулюпри 1=2, ..., а. Таким образом, 1и = О при 1 = 2,...,а и все элементы 1-го столбца матрицы Ь, кроме первого, равны нулю. Первый же равен 1ы = 1.
Теперь рассмотрим произведение 1-й строки Ь на 2-й столбец У начиная с третьей и учтем, что 1н — — О прн в' = 2,..., а. Получим, что 1зз — — 1, 1в = О при 1' = З,...,в. Продолжая процесс последовательно по столбцам матрицы У, приходим к заключению, что Ь является единичной матрицей. Но тогда из равенства И1 = Е следует, что и У является единичной матрипей. ~э И7-разложение может выполняться по формулам метода Гаусса. Если несколько изменить порядок операций (не меняя причинно-следственных взаимосвязей), то алгоритм можно записать в виде формул.
На г-м шаге (г = 1,2,...,о) сначала вычисляются элементы г-го столбца матрицы Ь: а затем г-й строки матрицы У: аг1 — ~~) 1„ьалэ у'= г+1, г+2, ..., а. При реализации алгоритма на компьютере матрицы Ь и У можно хранить в одном двумерном массине, так как диагональные элементы матрицы У известны заранее и их хранить не нужно. При этом они записываются как одна матрица, у которой на главной диагонали и под ней стоят элементы Ь, а над главной диагональю — элементы У.
Д, 10.1. Мультицликатиаиме раелеиеииа матриц 291 ИУ-разложение существует для тех матриц, для которых выполним прямой ход метода Гаусса. Его можно использовать для решения различных задач: — для решения нескольких систем с одинаковой матрицей и различными правыми частями; — для обращения матриц; — для вычисления определителей (деФА = деФЬдес1У, где ЙеФ 1У = 1, а деФ Ь равен произведению диагональных элементов). Есть небольшая асимметрия между нижней треугольной н верхней треугольной матрицами в Ы-раэоложении матрицы А, поскольку лишь диагональные элементы матрицы 1У равны единице. Матрица Ь может быть представлена в виде произведения Ь = ХР нижней треугольной матрицы К с единицами на главной диагонали и диагональной матрицы В, состоящей иэ диагональных элементов 1н матрицы Ь, т.е.
Ю = йаб(111, ..., 1„„). Это представление приводит к новому разложению А = ХМУ матрицы А в произведение нижней треугольной, диагональной и верхней треугольной матриц, причем диагональные элементы обеих треугольных матриц равны единице. Такое представление матрицы называют ХВЮ-разложением. Из единственности Ш-разложения вытекает единственность и У Р1У-разложения. Предположим, что матрица А является симметрической. Запишем ее ЬВсУ-разложение: А = ЬВУ. В силу свойств произт ведения матриц и операции транспонирования получаем А = 1У РЬ = 1:В1У', т.е.
йР1У-разложение траиспонированной т матрицы. Но поусловию А=А . Поэтому, согласноединственности У.РУУ-разложения, заключаем, что для симметрической т т матрицы А выполняются равенства Ь = У и Ь = У, эквивалентные друг другу. Значит, для симметрической матрицы ее У В(У-разложение имеет вид А = У,Вй . Пусть симметрическая матрица А к тому же является еао.вомсиепелько отаределеккой, т.е. все ее угловые миноры имеют положительное значение.
Исходя из алгоритма ИУ-разложения, 292 ш. численные методы Решения сллу можно показать, что в зтом случае диагональные злементы матрицы Ь все положительны. Значит матрица Р из ЬРУ-разложения А имеет на диагонали только положительные значения, а потому ее можно представить в виде Р = РР = = РР, где Р = йаи (~Дд, ~/Т~г, ..., ~/~„). Учитываем зто в ИЭУ-разложении симметряческой матрицы: А = 1,Рй'= (йР) (Р'1.') = (1,Р) 1У.Р)'.
Вопросы и задачи 10.1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Сделать проверку найденных решений: .( 25х + 15у+ 10х = 5, б) 15х+13у+ 4х= 3, 10х+ 4у+ бх= -2. 5х — 5у+ 5х = 2, Зх — 5у+ 5х = 3, 2х — у+ 2х = -1; 10.2. Решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей методом прогонки: 2х1+ хг =5, х1+ Зхг+ 2хз = 9 2хг хз+ хл = 1 хз+ Зх4 = 5; 2х1+ хг 4, х1+2хг+ хз = 8 хг+2хз+ х4 =12, хз+2х4 = 11. а) б) Мы получили еще одно мультипликативное разложение для симметрической положительно определенной матрицы в виде т А= э"э", где э" — зто нижняя треугольная матрица. Это т разложение называют зЯ -раэлоиееяием или раэлогяеяием Холецяоео. Симметрические положительно определенные матрицы ча сто встречаются в прикладных задачах (например, в матема тической физике).
Выполнение разложения Холецкого, вытекз ющего из Ш-разложения, может быть проведено по таким же простым формулам, как и само Ш-разложение. Но хранение информации о разложении Холецкого требует меньше опера тинной памяти, так как нужно хранить только одну нижнюю треугольную матрицу Я. Вопрось»> э»даче 293 10.3. Составить программу на одном из алгоритмических лзыков, резлизуюшую: а) метод Гаусса; б) метод Гаусса с выбором главного элемента.
Испольэул составленную программу, решить систему 0,1хз — 8,0хз + 9,3хз — 8,2хл = 1,5, — 3,3х> + 2,4хз — 2,8хз+ 2,4хл = 2, -2>бх) + 1 9хг — 2,2хз+ 1,9хл = -1, -1,3хз + 9>3хз — 1,1хз+ 9,5хз = 0 методом Гаусса н методом Гаусса с выбором главного элемента. Сравнить результаты. 10.4. Найти ИУ- н И11>'-разложении следующих матриц: а) 3 — 5 5; б) 3 -14 2 Выполнить проверку полученных ответов. 10.5. Найти ЯЯ -разложение симметрических матриц; Выполнить проверку полученных ответов. 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Кривал впьорого порлдмо на плоскости в прямоугольной систе,ме координат описывается уравнением Ах + Вху+ Суз+ Ох+ Еу+ Р = О, (11.1) в котором коэффициенты А, В, С одновременно не обращаются в нуль. В этой главе мы не ставим себе задачу выявить все кривые, которые могут быть представлены уравнением второй степени, т.е.
мы не будем проводить их полную классификацию. Это удобно выполнять при помощи методов линейной алгебры 11Ч]. Здесь же мы опишем известные кривые второго порядка и их свойства, а также покажем, как можно упростить некоторые частные виды уравнения второго порядка при помощи преобразования параллельного переноса системы координат и определять вид кривой и ее характеристики.
11.1. Эллипс Определение 11.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек г1 и гз есть заданная постоянная величина, называют эллипсом. Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки р~ и гз,а яеотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками г1 и гз равно 2с. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках р~ и гз, например, при помощи двух иголок. ясно, что 295 1ЬЬ Эллипс это возможно лишь при а > с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис.
11.1). Итак, описываемое множество не пусто, если а > с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами Г~ и гз, а при с = О, т.е. если укаэанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > О.
Фиксярованные точки Е~ и гэ в определении 11.1 эллипса (см. рис. 11.1) называют фокусами элликса, расстояние между ними, обозначенное через 2с, — фокалькым расстколкием, а отрезки Р~М и гэМ, соединяющие произвольную точку М на эллипсе с его фокусамя, — фока вькыми радиусами. Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием ~р~рэ~ = 2с и параметром а, а его положение на плоскости — парой точек Р~ и гэ. Из определения элляпса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы Р~ и гз, а также относительно прямой, которая делит отрезок Р~Рэ пополам н перпендикулярна ему (рис. 11.2,а).
Эти прямые называют ос.ами элликса. Точка О их пересечения является центром 296 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА симметрии эллипса, и ее называют центпром эллпвса, а точки пересечения эллипса с осямя симметрии (точкн А, В, С и Р на рнс. 11.2, а) — еершиналаи эллнисп. Рис. 11.2 Число а называют большой во,вуосью элливсп, а Ь = = ай/а~ — с~ — его ма вой иолносью. Нетрудно заметить, что при с ) 0 большая полуось а равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной осн с фокусами эллипса (вершины А н В на рнс. 11.2, а), а малая полуось Ь равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины С н Р на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
