III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 46
Текст из файла (страница 46)
12.б). При вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси симметрии поверхность будет состоять из одной полости (рис. 12.7). Такую поверхность называют однотьолостпньтм гитьерболоидом вращения. Для вывода уравнений гиперболоидов вращения расположим прямоугольную систпгму координатп так, чтобы ось вращения, являющаяся осью симметрии гиперболы, совпадала с осью аппликатп Оя, а сама гипербола располагалась в координатной плоскостпи Охя с центром в начале систпгмы координатп, Для случая двуполостного гиперболоида вращения уравнение гиперболы будет иметь вид хз хя — — — = -1.
аз вз Рнс. 12.7 Рис. 12.6 344 гг. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Заменив в вем х на ~~/хг+ уг (см. 12.1), получим уравнение хг уг г — + — — — = -1. аг аг 6г (12.4) хг — — — = 1. аг 6г Опять меняем х на радикал ~~/хг+ уг, получаем хг уг — + — — — =1 аг аг 6г (12.5) уравнение одыополостного гиперболоида вращения. Гиперболоиды вращения преобраэованием сжатпия к координатной плоскости Охг превращаются в двуполостпныб и однополостпныб гиперболоиды общего вида. При коэф11иааектае сжатия й их уравнениями будут соответственно г йгуг г — 1 хг йгуг хг и — + — — — =1.
аг аг 6г — + — — — —— аг аг 6г После переобоэначений параметров этн уравнения преобразуются в нанонинесное уравнение двуполосгпноео (рис. 12.8) х' у' хг — + — — — =-1 аг 6г сг (12.6) и однополостпного (рыс. 12.9) еиперболоидов хг уг хг — + — — — = 1. аг Ьг сг (12.7) В случае однополостного гиперболоида вращения гипербола будет описываться уравнением 13А. Эяиаттнчоскио аороаолокдм Как видно из уравнений (12.6), (12.7), оба гиперболоида являются поверхкостпаки второго порядка. Ркс.
12.6 Ркс. 12.9 12.4.Эллиптические параболоиды При вращении параболы вокруг ее оси получаем параболоид враи4емия (рис. 12.10). Чтобы найти его уравнение, выберем прямоуголькуи систпелту коордикат, направив ось Ох по оси вращения и совместив коордикатпкую плоскоспть Охя с плоскостью параболы.
Пусть при зтом парабола описывается уравнением хз = 2рх, р > О. Тогда для получения уравнения поверхкостаи враитекия нужно заменить в этом уравнении х на ~~(тх + у (см. 12.1). 2рх = хз+ уз. Ыреобраэовакие сжатпия параболоида вращения к координатной плоскости Охх с коэффициекптам й дает поверхность 346 Пс ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА более общего вида — эллиптпическиб параболоид, уравнением которого будет 2рх= хэ+ьзуз. После переобоэначения параметров получаем какокическое уравнение эллиптпического парабо,хонда хз уз — + — = 2х. (12.8) аз 62 Рис.
12.10 Видим, что эллиптический параболоид является поверхностью втпорого порядка. При а = 6 он превращается в параболоид вращения. 12.5. Конусы При вращении прямой Ь, пересекающейся с осью вращения, образуется «рлмой круговой комус (рнс. 12.11). Точка г пересечения вращающейся прямой с осью вращения остается неподвижной, ее называют вертмикой комуса.
Как и ранее, уравнение будем выводить в прямоугольной систпгме координата, ось Ох которой совпадает с осью вращения, у а начало систпсмы координат — с вершиной конуса. Ось Ох расположим так, чтобы прямзл Ь находилась в координатной плоскостпи Охх и описывалась уравнением х = ктх.
В этой системе координат уравнение поверхностпи враи1ения получаРис. 12.11 ется иэ уравнения прямой заменой х на 347 1г.б. цмянндрнчеснне новерхностн ~ /хг+у~ (см. 12.1). В результате такой замены получаем х = ~йг ~/хг+ уг. Возведя уравнение в квадрат, придем к соотношению хг = йгт(хг+ уг), а разделив его на сг = й(аг, получим каноническое уравнение прлмоео круеовоео конуса г,г г — + — = —. аз аг сг Преобразование схеаптия прямого кругового конуса к координатной плоскости Охг с коэффициентом й дает эл иитпический конус. Его уравнение имеет вид хг йгуг хг — + — =— аг аг сг или, после переобозначения параметров, уг г — + — =— аз вг сг (12.9) Уравнение (12.9) называют каноническим уравнением элвиптпическоео конуса.
Эллиптический конус при а = в совпадает с прямым круговым конусом, и оба они являютсл поверхностаани вшороео порядка. 12.6. Цилиндрические поверхности При вращении прямой вокруг оси вращения, параллельной этой прямой, образуется поверхность, которую называют круеовым цилиндром (рис, 12.12). Эта поверхность является частным случаем цилиндрической поверхностпи, получающейся при движении прямой в пространстве, катарах остается параллельной своему исходному положению (рис.
12.13). Если на движущейся прямой фиксировать точку, то она опишет кривую, которую называют направляютцей цилиндрической поверхностна (см. рис. 12.13). Можно также сказать, что цилиндрическая поверхность представляет собой множество 348 Пс ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА точек на прямых, параллельных фыксыроваыной прямой. Эты параллельные прямые называют образуюи1ими цилиндрической коверикоскьи. Рнс. 12.12 Рнс. 12.13 В качестве направляющей цилиндра можно взять любую кривую, образованную пересечением цилиндрической поверхности с плоскостью, ве параллельной образующим. Выберем прямоугольную систисму координат так, чтобы образующие цылындрической поверхности были параллельны осн 02. В качестве направляющей выберем кривую, являющуюся пересечением цилиндрической поверхности с ноордннащной плоскостью хОу (рис.
12.14). Рнс. 12.14 349 И.6. Цилиняоические поверхности Направляющая в плоскости хОу описывается некоторым уравнением двух переменных го(х,у) = О. Точка М(х;у; х) лежит на цилиндрической поверхности тогда и только тогда, когда ее абсцисса и ордината (фактически координаты точки М(х; у; 0) на плоскости хОу) подчиняются уравнению направляющей. Поэтому в выбранной системе координат цилиндрическая поверхность опксывается уравнением у(х, у) = 0 — уравнением своей направляющей, которое трактуется как уравнение трех переменных х, у и х. Верно и обратное утверждение: если в некоторой прямоугольной системе координат в пространстве поверхность описывается уравнением, не содержащим одного иэ переменных, то зта поверхность является цилиндрической.
Итак, крктерием для цилиндрической поверхпостк является отсутствие в, ее уравнении в подходящей системе координат одного иэ переменных. Цилиндр второяо ггорадма — это цилиндрическэл поверхность, направляющая которой в плоскости, перпендикулярной образующим, представляет собой кривую второго нарядна. В выбранной выше прямоугольной системе координат цилиндр второго порядка описывается уравнением второй степени Ахг+ 2Вху+ Суг+ 211х+ 2Еу+ Е = О, где Аг+ Вг+ Сг е1 0 Это уравнение можно упростить подходящим выбором системы координат. Фактически речь идет о приведении к каноническому виду уравнений второго порядка от двух переменных (см.
11.4, а также 11Ч]). Канонические уравнения кривых второго порядка приводят к трем видам цилиндров второго порядка: — эллиитпычесмому (ркс. 12.15, а) с каноническим уравне- хг уг нием — + — = 1; аг эг 350 гг. ПОВеРХНОСТи ВТОРОГО ПОРЯДКА — еиггерболвчесмому (рис. 12.15, б) с каноническим урав- хг уг пением — — — = 1; пг йг — иараболичесмому с каноническим уравнением у = 2рх г (рис. 12.15, в).
Отметим, что если направляющей является пара пересекающихся (параллельных, совпадающих) прямых, то соответствующая им цилиндрическая поверхность представляют собой пару пересекающихся (параллельных, совпадающих) плоскостей. Рис. 12.1$ ИС ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пример 12.1. В качестве примера рассмотрим уравнение эллиптического параболоида (12.8) х' у' — + — =2х аз Ьз и исследуем его форму методом сечений. Пересечение этой поверхности с плоскостью х = с описыва ется уравнением 3 рз — + — =2с, аз Ьз При с < О пересечение пусто, при с = О оно совпадает с начало и системы хоордииат Охуя, а при с > О представляет собой эллипс хз У + =1 (а~/2сс)з (Ь~/2сс)з Оси этого эллипса с ростом параметра с увелычываются, н можно представить форму поверхности (рис. 12.16, а).
Кстати, слово „эллиптический" в названии поверхности и указывает на то, что среди ее сеченый имеются эллипсы. Пересечения этой же поверхности как с плоскостью х = с (рис. 12.16, б), так и с плоскостью у = с (рис. 12.16, е) представляют собой параболы сз — + — =2х аз Ьз хз сз — + — =2х аз Ьз соответственно. Параболы в каждом из этих семейств сечений имеют равные параметры (они не завысит от значения с). Эти сечения позволяют дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида.
Рассмотрим параболу Р~, находящуюся в плоскосты у = О, и аналогичную параболу Р~ 354 1а повярхности второго порядкл р . 1г.17 в плоскости х = 0 (рис. 12.17, а). Пусть вторал парабола Рз перемещается в пространстве так, что: — вершина параболы Рг все время находится на параболе Р1, — ось параболы Рз параллельна осн параболы Р1, — плоскость параболы Рз перпендикулярна плоскости параболы Р1. Тогда в результате такого перемещения и образуется эллиптический параболоид.
При этом роли парабол Р1 и Рз можно поменять, т.е. перемещать параболу Р1, используя параболу Рг как направляющую. Уравнение х д — — — =2х а~ Ь~ (12.13) отличается от уравнения (12.8) эллиптического параболоида лишь знаком одного слагаемого и тоже задает поверхность второго порядка. Ее называют гиперболическим параболоидом, а само уравнение (12.13) — какоиичееким ураекеиием гиперболического параболоида. ~2.а Неполные урввненил поверхности второго порлдив 355 Исследуем вид гиперболического параболоида методом сечений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
