III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Конечно, если, как в примере 12.2, уравнение поверхности имеет канонический вид, то можно воспользоваться приведенным выше выводом канонических уравнений поверхностей второго порядка. Однако в примерах 12.3, 12А (см. рис. 12.19,а,б) ситуация сложнее,и использование метода сечений представляется целесообразным для исключения ошибок. Дополнение 12.1. Конические и лннейчатые поверхности Поверхность, которая образуется при движении прямой, проходящей через некоторую фиксированную точку А, называют конической.
Точка А — это вершине конической новерхноскэи, а всевозможные прямые на поверхностн, представляющие собой положения движущейса прямой, — зто обрвзующие конической коверхностки (рис. 12.20). Примеры конических поверхностей дают прямой круговой и эллиптический конусы.
Траекторию у некоторой фиксированной точки В на движущейся прямой (но не вершины) можно рассматривать как направляющую конической иоверхностпи. При этом коническую поверхность можно определить как множество всевозможных прямых, проходящих через фиксированную точ- 364 ПС ПОВЕРХНООТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ку А (вершину) и пересекающих заданную кривую 'у (направляющую). Рис. 12.20 Если начало прямоугольной системы координат Охуз совпадает с вершиной конической поверхности, то уравнение Г(х,у,г) = О этой поверхности будет иметь следующее свойство. Если Г(хе, уе, го) = О, то и Р'(Ляе, Луе, Лле) = О для любого действительного числа Л.
Это следует из того, что через любую точку конической поверхности, не являющуюся вершиной, проходит образующая. Точки М(хо, уе, ге) н М'(Лхо, 'Луе; Лге) лежат на этой прямой. Уравнения с описанным свойством называют однородньами. Итак, при указанном выборе системы координат уравнение конической поверхности будет однородным. Верно и обратное утверждение: геометрическим образом однородного уравнения является коническая поверхность. Алгебраическое уравнение будет однородным, если оно содержит слагаемые одной и той же степени. Например, каноническое уравнение (12.9) эллиптического конуса состоит из слагаемых второй степени. Коническая поверхность относится к более широкому классу ликебнаеаыи «онериносшеб, образуемых движущейся прямой (рнс.
12.21). Если движущаяся прямая все время проходит через фиксированную точку (что, вообще говоря, необязательно), то линейчатая поверхность будет конической. Если прямая движется поступательно, оставаясь параллельной свое- Д. Ка1. Конические в линейчвтые поверхности 365 му исходному положению, мы получаем другой вид линейчатой поверхности — цилиндрическую поверхность. Рис. 12.21 Линейчатыми, но ие коническими, поверхностями являются однополостпкый гиперболоид и гиперболический параболоид. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим однополостный гиперболоид, заданный своим канокическим уравнением хз уз хз — + — — — =1 аз Ьз сз (12.23) хз хз уз — — — =1 —— а1 сз Ьз и преобразуем уравнение к следующему виду: (- — -) (-+ -) = (1 — -) (1+ — ) .
(12.24) При любом значении параметра А система А(1 У) а с Ь (12.25) А(-'+-') =(1+Я представляет собой общие уравкекия прямой Эта прямая при любом А принадлежит однополостному гиперболоиду, поскольку при А ф 0 уравнение (12.24) гиперболоида получается перемножением уравнений системы (12.25) и сокращением на А. При Перенесем второе слагаемой левой части уравнения в его правую часть 366 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА А = О (12.24) следует иэ (12.25), поскольку обе части уравнения (12.24) содержат множители, равные нулю, Таким образом, однополостному гиперболоиду принадлежит бесконечно много прямых, описываемых общими уравнениями (12.25). Если к зтим прямым добавить еще одну прямую (12.26) х х — + — =О, а с которую естественно соотнестя с бесконечным значением параметра А, то через каждую точку однополостного гиперболоида будет проходить одна прямая семейства, лежащая на гиперболоиде.
Соответствующее значение А можно найти из системы (12.25). Итак, гиперболоид, который задается уравнением (12.23), представляет собой множество прямых, описываемых уравнениями (12.25). Эти прямые называют прлмолимебмымв образующими однополостпново гииерболоидв. Однополостный гиперболоид вмеет также второе семейство прямолинейных образующих, которое описывается системой уравнений аналогичной (12.25), с тем же соглашением о значениях параметра А Рве.
12.32 (рнс. 12.22). Наглядным примером однополостного гиперболоида с двумя семействами прямолинейных образующих являются секции Шаболовской телебашни. Автор оригинальной идеи, заложенной в конструкцию телебашни, он же ее конструктор — русский инженер В.Г. Шухов (1853-1939). 367 Д.12.1. Конические и оинейчотие иоаеркиости х' у' — — — = 2р» пз Ьз к виду (- — -) (-+-) = 2р». (12.27) пение можно „расщепить" в систему двух линейных уравнений х у ---=лр, а Ь (12.28) л(-+ — ) =2» или по-другому х у -+- =лр, а Ь (12.29) Л~ — — -) =2». ~а Ь Каждая из систем (12.28), (12.29) задает семейство прямолиней- ных образующих гиперболического параболоида (рис.
12.23 . Рис. 12.22 Прямолинеиные о р у б аз ющие гиперболического параболонда находятся так же, ка к и однополостного гиперболоида. Преобразуем каноническое уравнение гиперболического пара- болоида 368 Ка ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА асов~р / ав1п~рЛ а ~, а и решим уравнение относительно Л: сов~р 1 — в!п у (12.30) Знал параметр Л, мы можем найти направляющий вектор в прямой (12.25) как векторное произведение нормальных вектпоров двух плоскостей, определяемых уравнениями системы (не забывая при этом, что а = Ь): у й 1/а Л/а -1/с Л/а — 1/а Л/с Лз — 1.
2Л . Ля+1 й. — в — у ас ас аз В случае однополостного гиперболоида вращения, т.е. при а = Ь, каждое из двух семейств прямолинейных образующих получается вращением одной прямой семейства вокруг оси вращения поверхности. Это значит, что однополостный гиперболоид вращения можно получить вращением прямой, которая является скрещивающейся по отношению к оси вращения. Рассмотрим, например, семейство (12.25), полагая, что а = Ь. Каждая прямая семейства пересекает координатную плоскость хОу в точке, лежащей на окружности хз + уз = аз (других точек гиперболоида в плоскости хОу нет). С другой стороны, прямолинейная образующая не может быть параллельна этой плоскости, так как соответствующим сечением гиперболоида является эллипс).
Выбрав произвольную точку М(асеев; ав1п~р; 0) на указанной окружности, найдем значение параметра Л для прямой семейства (12.25), проходящей через М. Отметим, что прямолинейнвл образующая, соответствующая Л = О, пересекает эту окружность в точке (О;-а;0), а соответствующая бесконечному значению Л вЂ” в точке (О; а; О). Это непосредственно следует из (12.25). Подставим в первое уравнение системы (12.25) координаты точки М збО д.тн2. Конические сечение Длина полученного вектпора равна (Лз — 1)газ + 4Лзаз+ (Ля+ 1)~сз (1+ Лз)ъ/аз+ сз 1з!— азс азс Разделив вектор з на его длину, получим едииичныт1 направля- ющий вектпор Лз — 1 . 2Л зо = — ре — — ру — вй = рв1п сей — рсов уу' — вй, Ля+1 Ля+1 где р = а/~/аз+сз, в = с/~/аз+сз, а параметр Л заменен на 1о согласно формуле (12.30).
Можно показать, что вектор зе получается из вектора с коордииатпалти (О;-р;-д~, соответствующего Л = 1, поворотом на угол <р вокруг оси Ог (1Ч], Следовательно, прямая семейства (12.25), соответствующая параметру Л, получается поворотом вокруг оси аппликатп прямой того же семейства, соответствующей параметру Л = 1. Дополнение 12.2.Коннческне сечения Важнейшей особенностью прамого «ругового конуса является то, что все кривые второго порядка трех типов: эллипсы, гиперболы, параболы — могут быть получены как комические секеиетл, т.е. сечения конуса различными плоскостями.
Рассмотрим прямой круговой конус, который в прл.иоугольнот1 систпеме координатп Охух описывается уравнением х +у — я~ =О (12.31) и геометрически получается прн вращении вокруг оси Ох прямой г = х, принадлежащей коордииатпнот1 плоскостпи хОх.
В силу круговой сямметрии поиерхности (12.31) можно ограничиться только сечениями прн помощи плоскостей, перпендикулярных координатной плоскости хОх. Таким плоскостям соответствуют уравнения Ах+ Вг+ О = О, Аз+ Вз ф О. 370 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если В = О, то секущая плоскость описывается уравнением х = хе, где хв = -Р~А, и параллельна координатной плоскости у02. Подставив значение абсциссы хе в уравнение конуса (12.31), найдем, что сечение в плоскости х = хо описывается уравнением хз — уз = хне (см.
12.7) и при хо ф 0 представляет собой равнобочкую гиперболу (рис. 12.24, а), а при хе — — 0 — пару прямых, которые являются образующими конуса (рис. 12.24, б). Рис. 12.24 хз+ уз хз — О =йх+Ь. (12.32) Чтобы получить уравнение кривой в секущей плоскости, рассмотрим прямоугольную систему координат О'чп, взяв в качетве координатных осей 0'и и 0'я прямые, являющиеся пересе- Пусть в уравнении секущей плоскости коэффициент В ~ О. Тогда плоскость можно представить уравнением х = Ьх+ Ь, где Ь = — А/В, Ь = -Р)В.
В силу симметрии конуса относительно плоскости Оху достаточно ограничиться случаем, когда й < О. Коническое сечение для рассматриваемой плоскости в пространстве будет описываться системой двух уравнений 371 Д.12.2. Конические сечения чениями секущей плоскости с координатными плоскостями хОг и хОу (рис. 12.25). Координаты и и е произвольной точки в секущей плоскости будут связаны с ее координатами х, у и г в пространстве соотношениями и х = хе + и сов у = хо ~/Г+ Ь~ У=и~ /си г= ив1псс=— Л+ lР' (12.33) где се — угол между коническим сечением, перпендикулярным координатной плоскости хОг, и координатной плоскостью хОу (см. рис.
12.25), причем /с = гбао, а хе — — — Ь/Ь. Рис. 12.26 Раскрывая скобки и приводя подобные„находим 1 — й 2 2Ь Ь 1+ Ьг ЬД+ ~У вЂ” и + и+ — +и~=О. (12.34) Подставляя (12.33) в первое уравнение системы (12.32), получаем уравнение конического сечения в системе координат ОЪп 372 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА При й = -1, когда секущая плоскость образует с плоскостью хОу тот же угол, что и образующие конуса, конические сечения будут представлять собой параболы (рис. 12.26, а) и описываться уравнением ез =Ьс/2(а — Ь/~/2). Варьируя параметр Ь в уравнении секущей плоскости, в качестве конического сечения можно получить любую параболу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
