III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Его пересечения с плоскостями у = с при любом значении с являются параболами: х2 с2 — — — = 22. а2 62= Пересечения с плоскостями я = с тоже при всех значениях с являются параболами: с' я' — — — = 22. а2 52 Обозначим через Р1 параболу, находящуюся в сечении р = О, а через Р2 — аналогичную параболу в сечении х = О. Переме- щал, как и выше, параболу Р2 по параболе Р1 (рис.
12.17, б), получаем седлообразную поверхность гиперболического пара- болоида. Пересечения гиперболического параболонда с плоскостями 2 = с при с у~ О являются гиперболами .2 2 — — — =2с, а2 52 а при с се Π— парой пересекающихся прямых Х2 У2 — — — = О. а2 о2 Выбор названия поверхности объясняется характером сечений: горизонтальные сечения гиперболического параболонда — это гиперболы, а два других семейства рассмотренных сечений — параболы. 12.8. Неполные уравнения поверхности второго порядка Поеерхностпь еохороео еворлдма в пространстве в заданной прлмоуеольной систпеме координата описывается уравнением с десятью козффициентами: Ахз+ Ву2+ С22+ Пхр-1. Егв+ Ррв+ 6г+ Цу+ Кг+ Ь = О, 356 гг.
пОВеРхнОсти ВТОРОГО пОРядКА причем среди первых шести коэффициентов, от А до г', должен быть хотя бы один ненулевой. Мы, как и в случае кривых второго порядка, не будем проводить полную классифыкацыю поверхностей второго порядка, отложив ее до изучения курса линейной алгебры [!Ъ'].
В этом разделе мы рассмотрим случай неполного уравнения поверхности второго порядка, т.е. когда в уравнении отсутствуют попариые произведения переменных: Ахг+ Вуг+ Схг+Сх+ Ну+ Кх+ Ь = О. (12.14) Такое уравнение второго порядка при помощи параллельного переноса системы координат и, возможно, переобозначения переменных можыо преобразовать в одно из канонических уравнений поверхносты второго порядка или в уравнение вырожденной поверхности второго порядка, хотя в некоторых особых случаях для упрощения уравнения параллельного переноса недостаточно. Такые особые случаи подробно анализируются в [1Ч]. Для преобразованыя уравнения (12.14) используют выделение полного квадрата по каждому из переменных, входящих в уравнение во второй и первой степени (см.
11.4 или [1]). При этом возможны три варианта. 1. В первом варианте уравнение (12.14) содержит квадраты всех трех переменных. Выделение полного квадрата по х (при С ~ 0), по у (при Н ~ 0) и по х (при К Р 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо) +В(у — уа) +С(х — хе) = Ь~> (12 15) где а Н К , аг Нг Кг хе=- —, уе= — —, хо= — — е =-Й+ — + — + —. 2А' 2В' 2С' 4А 4В 4С Пусть в полученном уравнении (12.15) 1/ ~ О.
Тогда, введя обозначения аг = Щ/]А[, Ьг = Щ/]В], с = ].Ц/]С], придем к 22УЛ Неполиые урввиеиив поверхности второго порвдка 357 (х — хо) (У УО) ( го) 1 (12 18) а2 Ь2 с2 однополостпноео еипербаеоида (х — хо) (у — уо) (г — го) а + с (х — хо)2 (у — уо)2 (г — го)2 (12.17) а Ь с 2 2 2 (х — хо)2 (у — уо)2 (г — го)2 22 Ь2 2 1 двуполосотного гиперболоида (х — хо) (У вЂ” Уо) (г — го) а Ь с 2 + 2 2 (х — хо)2 (у — у )2 (г — г )2 а2 Ь2 с2 11 (х — хо) (у — уо) (г — го) Ь2 с2 (12.18) или мннмоео эллипсонда (х — хо)2 (у-уо)2 (г-го)2 а + 2 + 2 Ь с называемого так потому, что уравнение напоминает уравнение эллипсоида, ио в отличие от последнего описывает пустое множество.
Если Ь'=О, то, вводя обозначения а2 = 1/~А~, Ь2 = 1/~В~, с2= = 1/ ~СЬ также пряходим к смещенному уравнению поверхности второго порядка. В зависимости от знаков коэффициентов смещенному уравнению поверхностна втпороео порядка. В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (12.15) зто могут быть уравнения зллипсоида 358 1г. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА уравнения (12.15) это могут быть уравнения конуса (г- го)з (х — хо) (У вЂ” Уо) — О, сз (г — го)з + з (г- го)з аз Ьз (х — хо)з (у — уо)з = 9, (12.19) аз Ьз (х — хо)' (у — уо)' — 0 сз аз Ьз нли точки (х — хо) (у — Уа) (г — го) оз + Ьа + з Замечание 12.1.
После параллельного переноса системы координат Р х =х — хо, / ! у =у — уо, г =г — го в точку О'(хо, уо, го) уравнение (12.16) и первые в тройках уравнений (12.17)-(12.19) в новых переменных примут канонический внд, в то время как остальные уравнения в (12.17) — (12.19) преобразуются к каноническому виду дополнительным пере- обозначением переменных в соответствующей координатной нлоскос~ни. Это переобозначенне переменных важно с теоретической точки зрения, так как позволяет определить тип поверхности, хотя положение атой поверхности в системе координат О'х'у з' принципиально иное, нежели в канонической системе координат (на рис.
12,18 приведены три варианта положения однополостного гиперболоида). На практике дополнительное изменение системы координат не реализуют и изображают поверхность в системе координат О'х'уЪ', получающейся параллельным переносом. Переобозначение переменных рассматривают как чисто алгебраическую операцию, позволяющую выяснить положение поверхности относительно системы координат. И.8. Неполные уравнения поверхности второго порвдка 359 Рне.
12.16 2. Во втором варианте уравнение (12.14) содержит квадраты двух переменных. Здесь выделяются три подварианта: а) А~О, В ~0, С=О; б) А~О, В=О, СфО; в) А=О, В~О, С~О. Этн подварианты сводятся друг к другу переобозначением переменных. Поэтому они дают одни и те же результаты, и иам достаточно рассмотреть лишь один иэ них, например первый. Если Аф.О, Вф0, а С=О, то в случае К =0 третье переменное л вообще не входит в уравнение (12.14), которое в этом случае является уравнением цилиндра второго порядка.
Все возникающие ситуации и тип поверхности полностью характеризуются направляющей цилиндра в плоскости хОу (см. 11.4). ЗОО 12. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В случае К ~ 0 выделение полного квадрата по х (прн а ф О) и по у (при И ~6 0) преобразует уравнение (12.14) к виду А(х — хо)2+ В(у — уо)2 = -К(х — хе), (12.20) где а и ь', а' хо=- Уо=- го= 2 = — ь+ + 2А' 23' К' 4А 4В Введя обозначения а2 = 1/~А~, Ь2 = 1/~В~, р = ~К~/2, придем к смещенным уравнениям поверхности второго порядка. В зависимости от знаков козффициентов в (12.20), зто могут быть уравнения или эллиотиического вараболоида (х — хо) (у — уо) 2 + ь2 = 2р('- '0) а2 Ь2 (12.21) илн гиперболического параболоида (х — хо)2 (у уе)2 а2 Ь2 = 2р(г — го), (х — хо) (у — уо) а2 Ь2 (12.22) в [1Ч]. 3.
В третьем варианте уравнение (12.14) содержит квадрат только одного переменного. Здесь также возникают три симметричных подвариаита (квадрат х, квадрат у, квадрат 2). Остановимся на случае А ~ О. Если уравнение не содержит или слагаемого с у в первой степени, или такого же слагаемого с х, то реализуется случай цилиндра второго порядка, который сводится к исследованию направляющей цилиндра. Если же в уравнении присутствуют оба указанных слагаемых первой степени, как, например, в уравнении хз+ у+ 22 = О, то приведение уравнения к каноническому виду требует поворота системы координат в пространстве.
Анализ таких уравнений приведен И.8. Иепояные унапнення поперхноетн пторого порядка 361 Пример 12.2. Упростим уравнение 4х + 99~+ 36г~ — 8х — 369+ 72г+40 = 0 поверхности второго порядка с помощью параллельного переноса прямоугольной системы координат. Уравнение содержит каждое из трех переменных в первой и во второй степени. Поэтому по каждому переменному выделяем полный квадрат: 4(х — 2х+1 — 1)+ + 9(у — 4у+ 4 — 4) + 36(г~ + 2г+ 1 — 1) + 40 = О, 4(х — 1) + 9(у- 2) + 36(г+ 1) = 36, (х — 1)г (9 - 2)г 32 + 22 + ( + Приходим к смещенному уравнению эллипсоида с центром в точке О'(1; 2; — 1) и полуосями а = 3, й = 2, с = 1.
Соответствующее каноническое уравнение получается после параллельного переноса системы координат х' = х — 1, у' = у — 2, г' = г + 1 и имеет вид (х')г (у')г + +( с)2 32 22 Пример 12.3. Выясним, какая поверхность является геометрическим обраэам уравнения х — у~+ г~ — 2х+ 49 — 2г — 3 = О. г Как и в примере 12.2, по каждому переменному выделяем полный квадрат: (х — 2х+1 — 1) — (уг — 49+4 — 4)+(гг — 2г+1 — 1) — 3= 0, (х — 1) — (у — 2) +(г — 1) =1. 362 1г.поверхности второго порядкл Приходим к смещенному уравнению однополостного гиперболоида вращения с центром в точке О'(1; 2; 1).
После параллельного переноса системы координат в зту точку х'=х — 1, у'=у — 2, г' = г — 1 уравнение принимает вид (х') — (у') + (г') = 1. Это уравнение не является каноническим нз-за несоответствия знаков. Осью вращения гиперболоида является ось О'у' новой системы координат (рис. 12.19, е). Рис.
12.19 Пример 12.4. Выясним, какую поверхность определяет уравнение второго порядка хз — 4гз+ 89+ 8г — 12 = О. В уравнении нет слагаемого х первой степени и слагаемого у второй степени. Полный квадрат выделяем только по переменному г: х — 4(гз — 2г+ 1 — 1) + Зу — 12 = О, х — 4(г — 1)з+ 8у — 8 = О, хг — 4(г — 1)з = -8(у — 1), .2 — — (г — 1) = -2(у — 1). 2з д. ПЬ Ь Конические и винейчвтые поверхности 363 Приходим к смещенному уравнению гиперболического параболоида.
Выполнив параллельный перенос системы координат х'=х, у'=у — 1, г'=х — 1 в точку О'(О;1; 1) получим уравнение вида — — ( ) =-29, (х')э 2э которое преобразуется в каноническое дополнительным пере- обозначением переменных (рис. 12.19, 6). Замечание 12.2. Для определения вида поверхности и построения ее в новой системе координат (после параллельного переноса) можно использовать метод сечений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
