Презентация 2. Элементарные преобразования (1006518)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1.2.4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦДля любой матрицы a11 a12  a1n  a 21 a 22  a 2 n A=  a a a mn  m1 m 2матрица a11 a 21  a m1 aaam2 ,AT =  12 22   a a a mn  1n 2 nполучающаяся из матрицы A заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов –соответствующими строками, называется транспонированной матрицей.Чтобы по данной матрице A получить матрицу AT , нужно первую строку матрицы Aзаписать как первый столбец матрицы AT , вторую строку матрицы A записать как второйстолбец матрицы AT и т.д.

Эта операция называется транспонированием матрицы A .1Квадратная матрица называется симметрической, еслии кососимметрической, еслиAT = A ,AT = − A .У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительноглавной диагонали, равны между собой.У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметричноотносительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональныеэлементы равны нулю.Свойства операции транспонированияПусть λ – любое число; A , B – произвольные матрицы, для которых определеныоперации умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств.

Тогдаопределены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1. (λ ⋅ A)T = λ ⋅ AT ;2. ( A + B )T = AT + B T ;3. ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT ;4. (AT ) = A .T2Пример 1.14. Найти AT , B T , C T , если4 − 51 4 5 01 2 3 , B =  − 4 06  , C =  4 2 6 .A = 0 1 2 5 6 3 5 −6 0 2× 3 Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы A являетсяпервым столбцом матрицы AT , вторая строка – вторым столбцом:1 0A = 2 1 . 3 2T(3×2 )Аналогично находим 0 −4 5 B = 40 − 6 ,−5 60 T1 4 5C =  4 2 6 . 5 6 3TТак как B T = − B , то матрица B – кососимметрическая.Поскольку C T = C , то матрица C – симметрическая.

3Пример 1.15. Найти матрицы (λ ⋅ A) T , λ ⋅ AT , ( A + B )T , AT + B T , ( A⋅ B )T , B T ⋅ AT , (AT ) ,Tеслиλ=2, Найдем(2 ⋅ A)T1 2 ,A = 3 4T 5 6 .B = 7 8T 1 2 2 6 2 4 , =   = =  2 ⋅  4 86 8 3 4TT(A + B) 1 2   5 6  6 10 6 8 , =  =  + =  8 12 10 12  3 4   7 8 (A ⋅ B) 1 2   5 6  19 43  19 22  . =  =  ⋅ = 225078435034 TTTЗаметим, чтоTT1 21 3  2 6 = 2 ⋅  =  = (2 ⋅ A)T ,2 ⋅ A = 2 ⋅ 3 4 2 4  4 8TTT1 2  5 6 1 3   5 7   6 10  +  =  +  =  = ( A + B )T ,A + B = 3 4  7 8 2 4   6 8   8 12 TTTT 5 7   1 3   19 43  5 6 1 2 = ( A ⋅ B )T , =  ⋅  =  ⋅ B ⋅ A =  6 8   2 4   22 50 7 8 3 4TT(A )T TTT  1 2 T 1 31 2 = = A,= = 3 4 2 43 4 т.е.

(λ ⋅ A)T = λ ⋅ AT , ( A + B )T = AT + B T , ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT , (AT ) = A . T41.2.5. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИЧисловая матрица A размеров m × n , разделенная горизонтальными и вертикальнымилиниями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной(клеточной) матрицей.Элементами блочной матрицы A являются матрицы Aij размеров mi × n j , i = 1,2,..., p ,j = 1,2,..., q ,причем m1 + m2 +  + m p = m и n1 + n2 +  + nq = n .Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матрицвыполняются по тем же правилам, что и для обычных матриц, только вместо элементов вформулах используются блоки.Если числовые матрицы A и B равных размеров одинаково разбиты на блоки A = (Aij )и B = (Bij ) , то их сумму C = A + B можно аналогичным образом разбить на блоки C = (Cij ) ,причем для каждого блока Cij = Aij + Bij .Если блочную матрицу( )( )A = Aijумножить на число, то получим матрицуλA = Aλ = λAij .При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочнаяструктура и все ее блоки, напримерAA =  11 A21TTT A11A12  = TAA22  12T A21.T A22 5Пример 1.16.

Даны блочные матрицы 2 3 4 AA =  3 4 5  =  11 4 5 6   A21A12  иA22 1 1 0 BB =  2 1 2  =  11 3 0 1   B21B12 .B22 Найти матрицы C = A + B , D = 5B , B T . Матрицы A и B имеют блоки одинаковых размеров: блоки A11 и B11 имеютразмеры m1 × n1 = 1× 2 ; блоки A12 и B12 – m1 × n2 = 1×1 ; блоки A21 и B21 – m2 × n1 = 2 × 2 ; блоки A22и B22 – m2 × n2 = 2 × 1 .CC Матрица C = A + B будет иметь такие же по размерам блоки C =  11 12  . Для каждого блока C21 C22 находим: C11 = A11 + B11 = (2 3) + (1 1) = (3 4) ;С12 = A12 + B12 = (4) + (0) = (4) ; 3 4  2 1   5 5 ; =  + C21 = A21 + B21 =  4 5   3 0  7 5Следовательно, матрица C будет иметь вид:5  2 7С22 = A22 + B22 =   +   =   .6 1 7 3 4 4 CC12  .С =  5 5 7  =  11 7 5 7   C21 C22 Матрица D = 5B будет иметь блоки тех же размеров, что и B :D12 = 5B12 = 5 ⋅ (0) = (0) ;D11 = 5 B11 = 5 ⋅ (1 1) = (5 5) ; 2 1  10 5  2  10  ; = D22 = 5 B22 = 5 ⋅   =   .D21 = 5 B21 = 5 ⋅  3 0  15 0 1  5 Поэтому матрица D будет иметь вид5 5 0 DD = 10 5 10  =  1115 0 5   D21D12 .D22 Используя правило транспонирования блочных матриц, получаем BTB =  11 BT 12T 1 2 3T  B21 = 1 1 0 .

T B22  0 2 16Операция умножения блочных матриц A и B .Блочные матрицы A и B называются согласованными, если разбиение матрицыA = ( Aik ) на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы B = (Bkj ) по строкам, т.е.блоки Aik имеют размеры mi × pk , а блоки Bkj – pk × n j ( k = 1,2,, s ). У согласованных блочныхматриц блоки Aik и Bkj являются согласованными матрицами.Произведением C = A ⋅ B согласованных блочных матриц A и B называется блочнаяматрица C = (Cij ) , блоки которой вычисляются по следующей формуле:Cij = Ai1 B1 j + Ai 2 B2 j +  + Ais Bsj .Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можноперемножать обычным способом. Чтобы получить блок Cij произведения, надо выделитьстроку блоков матрицы A и j -й столбец блоков матрицы B .

Затем найти суммупопарных произведений соответствующих блоков: первый блок i -й строки блоковумножается на первый блок j -го столбца блоков, второй блок i -й строки блоковумножается на второй блок j -го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.i -ю7Пример 1.17. Даны блочные матрицы 2 3 4 AA =  3 4 5  =  11 4 5 6   A21A12 A22 и 1 1 0 BB =  2 1 2  =  11 3 0 1   B21B12 .B22 Найти произведение C = AB . Матрица A разбита на блоки: A11 размеров m1 × p1 = 1× 2 ; A12 – m1 × p2 = 1×1 ;A21 – m2 × p1 = 2 × 2 ; A22 – m2 × p2 = 2 × 1 .

Матрица B разбита на блоки: B11 размеров p1 × n1 = 2 × 2 ;B12 – p1 × n2 = 2 × 1 ; B21 – p2 × n1 = 1 × 2 ; B22 – p2 × n2 = 1 × 1 . Блочные матрицы A и B согласованы.Матрица A разбита по столбцам на два и один (считая слева), матрица B разбита построкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение AB определено. МатрицаC = ABCC будет иметь блоки C =  11 12  .

Для каждого блока находим: C21 C22  1 1 + (4) ⋅ (3 0) = (8 5) + (12 0) = (20 5) ;C11 = A11B11 + A12 B21 = (2 3) ⋅  2 10С12 = A11B12 + A12 B22 = (2 3) ⋅   + (4) ⋅ (1) = (6) + (4) = (10) ; 2С22 3 4   1 1  5  +   ⋅ (3 0) = ⋅ C21 = A21B11 + A22 B21 =  4 5   2 1  6  11 7  15 0   26 7  +  =  ;= 14 9  18 0   32 9  8   5  13  3 4  0 5 ⋅   +   ⋅ (1) =   +   =   .= A21B12 + A22 B22 = 10   6  16  4 5  2 6Следовательно, матрица С будет иметь вид 20 5 10 С12  С. С =  26 7 13  =  11 32 9 16   С 21 С 22 81.2.6.

МЕТОД ГАУССА ПРИВЕДЕНИЯ МАТРИЦЫ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУЭлементарными преобразованиями матрицыпреобразования:I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.называютсяследующиеееII. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число,отличное от нуля.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементовдругого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.Матрица B , полученная из исходной матрицы A путем конечного числа элементарныхпреобразований, называется эквивалентной.

Это обозначается A ~ B .Квадратную матрицу, полученную из единичной при помощи конечного числаэлементарных преобразований, будем называть элементарной.Ступенчатый вид матрицы:000000 0 1 ∗ ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 0 0      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗   ∗ 0 1 0 0   0 0    0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0       0 0 0 0 0  0 000∗∗00 ∗ ∗ ∗  ∗ . ∗ 0  0 (1.1)Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей)обозначены единичные элементы матрицы, символом ∗ – элементы с произвольнымизначениями, остальные элементы матрицы – нулевые.К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточноиспользовать только элементарные преобразования строк матрицы.Замечания.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций