III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (1081377), страница 40
Текст из файла (страница 40)
11.2, а). Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках Г1 и Рз, большой осью 2а. Пусть 2с — фокальное расстояние, 2с= ~Р1Рз~ < 2а. Согласно определеняю 11.1 эллипса, его образуют те точки М, для которых !Р1М!+ !ГгМ! = 2е. Выберем прямоугольную систему координат Оху на плоскостн так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 11.2, б). Такую систему координат называют мамомпчесмоб для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные — мпиомичесмими. В выбранной системе координат фокусы имеют координа~вы г1(с; О), Гз( — с; О). Используя формулу расстояняя между 297 П.1. элашс точками, запишем условие ~Г1М~+ ~ГгМ~ = 2а в координатах: ч('-'~~~~ +Л г4'го'=~' (11с Это уравнение неудобно, так как в пем присутствуют два квадратных радикала.
Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (11.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: ( — )+у=4 — 4д ~)+у+( +)+у~. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем Л +4'Й'= +~, (11.3) где с = с/а. Повторим операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (х + с) + у = а + 2хах + сгх~, или, учитывал значение введенного параметра с, хг (а — сг) — +у = а — сг. аг Так как аг — сг=Ьг > О, то х у — + — =1, а>Ь>О. ьг (11.4) Уравнению (11.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но прк выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (11.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины 298 1Ь КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.
Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек Р1 н Рг, ~Г2Р2~ =2с, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка г1 гг, принадлежит какому-нибудь эллипсу укаэанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка Р1Р2. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (11.4) с данным значением параметра а.
Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсамн? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью а. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению хг уг — +==1 а (!г 2 ! Ь =а — с ! (11Л) хг уг — + — — 1 аг аг — сг х2 уг — + =1 аг а2 сг при а ф а решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, х из первого уравнению т.е. уравнения (11.4) и (11.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система пл.э в 299 что после преобразований приводит к уравнению угсг(вг — вг) (аг — сг)(аг — сг) не имеющему решений при а ф о, поскольку (а — сг)(а — сг) = ЬгЬ > О.
Итак, (11.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью о > О и малой полуосью 6 = ~а~ — сг > О. Его называют наноничесним уравнением эллинса. Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать я с помощью его канонического уравнения (11.4).
Например, ю>О, ° ~-.о-р *: Ю=ЬЛ 7", исследовав эту функцию, построить ее график (Н). Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса а с.центром в начале канонической системы координат эллипса (11.4) описывается уравнением хг+уз = аг. Если ее сжать с коэффициентом а/6 > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, которал описывается уравнением хг+ (уа/6)г = аг, т.е.
эллипс. Замечание 11.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом а~Ь ( 1 вдоль оси ординат, т.е. У фактически растянуть в этом напра; вленяи, то получится кривая, которая 7 опясывается уравнением (11.4), в котором а ( Ь. Это тоже эллипс, но в системе координат Оху (рис. 11.3) его фокусы расположены на вертикальной оси симметрии. Каноническую систему координат для этого эллипса можно получить в результате повороша сис- гг темы Оху на 90', что соответствует замене переменных х' = у, у' = -х. Рис.
11.3 300 КС КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ~Ь'~М~ = а — сх, ~РзМ~ = а+сх, (11.6) и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса. Пример 11.1. Найдем каноническое уравнение эллипса с большой полуосью 5 и зксцентриситетом 0,8 я построим его. Эксцеитриситет эллипса. Отношение фокзльного расстояния эллипса к его большой оси называют эисиеитврисешетвом эл зевса и обозначают через с.
Длл эллипса, заданного каноническим уравнением (11.4), я = 2с/2а = с/а. Если же в (11.4) параметры а и Ь связаны неравенством а ( Ь, то фокусы расположены на вертикальной оси симметрии эллипса, с = ~/Ьз — а~, с = 2с/2Ь = с/Ь. При с = О, когда эллипс превращается в окружность, н с = О. В остальных случаях 0 < с ( 1. Если зафиксировать фокусы эллипса и менять его форму, устремляя эксцентриситет к единице, то в пределе получим отрезок, соединяющий фокусы, который можно назвать вырожденным эллипсом с а = с и Ь = О. Если же, наоборот, зафиксировать параметр а и устремить с к нулю, то в пределе мы получим окружность радиуса а.
