Презентация 5. Обратная матрица (1006521), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Заданы координаты x = 3 , y = 4 точки A в старой системе координатO i j . Новая прямоугольная система координат O ′ i ′ j ′ получена из старой в результатепараллельного переноса на вектор s = 2 ⋅ i + j и поворота на угол ϕ = π . Найти координатыточки A(x′, y ′) в новой системе координат. Так как xs = 2 , y s = 1 , то по формулам (9.7) получаем:33 3 1+ 3 3;x ′ = (3 − 2 ) ⋅ cos π + (4 − 1) ⋅ sin π = 1 +=33 2223 3 3− 3.y ′ = − (3 − 2 ) ⋅ sin π + (4 − 1) ⋅ cos π = −+ =332 22Пример 9.4. Заданы координаты x = 3 , y = 4 , z = 5 точки A в старой системекоординат O i j k . Новая прямоугольная система координат O′ i ′ j′ k ′ получена из старой врезультате параллельного переноса на вектор s = 2 ⋅ i + 3 ⋅ j + k и поворота на угол ϕ = π вокруг) в новой системе координат.оси абсцисс.

Найти координаты точки ( Так как xs = 2 , ys = 3 , z s = 1 , то по формулам (9.10) получаем:A x′, y′, z ′3x′ = 3 − 2 = 1 ;4 3 1+ 4 3;y ′ = (4 − 3) ⋅ cos π + (5 − 1) ⋅ sin π = 1 +=33 2223 4 4− 3.+ =z ′ = − (4 − 3) ⋅ sin π + (5 − 1) ⋅ cos π = −32 223149.2. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТПолярная система координат на плоскости – это совокупность точки O , называемойполюсом, и полупрямой Ox , называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабныйотрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярнойоси выбирается вектор i , приложенный к точке O , длина которого принимается за величинумасштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление наполярной оси (рис.9.7,а).M (r , ϕ)rrϕO iMyxаϕjРис.9.7OiбxПоложение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r(полярным радиусом) от точки M до полюса, т.е.

r = OM , и углом ϕ (полярным углом)между полярной осью и вектором OM . Полярный радиус и полярный угол составляютполярные координаты точки M , что записывается в виде M (r , ϕ) . Полярный уголизмеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:– в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки),если значение угла положительное;– в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), еслизначение угла отрицательное.Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимаетнеотрицательные значения r ≥ 0 . Полярный угол ϕ определен для любой точки плоскости, заисключением полюса O , и принимает значения −π < ϕ ≤ π , называемые главными15значениями полярного угла.С полярной системой координат O r ϕ можно связать прямоугольную системукоординат O i j , начало O которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнееположительная полуось абсцисс) – с полярной осью.

Ось ординат достраиваетсяперпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная системакоординат (рис.9.7,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком наполярной оси.Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то,приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную системукоординат (связанную с данной прямоугольной).Приведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x , yточки M , отличной от точки O , и ее полярные координаты r , ϕ .

По рис.9.7,б получаем: x = r ⋅ cos ϕ , y = r ⋅ sin ϕ .(9.11)Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярнымкоординатам.16Обратный переход выполняется по формулам:r = x2 + y2 ,xx, cos ϕ = r =22x +yyy. sin ϕ = =r22x +y(9.12)Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых 2πn ,yxгде n ∈  . При x ≠ 0 из них следует, что tg ϕ = . Главное значение полярного угла ϕ( −π < ϕ ≤ π ) находится по формулам (рис.9.8):ϕ=arctgy,xyπ + arctg ,xy− π + arctg ,xπ,2− π,2x>0,x < 0, y ≥ 0 ,x < 0, y < 0 ,x = 0, y > 0 ,x = 0, y < 0 .yII yϕ = π + arctgxϕ = − π + arctgyxIϕ = arctgyxϕ = arctgyxIIIIVxРис.9.8Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например 0 ≤ ϕ < 2π .17Пример 9.5.

В полярной системе координат O r ϕ :а) изобразить координатные линии r = 1 , r = 2 , r = 3 , ϕ = π , ϕ = π , ϕ = 3π ;4б) изобразить точки M 1 , M 2 с полярными координатамиϕ 2 = − 7π . Найти главные значения полярных углов этих точек;4в) найти прямоугольные координаты точек M 1 , M 2 ;42r1 = 3 , ϕ1 = 9π4, r2 = 3 ,г) определить полярные координаты точки A , если известны ее прямоугольныекоординаты A(− 3, 4) . а) Координатные линии r = 1 , r = 2 , r = 3 представляют собой окружностисоответствующих радиусов, а линии ϕ = π , ϕ = π , ϕ = 3π – полупрямые (рис.9.9,а).б) Построим точки M 1  3, 9π  и4 24M 2  3, − 7π 4 4(рис.9.9,б,в). Их координаты отличаютсяполярным углом, однако имеют одно и то же главное значение ϕ = π .

Следовательно, это4одна и та же точка, которая совпадает с точкойϕ=ϕ=3π4π2ϕ=r =1r=2r =3а(( )M 3,Oπ4π4xM  3, π  , 4M 1 3,Oϕ1 =бРис.9.9x9π49π4изображенной на рис.9.9,а.()M 2 3, − 74πO)xϕ2 = −7π4вв) Учитывая п."б", находим прямоугольные координаты точки M . По формулам(9.11) получаем:3 2 3 2 3 2π 3 2.x = r ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ cos π =; y = r ⋅ sin ϕ = 3 ⋅ sin =, т.е. M ,42 242 2г) Для точки A(− 3, 4) по формулам (9.12) определяем полярный радиусrA = (−3) 2 + 4 2 = 5 , а также, учитывая рис.9.8, главное значение полярного углаϕ A = π + arctg  − 3  = π − arctg 3 .4 4 18Расстояние между двумя точками A(rA , ϕ A ) и B(rB , ϕ B ) (длина отрезка AB на рис.9.10)вычисляется по формулеAB = rA2 + rB2 − 2 ⋅ rA ⋅ rB ⋅ cos(ϕ B − ϕ A ) ,а площадь S #OA,OB параллелограмма, построенного на векторах OA и OB , – по формулеS# OA, OB= rA ⋅ rB ⋅ sin ϕ B − ϕ A .π3Пример 9.6.

Даны полярные координаты ϕ A = , rA = 4 и ϕ B =2π, rB = 23точек A и B(рис.9.11). Найти:а) скалярное произведение (OA, OB ) ;б) длину отрезка AB ;в) площадь параллелограмма, построенного на векторах OA и OB ;г) площадь S OAB треугольника OAB ;д) координаты середины C отрезка AB в прямоугольной системе координат,связанной с данной полярной.yyAB(rB , ϕ B )rBϕB rϕA AA(rA , ϕ A )xOРис.9.10BrBϕBrAjOACϕAiРис.9.11xAx19 а) По определению скалярного произведения находим:(OA, OB ) = OA ⋅ OB ⋅ cos ψ = rA ⋅ rB ⋅ cos(ϕ B − ϕ A ) = 4 ⋅ 2 ⋅ cosб) Вычисляем длину отрезкаAB = rA2 + rB2 − 2 ⋅ rA ⋅ rB ⋅ cos(ϕ B − ϕ A ) =π=4.34 2 + 2 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 3 .в) Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах OA и OB :S# OA, OB= rA ⋅ rB ⋅ sin ϕ B − ϕ A = 2 ⋅ 4 ⋅ sinπ=4 3.3г) Площадь треугольника OAB вычисляем как половину площади параллелограмма,построенного на векторах OA и OB :SOAB = 1 ⋅ S= 1 ⋅4 3 = 2 3 .2 # OA, OB 2д) По формулам (9.11) находим прямоугольные координаты точек A и B :13=2;=2 3 ;y A = rA ⋅ sin ϕ A = 4 ⋅223 1xB = rB ⋅ cos ϕ B = 2 ⋅  −  = −1 ;= 3,y B = rB ⋅ sin ϕ B = 2 ⋅2 2x A = rA ⋅ cos ϕ A = 4 ⋅а затем координаты середины C отрезка AB :xС =x A + xB2=2 + (− 1) 1= ;22yC =y A + yB2=2 3+ 3 3 3.

=22209.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТДля введения цилиндрической системы координат в пространстве- выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная системакоординат с полюсом O и полярной осью Ox .- через точку O перпендикулярно основной плоскости проводим ось Oz (осьаппликат) и выбираем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла,наблюдаемое со стороны положительного направления оси Oz , происходило противчасовой стрелки (рис.9.12,а).Цилиндрические координаты точки M – это упорядоченная тройка чиселr , ϕ , z – соответственно полярный радиус ( r ≥ 0 ), полярный угол ( −π < ϕ ≤ π ) иаппликата ( − ∞ < z < +∞ ).

У точек, принадлежащих оси аппликат, не определенполярный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой.С цилиндрической системой координат O r ϕ z можно связать прямоугольнуюсистему координат O i j k (рис.9.12,б), у которой начало и базисные векторы i , kсовпадают с началом цилиндрической системы координат и единичными векторамина полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор j выбирается так,чтобы тройка i , j , k была правой (при этом базис оказывается стандартным).21Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то,приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическуюсистему координат (связанную с данной прямоугольной).M (r , ϕ, z )zMzzMzrkO iаϕM0xkyjy rO iРис.9.12ϕxM0xбПоскольку аппликата z точки M в прямоугольной системе координат и аппликата zв цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собойпрямоугольные координаты x , y , z точки M и ее цилиндрические координаты r , ϕ , z ,имеют вид: x = r ⋅ cos ϕ , y = r ⋅ sin ϕ , z = z.(9.13)Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным цилиндрическим.22Обратный переход выполняется по формулам r = x2 + y2 ,x cos ϕ =,22x +yy sin ϕ =,22x +yz = z.(9.14)Главное значение полярного угла ϕ ( −π < ϕ ≤ π ) находится по формулам, приведеннымна рис.9.8.23Пример 9.7.

Характеристики

Список файлов лекций