III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Преобразуем уравне- ние: х(у — 1) — 2(у — 1+ 1) + 6 = О> (у — 1) (х — 2) + 4 = О, (х — 2)(у — 1) = -8/2. В канонических координатах х' = х — 2, у' = у — 1 уравнение имеет вид х'у' = -(21/2)'/2, Рис. 11.34 т.е. представляет собой уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах с полуосями а = о = 21/2. Далее находим с = = и>ая + оя = 4 с = с/а = 4/(21/2) = 1/2.
Центр гиперболы находится в точке О'(2; 1) (рис. 11.24). 335 д.ЫЛ. И арвмс урвввсввх Даем сводку остальных характеристик по этой кривой: Система координат О'х'у' Оху Коордвнаты вершин А(-2; 2) А(2 — 2; 1+2) в(г+ 2; 1- 2) Р) (2 — гс/2; 1+ 2~/2) Рз(2+ 2~/2; 1 — 242) у-1=Ы Гг(х-2) 8(2; — 2) с~ (-ганг; 2~/2) р,(2Л', -г~г) Координаты фокуссв у' = х' х 2~/2 у'=0 х'шО Уравнення дврсктрнс Ураввсвнл асвввтот д-1=0 х — 2=0 Дополнение 11.1.полярные уравнения — =е, Р ')МР') (11.21) где р — полярный, он же фокальный, радиус точки М на кривой; МР— перпендякуляр, опущенный яэ точки М на дяректрнсу И (ряс.
11.25, б). Часто используют уравнення эллиоса, еиоерболы н оараболы в полярной систелсе координат. На вяд этих уравнений влияет взаимное расположение канонической систелсы координат кривой я полярной системы координат. Мы фиксируем полюс полярной системы координат в 4окусе кривой. Пря этом для эллипса выбираем левый фокус, а для гяперболы правый, если рассматрявать ях расположение в канонической сястеме координат. Полярную ось выбираем так, чтобы ее направление совпадало с положительным направлением оси абсцисс каноняческой системы координат. Все трн вида крявых описываются общим свойством: для любой ях точки отношение расстояний до фокуса я до дяректрясы постоянно я равно эксцентрясятету кривой. Значение эксцентрясятета определяет тяп крявоя.
Если зафякснровать фокальный параметр, так что положение директрисы в выбранной системе координат будет оставаться неизменным, мы, варьируя эксцентрнсятет, получям единый ряд элляпсов, параболы, правых ветвей гипербол (ряс. 11.25,а). Конкретная кривая определяется свопм эксцентрясятетом е пря помощи уравнения 336 Ы. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Рнс. 11.36 Так как ~МР~ = р+ рсов~р, то, подставив это выражение в (11.21), получим р =въ р+ рсов~р или рв р= 1 — всея~о (11.22) ~МР~ = — рсов~р - р, и поэтому иэ (11.21) полярное уравнение левой ветви гиперболы получаем в виде Р= 1+„,р Уравнение (11.22) наэыввют аоллрмым уравнением эмьипсо, твараболью и правой ветви еиперболы.
Если точка М (рис. 11.26) принадлежит левой ветви гиперболы, то 337 Вопросы и задачи Рис. 11.26 Вопросы и задачи 11.1. Доказать, что у сопряженных гипербол фокальные расстояния совпадают. 11.2. Доказать> что при повороте канонической системы координат на угол я/2 уравнение сопряженной гиперболы превратится в каноническое уравнение гиперболы.
11.3. Найти уравнение эллипса, если его оси симметрии параллельны осям координат, которых он касается, а центр находится в точке (-3; 2). 11.4. Нанти уравнение гиперболы с центром в точке (2; 1), если ее оси симметрия параллельны осям координат, ее асимптота проходит через начало системы координат н эта гипербола касается: а) оси абсцисс; б) оси ординат. 11.5. Найти уравнение равнобочной гиперболы с центром в точке (2;1) и проходящей через начало системы координат, если одна из ее асимптот: а) вертикальна; б) горизонтальна; в) параллельна прямой у = х. 11.6. Найти уравнение параболы с першиной в точке (1; 3), проходящей через точку (3;-1), ось симметрии которой: а) вертикальна; б) горнзонтальн.
338 1 Ь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 11.7. Преобразовать уравнение кривой второго порядка и построить его геометрический образ в системе координат Оху, определив: для параболы — координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы; для зллнпса — координаты центра, вершин и фокусов, полуоси и зксцентрнситет, уравнения директрис, "для гиперболы — еще и уравнения асимптот: а) ху — х — 9+1=0; б) хд — х — 9+5=0; в) 4хз — 99з — 16х — 369-56=0; г) 4хз — 259з — 16х — 1009+ 16 = 0; д) хз — 169з — 2х — 649 — 47 = 0; е) хз — 10х-4у+57= 0; ж) ху — 9х — 49+72=0; з) 2хз+ 2уз+ 4х — 89+ 11 = 0; и) 2хз — уз+4х — 89+36= О. 11.9.
Доказать, что в полярных уравнениях кривых второго порядка знаменатели не обращаются в нуль. 11.10. Найти каноническое уравнение кривой второго порядка по ее полярному уравнению: 15 15 а) р= б) Р= 5 — Зсов~р' 3 — 5сову' 5 в) р= 1 — сов1в 11.8. Составить уравнение параболы, если ее фокусом является точка 12; -4), а директрисой: а) ось ординат; б) ось абсцисс; в) прямая 9 = 8. 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 12.1.
Поверхность вращения и преобразование сжатия Поверхность вращения. Простейшие поверхности в пространстне — это плоскости. Они являются геометрическими образами уравнений иереей степени от трех переменных. Другой достаточно простой тип поверхностей составляют поверхности вращения. Определение 12.1. Поверхность й называют ноеерхмоспзью ераилемил, если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой Ь (оси вращения), которые расположены в плоскостях, перпендикулярных Ь (рис. 12.1). Уравнение поверхности вращения й имеет наиболее простой вид, когда иача- ло О орлмоуеольиой системы координат лежит на оси вращения, а ось Оя совпадает с ней. Пересечение поверхности й с координатной плоскостью Охи — зто некоторое множество Я (рнс.
12.2), вращение которого образует й. Ь Предположим, что множество Я в р„ плоскости Охя описывается уравнением <р(х,х) = О. Рассмотрим произвольную точку М(х; у; х). Она удалена от оси Ох на расстояние д= ~/хз+уз. Если точка М лежит на поверхности вращения й, то точки М~(х~',О; х), Мз(хз, 'О; г) с той же аппликатой х, что и М, и абсциссами хь —— а', 24О ПЬ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА хз = — >1 принадлежат множеству Я. Поэтому О = >р(хых) = >р(Й>х) = >р(~х+ у >х) > О = >р(хз>х) = >р(-д>х) =>р(- ~х~+уз>х) и условие М б й сводится к тому, что коордикаты точки М удовлетворяют равенству >р(~ ~хэ+уз>х) =О.
(12.1) Уравнение (12.1) и есть уравнение поверхности Й, котораяобразована вращением подмножества, Я = = (>(х; х): >р(х, х) = 01, расположенного в координатной плоскости Охх. Из уравнения множества о' уравнение (12.1) соответствующей поверхности вращеыия получается заменой х на ~~/хз+ уз. Преобраэоваиие сжатия. Под преобраховамвем сясооим к координатной плоскости Охи мы понимаем такое преобразование, при котором точка М(х;у;х) смещается в точку М'(х; у/й; х), Й > О. Параметр Й называют моэффициенгпом сисопзил. При й> 1 точки пространства, расположенные на одной прямой, перпендикулярной плоскости Охх, в результате такого преобразования сближаются, т.е.
преобразование— действительно сжатие. При О < Й < 1 преобразование фактически является растяжением. Пусть в пространстве в прямоугольной системе координат Охуя некоторое множество Я задано своим уравнеыием г"(х,у,х) = О. При преобразовании сжатия к координатной плоскости Охя с коэффициентом й это мыожество превратится в новое множество Я' с уравнением Г(х,ку>я) = О. Это следует из того, что точка (х; у; г) тогда и только тогда принадлежит множеству Я>, когда точка (х; Йу;х) приыадлежит множеству Я. 341 12.2 Эллиасанлм 12.2. Эллипсоиды хг — + — = 1. аг вг Если в этом уравнении заменить х на ~~/х~+ уг (см.
12.1), то получатся уравнение ,г+ г г — — 1 аг вг соответствующей поверхности вращения. Итак> эллипсоид вращения с осью вращения Ог описывается уравнением хг уг гг — + — + — =1 аг аг вг (12.2) Рие. 1З.З Рне. 12.4 Поверхность, которая получается при вращении,ммилса вокруг одной из его осей симметрии, называют эллилсоидом вращенил (рис. 12.3) Уравнение эллипсоида вращения выведем, расположив начало нрлмоуеольноб системы координат в центре эллипса и совместив ось аннликат Ог с осью вращении, а координатную плоскость Охг — с плоскостью эллипса (рнс. 12.4). Тогда уравнение эллипса будет иметь вид 342 Пс ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА х2 й2у2 22 — + — + — =1 а2 аз Ьэ или, после переобоэначенин параметров, х у х — + — + — = 1. Ь2 с2 (12.3) Уравнение (12.3) задает поверхность ен2ороео порядка.
Его называют какокическкм нраенеккем эллипсокда. Три па; раметра а, Ь и с, входящие в него — это 22о юкоса элли22совоа (рис. 12.5). Если все три полуоси эллипсоида попарно различны, то эллипсоид называют к2ревоскььм. Рне. 12.$ Прн совпадении каких-либо двух полуосей (как, например, в уравнении (12.2)) эллипсоид является поверхностью вращения (эллипсоидом вращения). Если равны все три полуоси (а = Ь = = с = г), то эллипсоид превращается в сферу радиуса г, которая описывается уравнением х +у~+я =г . Применив к эллипсоиду вращения преобразование сжан2ня к координатной плоскости Охя, получим элли22соид общего вида. Если Й вЂ” коэффициекн2 сжатия, то уравнение эллипсоида будет иметь вид И.З.
Пипер богоняы 12.3. Гиперболоиды При вращении гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии получается поверхность, называемая гитьерболоидом вращения. Выбор оси вращения влияет на тип гиперболоида. Если осью вращения является дгйствитпгльнал ось симметрии гиперболы, то поверхность вращения будет состоять из двух частей (полостей). Это двуиолостпный гиперболоид вращения (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
