Презентация 5. Обратная матрица (1006521)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ9.1.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕКПусть в пространстве фиксирована точка O . Совокупность точки O и базисаназывается аффинной (декартовой) системой координат, а точка O – началомкоординат.

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисныхвекторов, называются координатными осями.Для любой точки A в заданной аффинной системе координат можно рассмотретьвектор OA , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой A (рис.9.1–9.3). Этот вектор называется радиус-вектором точки A .Аффинная система координат называется прямоугольной, если ее базисортонормированный (см. разд.8.3.5).Координатами вектора в прямоугольной системе координат называютсякоэффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд. 8.3.5).Координатами точки A в прямоугольной системе координат называютсякоординаты ее радиус-вектора OA в стандартном базисе.

В пространстве это коэффициентыx , y , z в разложении OA = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k , на плоскости – коэффициенты x , y в разложенииOA = x ⋅ i + y ⋅ j , на прямой – коэффициент x в разложении OA = x ⋅ i . При этом используютсяобозначения A( x, y, z ) , A( x, y ) , A(x ) соответственно. Прямоугольные координаты точки (илиее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом: x  y  в пространстве,z  x  на плоскости. yКоординаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называютсяпрямоугольными координатами.1Выбирая стандартные базисы (см. разд.8.3.5), получаем:Oi – прямоугольную систему координат на прямой – это точка O и единичный векторi на прямой.

Точки O и A (рис.9.1) на координатной оси Ox обозначаются O(0 ) и A(1) ;−2−1O0iA12 xРис.9.1– прямоугольную систему координат на–плоскостиэтоточка Oидвавзаимноперпендикулярных единичных вектора i и j наплоскости (вектор i – первый базисный вектор, а j –второй; пара векторов i , j – правая). Координатные осиOx (абсцисс) и Oy (ординат) разбивают плоскость на 4части, называемые четвертями (рис.9.2).

Точка A(1, 1) ,например, принадлежит I четверти;yOi j2IIA(1, 1)1Iji−2−1IIIO−112xIVРис.9.22– прямоугольную систему координат в пространстве – это точка O и трипопарно перпендикулярных единичных вектора i , j , k (вектор i – первый базисный вектор,j – второй, а k – третий; тройка векторов i , j , k – правая). Координатные осиобозначаются: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.Координатные плоскости Oxy , Oxz , Oyz , проходящие через пары координатныхосей, разбивают пространство на 8 октантов (рис.9.3). Точка A(1, 2, 2) , например,принадлежит I октанту.Oi j kIIIOyIIz2IVI1k−2−1iA(1, 2, 2 )jO211VII2yVI−1OxxVIIIVРис.9.33Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат икоординатных осей, например Ox , Oxy , Oxyz .Чтобы найти координаты вектора AB с началом в точке A(x A , y A , z A ) и концом вточке B(xB , y B , z B ) , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координатыего начала:AB = (xB − x A )⋅ i + ( y B − y A )⋅ j + (z B − z A )⋅ k .Это же правило справедливо для прямоугольных систем координат на плоскости и напрямой.Координаты точки M , которая делит отрезок AB в отношенииβ > 0 ),AM β=MB α(α > 0,определяются по координатам его концов A(x A , y A , z A ) и B(xB , y B , z B ) (см.

разд.2.1.1): α ⋅ x A + β ⋅ xB α ⋅ y A + β ⋅ y B α ⋅ z A + β ⋅ z B  .M ;;α+βα+βα+β(9.1)В частности: x A + xB y A + y B z A + z B ;;222– точка M – середина отрезка AB ; x A + xB + xС y A + y B + yС z A + z B + zС;;333– точка M – точка пересечения медиантреугольника ABC .Аналогичные формулы справедливы для координат точек на плоскости и на прямой.4В прямоугольной системе координат расстояние AB между точками A(x A , y A , z A ) иB (xB , y B , z B ) находится по формулеAB =(xB − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2 .(9.2)Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно получаем:AB =(xB − x A )2 + (yB − y A )2 ;AB = xB − x A .Если на плоскости известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A ) , B(xB , y B ) ,^, гдеC (xC , yC ) треугольника ABC , то его площадь вычисляется по формуле S ABC = S ABC∧S ABCxA1= ⋅ xB2xCyA 1yB 1 .(9.3)yC 1Если известны прямоугольные координаты вершин A(x A , y A , z A ) , B(xB , y B , z B ) ,C (xC , yC , zC ) , D (xD , y D , z D ) треугольной пирамиды ABCD , то ее объем вычисляется по∧формуле VABCD = VABCD, где∧V ABCDxA1 x= ⋅ B6 xCxDyAyByCyDzAzBzCzD11.11(9.4)5Пример 9.1.

Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1) , B(4, 5) , C (13, 6) треугольникаABC (рис.9.4). Найти:Aа) длину медианы AM ;б) длину биссектрисы AL ;haв) высоту ha , опущенную из вершины A . а) По формуле (9.1) определяем координаты точки M –середины стороны BC : M (4 +213 , 5 +2 6 ) , т.е. M (172 , 112 ) . Используя частныйBРис.9.4случай формулы (9.2) для плоскости, вычисляем длину медианы:б) ОпределяемBL : LC = AB : ACAC =22306.AM =  17 − 1 +  11 − 1 =22 2координаты точки L , которая делит сторону BCL MСв отношении(свойство биссектрисы треугольника).

Так как AB = (4 − 1)2 + (5 − 1)2 = 5 и(13 − 1)2 + (6 − 1)2= 13 , то по формуле (9.1), учитывая, что BL : LC = 5 : 13 ⇒ α = 13 , β = 5 ,находим L 13 ⋅ 4 + 5 ⋅ 13 , 13 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6  , т.е. L 13 , 95  . Вычисляем длину биссектрисы:13 + 513 + 5 2 18 2211 ⋅ 130.AL =  13 − 1 +  95 − 1 =182  18 в) По формуле (9.3) имеем:треугольника ABCBC =(13 − 4)2 + (6 − 5)2∧S ABC^S ABC = S ABC= 33 ,2= 82 .1 1 1133= ⋅ 4 5 1 =− .2213 6 1тогда ha =Следовательно, площадь2 ⋅ S ABC= = 33BC82, поскольку6Пример 9.2. Известны прямоугольные координаты вершин A(1,1,3) , B(3, 5, 4) , C (− 1, 3, 2) ,D(5, 3, − 1) треугольной пирамиды ABCD .

Найти:а) длину отрезка DM , соединяющего вершину D пирамиды с точкой M пересечениямедиан грани ABC ;б) объем V ABCD пирамиды. а) Определяем координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC ,используя частный случай формулы (9.1): 1 + 3 + (−1) 1 + 5 + 3 3 + 4 + 2 M;; , т.е. M (1, 3, 3) .333По формуле (9.2) находимDM =(1 − 5)2 + (3 − 3)2 + (3 + 1)2=4 2.б) Находим объем пирамиды ABCD . По формуле (9.4), вычитая первую строку изостальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу (см. разд.2.2),получаем∧V ABCD11 3=6 −151 35 43 23 −1111 1 2=1 6 −2411 34 12 −12 −412 4 10 1= ⋅ (− 1)1+ 4 ⋅ 1 ⋅ − 2 2 − 1 =0 64 2 −401= − ⋅ (− 16 − 16 − 4 − 8 − 32 + 4 ) = 12 .6^Следовательно, VABCD = VABCD= 12 . 79.1.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕПреобразования прямоугольных координат на плоскостиПриведем формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системыкоординат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:а) параллельный перенос;б) поворот;в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).Координаты x , y точки в старой системе O i j и координаты x′ , y ′ в новой системе координат O′ i ′ j ′связаны следующими формулами:а) При параллельном переносе системы координат (рис.9.5,а) на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j : x = xs + x′ , y = y s + y′ .б) При повороте системы координат на угол ϕ (рис.9.5,б): x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ .y′ jyysjOO′ isxsiаy′xϕ jj′OРис.9.5y y′AyAx′x′i′ϕiбjOj′xAx′i xвв) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат напротивоположное) (рис.9.5,в): x = x′ , y = − y′ .8Любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводитсяк композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом,либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат O i j и O′ i ′ j ′ .Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:– при одноименных системах координат, т.е при переходе от правой системык правой или от левой к левой (рис.9.6,а): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ ,(9.5)– при разноименных системах координат (рис.9.6,б): x = xs + x′ ⋅ cos ϕ + y′ ⋅ sin ϕ ,′′ y = y s + x ⋅ sin ϕ − y ⋅ cos ϕ .(9.6)x′Ayy′ysjj′sO iϕjO′ ixsаi′ϕx′j ′′ysjxAyO iРис.9.6sϕ jϕi′O′ ′ ijy′xsбx9Для рассмотренных выше преобразований координат точек соответствующиевыражения новых координат через старые: x′ = x − x s ,а)  ′ y = y − ys , x′ = x ⋅ cos ϕ + y ⋅ sin ϕ ,б)  y′ = − x ⋅ sin ϕ + y ⋅ cos ϕ , x′ = x ,в)  y′ = − y .Для преобразования (9.5) аналогичные формулы имеют вид: x′ = ( x − xs ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − xs ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ .(9.7)При xs = 0 , y s = 0 и ϕ = π из соотношений (9.6) получается преобразование2 x = y′ , y = x′ ,изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащейбиссектрису первого координатного угла).10Преобразования прямоугольных координат в пространствеРассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:а) параллельный перенос;б) поворот вокруг координатной оси;в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления однойкоординатной оси на противоположное).Координаты x , y , z точки в старой системе координат O i j k и координаты x′ , y ′ , z ′в новой системе координат O′ i ′ j′ k ′ связаны формулами:а) При параллельном переносе системы координат на вектор переноса началакоординат s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k : x = x s + x′ , y = ys + y′ , z = z + z′ .sб) При повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси аппликат: x = x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = z′ .Очевидно, что система координат на плоскости Oxy при этом преобразованииповорачивается на угол ϕ .в) При зеркальном отражении в плоскости Oxy (изменении направления оси аппликатна противоположное): x = x′ , y = y′ , z = − z′ .Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях(изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).11Любое преобразование прямоугольной системы координатв пространстве сводится к композиции преобразований, каждое изкоторых является либо параллельным переносом, либо поворотомвокруг координатной оси, либо зеркальным отражениемв координатной плоскости.В частности, при композиции поворота на угол ϕ вокруг оси Ozи параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k формулыпреобразования координат имеют вид: x = xs + x′ ⋅ cos ϕ − y′ ⋅ sin ϕ , y = y s + x′ ⋅ sin ϕ + y′ ⋅ cos ϕ ,z = zs + z′ .(9.8)Формулы, выражающие новые координаты точек через старые,имеют вид: x ′ = ( x − x s ) ⋅ cos ϕ + ( y − y s ) ⋅ sin ϕ , ′ y = − ( x − x s ) ⋅ sin ϕ + ( y − y s ) ⋅ cos ϕ ,z′ = z − zs .(9.9)12Аналогичные формулы можно записать для других композиций преобразований.Например, чтобы получить формулы преобразования координат для композиции поворотана угол ϕ вокруг оси абсцисс и параллельного переноса на вектор s = OO′ = xs ⋅ i + ys ⋅ j + z s ⋅ k , нужнозаписать формулы (9.8) или (9.9), сделав циклическую замену букв x на y , y на z , z на x :x = x s + x′ , y = y s + y′ ⋅ cos ϕ − z ′ ⋅ sin ϕ , z = z + y′ ⋅ sin ϕ + z ′ ⋅ cos ϕsилиx′ = x − xs , y ′ = ( y − y s ) ⋅ cos ϕ + ( z − z s ) ⋅ sin ϕ , z ′ = − ( y − y ) ⋅ sin ϕ + ( z − z ) ⋅ cos ϕ .ss(9.10)13Пример 9.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций