III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 44
Текст из файла (страница 44)
После паРаллельного переноса системы координат х =х — хо, у =у — уо / эти уравнения сводятся к (х')~ = 2ру' и (х')з = -2ру' соответственно. Наконец, полученные уравнения преобразуются в каноническое уравнение параболы уз = 2рх после переобозначения переменных х =у, у=-х и х =-у, у=х соответственно. / ! / Если в этом варианте слагаемое с у в первой степени в уравнении отсутствует (Е = 0), то уравнение имеет вид Ахэ+ Ох+ Е = О, А ~ О, 11зк Неаолныо ураааенив ириаов второго иораяка 327 (х — хо)э = О, (х — хо)з = -аа, (х — хо) = в, о щ= — Р/ОА), = ф-Ё+о Д4АягО. и р ю уравнений описывает на плоскости пару параллельных прямых х = хо ~ а, которые во втором случае сливаются в одну прямую х = хо.
Третье уравнение задает на плоскости пустое множестно (уравнение пары мнимых параллельных прямых). 3. Третий вариант 4=0, СфО аналогичен второму (сводится к нему переобозначением переменных х = у, у = -х). Поэтому при .Р ~ О, т.е. когда в уравнении присутствует слагаемое с х в первой степени, выделяя полный квадрат по переменному у (при Е ~ 0) и перенося остальные слагаемые в правую часть, находим С(у — уа) = -Рх+ г'~, где уо = -Е/(2С); г = Еэ/(4С) — Г. В результате приходим к уравнен ню С(у — уо) = -Р(х — ха), где хо = Е'/Р. Полагая р = ~Р~/(2~С~), мы опять получим смеи4енное УРавнение нвРвболы (У вЂ” Уа)э = 2Р(х — ха) (пРи СР < 0) или (у — уо)э = -2р(х — хо) (при СР > 0).
После параллельного переноса системы координат ! х =х — ха, у =у — уа первое из этих уравнений преобразуется в каноническое уравнение параболы (у')э = 2рх', а второе сведется к уравнению (у')э = -2рх'. Последнее уравнение преобразуется в каноническое уравнение параболы уэ = 2рх после переобоэначения леременных х = — х', у=-у'. т.е. является квадратным относительно х. Это один из выро- жденных случаев, поскольку (11.17) является уравнением отно- сительно одного переменного. Выделение полного квадрата в этом случае сводит уравнение к одному из трех видов: 328 Ы.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Если в этом варианте слагаемое с х в первой степени в уравнении отсутствует (Р = 0), то уравнение имеет вид Су +Еу+Е=О, С~О, т.е. является квадратным относительно у. Это тоже один из вырожденных случаев, в котором выделение полного квадрата по у дает уравнение одного из трех видов: (, „ )г О (у „ )г аг (у- уо) = а д р~=-Я/~2С~; = ~~-~~ Е Я4СЯфО. Т * Л случае получаем пару параллельных (различных, совпадающих, мнимых) прямых, параллельных оси Ох. Рассмотрим случай, когда в уравнении (11.17) отсутствуют квадраты переменных, т.е. оно имеет вид (11.19) Вху+Рх+Еу+Е=О, В,-ЕО.
Такое уравнение можно привести к виду (х — хо) (у — уо) + Е' = О, где хо = -Е/В; уо = -Р/В; Г' = Š— хоуо. Полагая ~Р'~ = а'/2, в зависимости от знака г" приходим к одному из уравнений аг аг (х — хо)(у- уо) = —, (х — хоНу- уо) = — — (11 20) 2' 2 Если а ф О, мы получаем смещенное уравнение еипер6олы в асилянгнонгах Название отражает то, что после параллельного переноса системы координат х' = х — хо, у' = у — уо уравнение превратится в уравнение гиперболы в асимптотах х'у' = аг/2 или в уравнение сопряженной гиперболы в асимптотах х'у' = — аг/2. Если а = О, оба уравнения (11.20) будут одинаковы, их геометрическим образом будет пара пересекающихся прямых х = хо и у = уо.
11.4. Неполные уравнения кривой второго порядка 329 Несложный анализ приведенных преобразований неполного уравнения кривой второго порядка показывает, что при АС > О, В = О геометрическим образом уравнения могут быть лишь эллипс (окружность при А = С), точка или мнимый эллипс. Поэтому случай АС > О, В = О называют эллкпткческим. В то же время в случае АС ( О, В = О геометрическкм образом уравнения могут быть лишь гипербола или пара пересекающихся прямых, которую можно рассматривать как вырожденный случай гиперболы. Аналогична ситуация к в случае А = С = О, В ~ О. Этн случал казывают гиперболическими.
Наконец, если в уравнении из трех коэффициентов при слагаемых второго порядка отличен от нуля только один, А или С, то геометрическим образом может быть или парабола,, или пара параллельных (совпадающих) прямых. Этот случай называют параболическим. В задачах на исследование кривых второго порядка, заданных в прямоугольной системе координат неполными уравнениями, обычно требуется определить каноническое уравнение и вычислить в системе координат Оху: для параболы — координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы; для эллипса координаты иеншра, вершин и фокусов, полуоси и зксиеншрисишеш, уравнения директрис, а для гиперболы — еще и уравнения исиипшопь Пример 11.5.