Эта предельная ситуация соответствует равенству параметров а и Ь уравнения (11.4). Уравнение (11.3) эквявалентно уравнению (11.4), поскольку эквивалентны уравнения (11.4) и (11.2). Поэтому уравнением эллипса является и (11.3). Кроме того, соотношение (11.3) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикалов, формулу для дляны ) гзМ~ одного яз фокальных радиусов точки М(х; у) эллипса: ~РзМ( = а+сх. Аналогичная формула для второго фокального радиуса может быть получена из соображений симметрии либо повторением выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравнения (11.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй. Итак, для любой точки М(х; у) на эллипсе (см. рис.
11.2) 301 11Л. Эллмпс Зная большую полуось эллипса а = 5 н зксцентриситет е = = 0,8, найдем его малую полуось 6. Поскольку 6 = 1/ах — с~, а с = ха = 4, то 6 = Лх — 4~ = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид х у — + — =1 51 31 Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осам (рпс. 11.4). Этот прямоугольник пересекается с осями эллипса в его вершинах А(-5; О), В(5; О), С(0; -3), 11(0; 3), причем сам эллипс вписан в него.
На рис. 11.4 указаны также фокусы Раз(~4; О) эллипса. Рис. 11.4 Геометрические свойстна эллипса. Перепишем первое уравнение в (11.0) в виде ~Г1М~ = (а/е — х)с. Отметим, что величина а/е — х при а > с положительна, так как фокус Е1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой Н: х = а/х от точки М(х; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде ~г'1М~ а/е- х ЗО2 Ы, КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек М(х; й) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса Р1М к расстоянию до прямой И есть величина постоянная, равнял е (рис.
11.5). Рис. 11.5 У прямой Ы есть „двойник" — вертикальнал прямая У, симметричная И относительно центра эллипса, которая задается уравнением х = — а/е. Относительно о' эллипс описывается так же, как я относительно Н. Обе прямые И и У называют диреяяврисами эллиясо.
Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрия эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/с = аз/с (см. рис. 11.5). Расстояние р от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют 4ояальяым пораметпром эллипса. Этот параметр равен а аз аз — сз 6з р= — — с= — — с= — = —. с с с с Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы Р1М н РзМ составляют с касательной к эллипсу в точке М равные углы (рис. 11.6).
Прежде ЗОЗ нл. Эввак чем доказнвать зто, убедимся, что касательная к зллипсу существует в любой его точке. Рассматривая у как функцию от х, ыеявыо заданную уравнением (11.4) (11], и дифференцируя его: 2х/а~+ 2уу'/Ь' = О, находим провзводыую у'(х) =-хЬ~/(уа ), УЧЬО. Рис. 11.6 Видим, что для всех точек зллипса, кроме вершын А и В, производнал, а значит, и касательыал существуют.
Найдем ее уравыение в произвольной точке М(хо, уо) зллыпса. Воспольэовавшвсь уравнеыием касательной у — уо = у (хо) (х — хо) к графику функции у = у(х) в точке М, получим хоЬ~ у — уо = — — з(х — хо) уоа~ или ххо ууо хо уо 2 2 — + — = — +— в2 Ь2 о2 Ь2 ~ 304 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА т.е ххо ууо — + — =1 аэ 'оз поскольку коордиыаты точкы М удовлетворяют уравыеыию (11.4) эллипса. Касательные в вершинах А и В также существуют, в чем можно убедиться, рассматривал х как ыеявыую фуыкцию у. Получеыыое уравыеыие касательыых распростраыяется ы ыа касательыые в точках А и В.
Нормальным векторам касательной к эллипсу является вектор ю с координатпами (хо/аэ; уо!Лз). Утверждение, что фокальыые радиусы Л1М и ЛзМ составляют с касательной к эллипсу в точке М равиые углы, зквивэлеытыо утверждению о параллельыости нормального вектора касательыой и биссектрисы МФ угла Л1МРэ (см. рис. 11.6). Убедимся в том, что последнее верно для любой точки М эллипса. Рассмотрим векторы г1Ла и ГрМ. Вектпоры л1 — — ~РА~Р1 Л3 и яээ = ~Л'1Л$~рзЛв коллинеарны векторам Г~Х~ и рэА~ и имеют одинаковую длину, равыую )Л1Л$~ ~рэЛ$~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
