III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 42
Текст из файла (страница 42)
а *-++ ~Гхг — аз+ х Наклонызл асимптота описывается уравнением у = (Ь/а)х. Проведенное исследование функции (11.9) позволяет построыть ее график (рис. 11.9), который совпадает с частью гиперболы (11.8), содержащейся в первой четверти. Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный иа рнс.
11.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ~(Ь/а)х являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы. Рне. 11.10 Р .пв Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимал, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, — не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют еерзиинами еиперболы (точки А(а; О) и В(-а; О) иа рис.
11.10). Построение гиперболы по ее действительной (2а) и мнимой (2Ь) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2а и 2Ь, параллельными, соответственно, действительной н мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 11.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы— точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы.
Отношение Ь/а сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриснтет гиперболы. Эпсцепвзрисишепзом еиперболы называют отношение ее фокального 312 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА расстояния к действительной оси. Эксцевтриситет обозвачают через е. Для гиперболы, опысываемой уравнением (11.8), с = с/а. Отметим, что если эксвектриситеш эллипса может прииымать зыачеиыя иэ полуивтервала [0,1) (эыачеыие 0 соответствует предельному вариаыту эллыпса — окружности), то эксцеитриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1, +со).
Рис. 11.11 хз уэ — — — = — 1. аэ Ьз (11.10) Вторую гиперболу иаэывают сопрлжекноВ по отыошеыию к первой, а уравнение (11.10) — какоккнеснкм уравнением сопрлжекной еиперболы. Действытельызл и миымал осы Построым прямоугольник с центром в вачзле системы координат Оху и сторонами 2а, 2Ь, параллельными осям абсцисс и ординат соответственно. Проведем прямые у = (Ь/а)х и у = — (Ь/а)х, ыа которых лежат дыагоыалы прямоугольвыка. Существует две гиперболы, соответствующие построенному прямоугольиыку (рыс. 11.12). Первая из ыих описывается каыоыическим ураввеыием (11.8), а вторэл — уравнением 313 1ь2. Пшерболэ первой гиперболы являются соответственно мнимой и действительной осями сопряженной гиперболы, а асимптоты у них общие.
Рис. 11.12 Пример 11.2. Найдем каноническое уравнение гиперболы по ее действительной полуоси а = 4 и фокальному расстоянию 2с = 10. Построим гиперболу и определим координаты ее вершин, фокусов и уравнения аснмптот, Так как действительнал полуось а гиперболы известна, то, чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, достаточно определить мнимую полуось 0. Поскольку с= 5, 6= ~(сз — аз, то 6 = ~/32 — 42 = 3.
Итак, искомое уравнение имеет ввд Хз уз — — — =1. 42 32 Построим прямоугольнвк, соответствующий заданной гиперболе (рис. 11.13). Продолжим его диагонали до асимптот гиперболы в построим саму гиперболу. Уравнениями асимптот являются у = ~3х/4, вершины находятся в точках (~4; О), а фокусы совпадают с точками (~5; О). Ы. КРИЗЫК втОРОГО ПОРЯДКЛ 314 Рис. 11.13 Геометрические свойства. Геометрические свойства гиперболы во многом повторяют свойства эллипса.
Вернемся к формуле (11.7). Она эквивалентна каноническому уравнению гиперболы и дает выражение для длины фокального радиуса гзМ ее точки М(х; у): где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой. Аналогично можно получить формулу дая длины другого фокального радиуса, если при выводе канонического уравнения гиперболы перед первым возведением в квадрат в правую часть равенства перенести не второй, а первый квадратный радикал. Прн этом вместо (11.7) получим откуда 315 11лл Гиперболе ~Р1М~ = Е. ~х — о/е) )Е1М~ ~х+ п/е~ (11.13) Рассмотрим прямую У: х = — а/е (рис. 11.14). Выражение ~х+а/е~ представляет собой расстояние от точки М(х; у) до прямой Н', Аналогично выражение ~(х — а/е) равно расстоянию (х — а/е~ от точки М гиперболы до прямой И: х = а/е.
Поэтому из уравнений (11 13) следует, что гипербола состоит иэ таких точек, для которых отношение расстояния до фокуса Ел (фокуса Р1) к расстоянию до прямой о' (прямой о) есть величина постоянная, равнал ее эксцентриснтету е. Эти две прямые И и Н' называют диреитприсами еипербольл. Рнс. 11.14 где, как и в (11.11), знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус — левой.
Каждое нэ уравнений (11.11), (11.12) является уравнением гиперболы. Гипербола не проходит через свои фокусы (прн О < а < с). Поэтому фокальные радиусы любой ее точки М имеют ненулевую длину, т.е. ~Е~М~ ф О н )ЕзМ! ф О. Но тогда в (11.11) и (11.12) правые части тоже отличны от нуля, и зти уравнения гиперболы можно переписать в следующем виде: 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 316 Геометрически директрисы определяются как прямые, перпендикулярные действительной оси симметрии гиперболы и удаленные от ее центра на расстояние, равное отношению действительной полуоси к зксцентриснтету. Расстояние р от директрисы гиперболы до ближайшего к директрисе фокуса, как н у эллипса, называют фопальпылл параметиром еиперболы.
Отметим, что а аз сз — аз Ьз р= с — — =с — — = Я с с с Гипербола также имеет и оптическое свойспъво, аналогичное оп~вическому сеобсшвд эл шпса. Оно состоит в том, что лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса (рис. 11.15). Рис.
11.15 Оптическое свойство гиперболы доказывается примерно так же, как и эллипса, Это свойство эквивалентно утверждению о параллельности напраеляюо1его вектора касательной в точке М(хо, Уо) гипеРболы и биссектРисы Угла г1МРэ. Убедимся в этом. Вычислим еекшор, направленный по биссектрисе угла Р'1МРр, и сравним его с направляющим вектором касательной.
317 11.3. Пшерболв Пусть точка М гиперболы ве является ее вершиной. Рассмотрим фувкцию у от х, неявка эадаввую ураввевием (11.8). Дифференцируя (11.8), получаем 2х/аэ — 2уу'/6з = О, откуда па ходим производную у'(х) = хбз/(уа ). Уравнение касательной в точке М можно записать в виде у- уо = у'(хо)(х — хо).
Подставив выражение для эвачевия производной в точке М, получим хобэ у — уо = — (х — хо), уоаз ххо ууо хо уо 3 3 аз йз аз 6з' что приводит к ураввенвю касательной ххо ууо — — — =1 аз 62 поскольку коордииаты точки М удовлетворяют уравнению (11.8) гиперболы. Это уравнение справедлпво и для касательпых к гиперболе в ее вершинах, которые в этих точках вертикальвы.
Следовательио, в качестве направляющего вектора касательной к гиперболе можно выбрать вектор в с координатами (уо/6з; хо/аз). Рассмотрим векторы г1Я$ и КХ~. Векторы м1 —— ~КМ~Я$ в нэ = ~КЯ$~Я$ ноллинеарнм векторам г1Й в Я$ и имеют одинаковую длину, которая равна ~Я1~ ~РзЛ$~. Поэтому их сум.иа п1 + лз представляет собой диагональ построенного на вих ромба, являющуюся, как известно, биссектрисой внутрен- 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 318 него угла ромба. Вычисляем зту сумму: ~Ю)Кх~+ ~Я2~РЯ = = (ехо+ анхо — с; уо) + (яхо — а)(хо+ с; уо) = = ((ехо+ а)(хо — с) + (схо —,а)(хо+ с); 2схоуо) = уоо . =(Гг — 2;2е Г1=2с1 —;*Р1=2 1 — '*У)= Видим, что этот вектор коллннеарен вектору е. Гипербола, приведенная к асимнтотам.
Если у гиперболы совпадают действнтельная н мннмзл полуоси, т.е. а = 6, то угол между аснмптотамн равен 2агс13(Ь/о) = 2агс131 = я1'2, т.е. является прямым. Такую 1нперболу называют раеиобочноб. Для нее кроме канонической системы координат, в которой оси коордииа1п совпадают с осямн снмметрнн гиперболы, рассматривают также и другую, осямн которой являются аснмптоты. Выведем уравнение гиперболы в этой системе коордннат, которую обозначим Оху. Пусть я, у — ее репер, з, г', у' — репер канонической системы координат Ох'у' (рнс. 11.16).
Каноническая система координат повернута относительно снстемы Оху на угол х/4. Поэтому (см. 3.2) ~/2. ~/2 . яч = — й+ — я', 2 2 ~Г2. ~Г2 . у' = — — й+ — у'. 2 2 Значит, координаты х', у' канонической системы координат выражаются через координаты х, у с теми же козффнцнентамн: ~/2 у~2 х'= — х+ — у, 2 2 ~/2 ~/2 у' = — — х+ — у.
2 2 313 ы.г. Гипереоле Уравнение равнобочной гиперболы в канонической системе координат имеет вид (х')з — (у')~ = а~, где а — действительная (она же мнимая) полуось гиперболы. Заменив в этом уравнении канонические переменные на х, у, получим — (х+ у) — — (х — у) = а, з 1 з з 2 2 или а~ ху = —. 2 (11.14) Уравнение (11.14) называют уравнением гиверболы е асиляптпотпах. Рнс. 11.16 Замечание 11.3. Уравнение аз ху=-— 2 задает сопряженную гиперболу для равнобочной гиперболы (11.14). Пример 11.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