Исследуем кривую второго порядка, заданную своим уравнением 9хз+ 4уз — 18х + 16у- 11 = О. В этом неполном уравнении второго порядка коэффициенты при квадратах переменных имеют одинаковый знак. Эначит уравнение относится к эллиптическому типу. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем 9(х~ — 2х + 1 — 1) + 4(у~ + 4у+ 4 — 4) — 11 = О, 9(х — 1) + 4(у+ 2) з = 36, ( - 1)' (у+ 2)' 2з 3з 330 Ы.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Следовательно, после параллельного переноса системы координат х' = х — 1, у'= у+2 получим уравнение (х') 2 (у') 2 — + — =1 22 32 котороезадает эллипс с полуосями а=2, Ь=З. Так как а<Ь, то фокусы лежат на вертикальной оси симметрии. Поэтому с = т/Ьг — аг = 45, а зксцентриситет с = с/Ь = тЛ/3. Центр эллипса находится в точке О' с координатами (1;-2) (рис. 11.20). Отметим, что полученное уравнение эллипса не является кано- Рис. 11.20 ническим, для перехода в каноническую систему координат требуется дополнительный поворот системы координат О'х'у' на угол 90'. Приведем остальные характеристики кривой: О'х'у' Оху Система координат Координаты вершин Координаты фокусов Уравнения директрис Пример 11.6.
Неполное уравнение 4хг+ 16уг+ 8х — 64у+ + 4 = 0 кривой второго порядка тоже относится к эллиптическому типу. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, А( — 2; 0) В(2; 0) С(0; -3) В(о; з) Р1 (О; -~/Щ Р,(о; ~Л) у' = х9/~/$ А(1 — 2; — 2) В(1+ 2; — 2) С(1; -2 — 3) В(1; -2+з) Г) (1; -2 — ~/5) Ра(1," -2+ Л) у+ 2 = х9/у'5 11.4. Неновные уравнение кривой второго порвдка ЗЗ1 получаем 4(хг+ 2х+ 1 — 1) + 16(у~ — 4у+ 4 — 4) + 4 = О, 4(х+ 1)г+ 16(у — 2)2 = 64, (х+ 1)г (у — 2)2 42 22 Выполнив параллельный перенос системы координат х' = х+ 1, у' = у — 2, запишем каноническое уравнение эллипса — + — =1 (х') (у') 42 22 с полуосями а=4, Ь=2.
Так как а> Ь, то фокусы лежат на горизонтальной оси симметрии. Поэтому с = ь/а~- Ьг = 2~/6, а эксцентриситет е = с/а = ~/3/2. Центр эллипса находитси в точке О' с координатами (-1; 2) (рис. 11.21). Рнс. 11.21 Приведем остальные характеристики кривой: О'х'у' Светема координат Координаты вершин Координаты фокусов Уравнение двректрнс А(-4; 0) В(4; 0) с(о; -г) Р(о; г) г'1 (-21/3; 0) Еа(гс/3; 0) к' = х8/~/3 Оху А(-1 — 4; 2) В( — 1+4; 2) с(-1; г — г) Р( — 1; 2+2) Р, (-1 — г,/3; г) й.
(-1+ г~/з; г) в + 1 = хв/с/3 332 1К КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пример 11Л. В неполном уравнении кривой второго порядка4хз — 9уз — 24х+189-9=9 коэффициенты при квадратах переменных имеют противоположный знак. Поэтому уравнение относится к гиперболическому типу.
Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем 4(хз — бх+ 9 — 9) — 9(уз — 29+ 1 — 1) — 9 = О, 4(х — 3)з — 9(у — 1)з = 36, (х — 3) (у — 1)~ Зз 21 В канонических координатах х' = х — 3, у' = у — 1 уравнение имеет вид — — — — 1 (х') (у ) Зз 22 Оно задает гиперболу с центром в точке 0'(3; 1), действительной полуосью а = 3, мнимой полуосью 6= 2.
При этом с = ъ/аз+ 61 = ~/ГЗ, с = с/а = 1/13/3 (рис. 11.22). Рнс. 11.22 11.4. Неполные уравнение кривой второго нередка 333 Приведем сводку остальных характеристик по этой гиперболе: О'х'у' Оу Система координат Координаты вершин Координаты фокусов Уравнение директрис Уравнение асиинтот Пример 11.8. Неполное уравнение кривой второго порядка хз+ 2х — бр+ 7 = О относится к параболическому типу, поскольку содержит только одно слагаемое с переменным в квадрате. Выделяя полный квадрат по х, получаем (хз+ 2х + 1 — 1) — бр+ 7 = О, (х+1)'=6(у-1). В координатах х' = х+ 1, у' = д — 1 уравнение имеет вид (х')2=2 Зу'.
Это парабола с вертикальной осью симметрии, для которой р = = 3, а р/2 = 1,5. Вершина параболы находятся в точке 0'(-1; 1) (рис. 11.23). Рнс. 11.23 А( — 3; О) В(3; 0) Р, (-~/Гз; о) р,(~~з; о) х' ш ~9/БАГЗ р' = х2/Зх' А(3-3; 1) В(3+3; 1) Р,(з- ~~з; 1) р,(з+ БАГЗ; 1) — з = +е/~~з р-1 = х2(х -3)/3 ук КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Укажем остальные характеристики кривой: О'к'у' Оху Система координат Р(-1; 1+1,5) а+1=-15 Р(0; 1,5) ю' = -1,5 Координаты фокуса Ураинение директрисы Пример 11.9. Неполное уравнение ху — х — 2у+ 6 = О кри- вой второго порядка относится к гиперболическому типу, по- скольку оно не содержит слагаемых с квадратами переменных, но имеет слагаемое с их произведением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
