Презентация 7. Метод Гаусса (1006523)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ11.1. ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПЛОСКОСТИ)11.1.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОСТЕЙНенулевой вектор n , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости.Напомним, что три или более векторов называются компланарными, еслисуществует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называтькомпланарной заданным векторам.Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора,компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.Общее уравнение плоскости:A⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z + D = 0 ,A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .(11.1)Способ задания: плоскость проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) перпендикулярно векторуn = A⋅i + B ⋅ j + C ⋅k(рис.11.1,а).Нормальn = A⋅ i + B ⋅ j + С ⋅ kzzM ( x, y , z )M 0 ( x0 , y 0 , z0 )kixr0M ( x, y , z )rO jаrαyγnβρyx OбРис.11.11Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициенты A , B , С –координаты нормали n = A ⋅ i + B ⋅ j + C ⋅ k ; свободный член D = − A ⋅ x0 − B ⋅ y0 − C ⋅ z0 .Обозначая через r0 и r радиус-векторы точек M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) и M ( x, y, z ) соответственно,можно записать векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 )перпендикулярно нормали n = A ⋅ i + B ⋅ j + C ⋅ k :( r − r0 , n ) = 0 .Равенство нулю скалярного произведения выражает условие перпендикулярностивекторов r − r0 и n (см.

разд.8.7). В координатной форме уравнение имеет вид:A ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) + С ⋅ ( z − z 0 ) = 0 .(11.2)Нормированное уравнение плоскости:x ⋅ cos α + y ⋅ cos β + z ⋅ cos γ − ρ = 0 , ρ ≥ 0 .(11.3)Способ задания: плоскость проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) перпендикулярновектору n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k (рис.11.1,а).Геометрический смысл коэффициентов: старшие коэффициенты cos α , cos β , cos γ –направляющие косинусы нормали n = cos α ⋅ i ++ cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k ; свободный членρ=A ⋅ x0 + B ⋅ y 0 + C ⋅ z0A + B +С222– расстояние от начала координат до плоскости (рис.11.1,б).2Векторное параметрическое уравнение плоскости:r = r0 + t1 ⋅ p1 + t 2 ⋅ p2 ,t1 , t 2 ∈  ,[ p1 , p2 ] ≠ o .(11.4)Способ задания: плоскость проходит через точкурадиус-векторомопределяемуюr0 ,M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) ,zp = a ⋅i +b⋅ j + c ⋅kкомпланарно двум направляющим векторам p1 , p21111p = a ⋅i +b ⋅ j + c ⋅k2222(рис.11.2).

Параметры t1 , t 2 в уравнении (11.4) имеютM 0 (x 0 , y 0 , z 0 )следующий геометрический смысл: величины t1 , t 2M (x , y , z )rпропорциональнырасстояниюотзаданнойточкиr0yOM 0 ( x0 , y 0 , z0 ) до точки M ( x, y , z ) , определяемой радиусxвектором r . При t1 = t2 = 0 точка M ( x, y, z ) совпадает сРис.11.2заданной точкой M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) : r = r0 . При возрастании t1(или t 2 ) точка M ( x, y, z ) перемещается в направлении, определяемом вектором p1 (или p2 ), апри убывании t1 (или t 2 ) – в противоположном направлении.Направляющиевекторы плоскостиПараметрическое уравнение плоскости: x = x0 + a1 ⋅ t1 + a2 ⋅ t 2 , y = y0 + b1 ⋅ t1 + b2 ⋅ t 2 , z = z + c ⋅t + c ⋅t ,01 12 2t1 ,t 2 ∈  ,arg  1 a2b1b2c1 =2.c2 (11.5)Способ задания: плоскость проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) компланарно двумнеколлинеарным векторам p1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j + c1 ⋅ k и p2 = a2 ⋅ i + b2 ⋅ j + c2 ⋅ k (рис.11.2).Геометрический смысл коэффициентов: a1 , b1 , c1 и a2 , b2 , c2 – координатынаправляющих векторов p1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j + c1 ⋅ k , p2 = a 2 ⋅ i + b2 ⋅ j + + c2 ⋅ k , а x0 , y0 , z 0 –координаты точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) , принадлежащей плоскости.

Параметры t1 , t 2 имеют тот жесмысл, что и в уравнении (11.4).Заметим, что уравнение (11.5) есть координатная форма записи уравнения (11.4).3Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двумнеколлинеарным векторам:x − x0a1a2y − y0b1b2z − z0c1 = 0 ,c2arg  1 a2b1b2c1 =2.c2 (11.6)Способ задания плоскости и геометрический смысл коэффициентов в уравненииabc (11.6) такие же, что и в уравнении (11.5). Условия [ p1 , p2 ] ≠ o в (11.4) и rg  1 1 1  = 2 в a 2 b2 c2 (11.5), (11.6) выражают свойство неколлинеарности векторов p1 и p2 .Аффинное уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:r = ( 1 − t1 − t 2 ) ⋅ r0 + t1 ⋅ r1 + t 2 ⋅ r2 , t1 , t 2 ∈  .Уравнение (11.7) можно записать в координатной форме: x = ( 1 − t1 − t 2 ) ⋅ x0 + t1 ⋅ x1 + t 2 ⋅ x 2 , y = ( 1 − t1 − t 2 ) ⋅ y 0 + t1 ⋅ y1 + t 2 ⋅ y 2 , z = ( 1 − t1 − t 2 ) ⋅ z0 + t1 ⋅ z1 + t 2 ⋅ z 2 ,t1 , t 2 ∈  .(11.7)(11.8)Способ задания: плоскость проходит через три заданные точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) ,M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , определяемые радиус-векторами r0 , r1 и r2 соответственно(рис.11.3,а).

Радиус-вектор r определяет положение точки M (x, y, z ) , принадлежащейплоскости.Геометрический смысл коэффициентов: x0 , y0 , z 0 ; x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z2 – координатыточек M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) , M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , через которые проходит плоскость (11.8).Параметры t1 , t 2 в уравнении (11.7) определяют положение точки M ( x, y, z ) , принадлежащейплоскости. Например, при t1 = 0 , t 2 = 1 точка M совпадает с точкой M 2 , а при t1 = 1 , t2 = 0 – с4точкой M 1 .Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:x − x0x1 − x0x2 − x0y − y0y1 − y0y 2 − y0z − z0z1 − z0 = 0 ,z 2 − z0x −xrg  1 0 x2 − x0y1 − y0y 2 − y0z1 − z0  = 2.z 2 − z0 (11.9)Способ задания плоскости и геометрический смысл коэффициентов в уравнении(11.9) такие же, что и в уравнении (11.8).Уравнение плоскости "в отрезках":xyz+ + = 1 , x1 ≠ 0 , y1 ≠ 0 , z1 ≠ 0 .x1 y1 z1(11.10)Способ задания: плоскость проходит через три заданные точки X 1 ( x1 , 0, 0) , Y1 (0, y1 , 0) иZ1 (0, 0, z1 ) , причем x1 ≠ 0 , y1 ≠ 0 , z1 ≠ 0 (рис.11.3,б).Геометрический смысл коэффициентов: плоскость (11.10) отсекает на координатныхосях "отрезки": x1 на оси абсцисс, y1 на оси ординат и z1 на оси аппликат.5Способы перехода от одного типа уравнения плоскости к другому1.

Для перехода от общего уравнения плоскости (11.1) к нормированному уравнению (11.3)достаточно разделить обе части общего уравнения на длину нормали n = A2 + B 2 + C 2 , еслисвободный член отрицательный ( D < 0 ), либо разделить на противоположную величину − n ==−A2 + B 2 + C 2 , если свободный член неотрицательный ( D ≥ 0 ).2. Для перехода от общего уравнения плоскости (11.1) к параметрическому уравнению (11.5)нужно выполнить следующие действия:1) найти любое решение ( x0 , y 0 , z0 ) уравнения A ⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z + +D = 0 , определяя тем самымкоординаты точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) , принадлежащей плоскости;2) найти любые два линейно независимых решения ( a1 , b1 , c1 ) , ( a 2 , b2 , c2 ) однородного уравненияA ⋅ a + B ⋅ b + C ⋅ c = 0 , определяя тем самым координаты a1 , b1 , c1 и a2 , b2 , c2 направляющих векторов p1 иp2 плоскости;3) записать параметрическое уравнение (11.5).3.

Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему, достаточно либозаписать уравнение (11.6) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторногопроизведения направляющих векторов (см. разд.8.5):in = [ p1 , p2 ] = a1a2jb1b2kb c1a c1a b1⋅i − 1⋅ j+ 1⋅k ,c1 = 1a2 b2b2 c2a 2 c2 c2Aи записать общее уравнение плоскости в форме (11.2):BCA ⋅ ( x − x0 ) + B ⋅ ( y − y 0 ) + C ⋅ ( z − z0 ) = 0 .4.

Переход от общего уравнения плоскости (11.1) к уравнению "в отрезках" (11.10) возможенпри условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенестисвободный член в правую часть уравнения: A ⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z = − D , а затем разделить обе части уравненияна − D : A ⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z = 1 . Обозначив x1 = − D , y1 = − D , z1 = − D , получим уравнение в отрезках(11.10):−D−D−Dyx ++ z =1.x1 y1 z1ABC6Пример 11.2.

В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системекоординат) заданы точки K (2, 3, 4) , L(6, − 3, 4) , M (− 4, 6, − 4) . Требуется:а) составить общее уравнение плоскости треугольника KLM ;б) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника KLM ;в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осями. а) Составляем уравнение (11.9):x−2y −3z−46−2 −3−3 4−4 = 0−4−2 6−3 −4−4⇔x−24−6y −3 z −4−60 =0.3−8Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем48 ⋅ (x − 2 ) + 32 ⋅ ( y − 3) − 24 ⋅ (z − 4 ) = 0⇔ 6 ⋅ x + 4 ⋅ y − 3 ⋅ z − 12 = 0 .б) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. п."а") в правую частьи делим уравнение на 12 :zx y+ += 1 .

Получили уравнение плоскости в "отрезках".2 3 −4в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. п."б")проходит через точки X (2, 0, 0) , Y (0, 3, 0) , Z (0, 0, − 4) на координатных осях. 711.1.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙПусть две плоскости π1 и π2 заданы их общими уравнениями:π1 : A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 ;π 2 : A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 .О взаимном расположении плоскостей по коэффициентам задающих их уравненийпозволяют судить следующие критерии:– параллельности плоскостей:A1A2=B1B2=– совпадения плоскостей:A1A2=B1B2=C1C2C1C2≠=D1D2D1D2;;– параллельности или совпадения плоскостей:Arg  1 A2B1B2Arg  1 A2B1– пересечения плоскостей:B2C1  =1 ;C2 C1  = 2;C2 – перпендикулярности плоскостей:A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + С1 ⋅ С2 = 0 .Если плоскости пересекаются, то координаты их общих точек находятся в результатерешения системы уравнений: A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 , A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 .Эта система имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересеченияплоскостей.8Пример 11.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций