Презентация 15. Поверхности в пространстве (1006531)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

6. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫИ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ6.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВАПусть A – квадратная матрица n -го порядка.Ненулевой столбец x1  x =    , удовлетворяющий условиюx  nA⋅ x = λ ⋅ x ,(6.1)называется собственным вектором матрицы A .Число λ в равенстве (6.1) называется собственным значением матрицы A . Говорят, чтособственный вектор x соответствует (принадлежит) собственному значению λ .Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы.Определение (6.1) можно записать в виде( A − λE ) ⋅ x = o ,где E – единичная матрица n -го порядка.

Таким образом, условие (6.1) представляет собой однороднуюсистему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1 , x2 ,…, xn : (a11 − λ ) x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0 , a x + (a − λ ) x +  + a x = 0 , 21 12222n n an1 x1 + an 2 x2 +  + (ann − λ ) xn = 0 .(6.2)Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения ( x ≠ o ) однородной системы, тоопределитель матрицы системы должен быть равен нулю:a11 − λa12a21a22 − λdet ( A − λE ) =an1an 2a1na2 n=0. ann − λВ противном случае по правилу Крамера система имеет единственное тривиальное решение.(6.3)1Задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравненияa11 − λdet ( A − λE ) =a21an1a1na22 − λ a2 na12an 2=0, ann − λкоторое называется характеристическим уравнением матрицы A .Корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (6.3)) и толькоони являются собственными значениями матрицы.По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет n в общем случаекомплексных корней (с учетом их кратностей).Собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратнойматрицы.Собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), асобственные векторы – неоднозначно.Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей)называют ее спектром.Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарноразличные (все корни характеристического уравнения простые).2Свойства собственных векторовПусть A – квадратная матрица n -го порядка.1.

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям,линейно независимы.2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одномусобственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому жесобственному значению.3. Пусть ( A − λE )+ – присоединенная матрица для характеристической матрицы( A − λE ) . Если λ 0 – собственное значение матрицы A , то любой ненулевой столбец матрицы( A − λ 0 E )+ является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ 0 .4. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейнонезависимую систему собственных векторов, нужно для всех различных собственныхзначений λ1 ,…, λ k записать одну за другой системы линейно независимых собственныхвекторов, в частности одну за другой фундаментальные системы решений однородныхсистем(A − λ1 E )⋅ x = o ,(A − λ 2 E )⋅ x = o ,…, (A − λ k E )⋅ x = o .3Алгоритм нахождения собственных векторов и собственныхзначений матрицыДля нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицыA n -го порядка надо выполнить следующие действия.1.

Составить характеристический многочлен матрицы∆ A (λ ) = det ( A − λE ) .2. Найти все различные корни λ1 ,…, λ k характеристического уравнения ∆ A (λ ) = 0 ;кратности n1 , n2 ,…, nk ( n1 + n2 + ... + nk = n ) корней определять не нужно.3. Для корня λ = λ1 найти фундаментальную систему ϕ1 , ϕ 2 ,…, ϕ n− r ( r = rg ( A − λ1 E ) )решений однородной системы уравнений(A − λ1 E )⋅ x = o .Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один изспособов нахождения фундаментальной матрицы.4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы A , отвечающиесобственному значению λ1 :s1 = C1 ⋅ ϕ1 ,s2 = C 2 ⋅ ϕ 2 ,…,sn − r = Cn − r ⋅ ϕ n − r ,(6.4)где С1 , C2 ,…, Cn − r – отличные от нуля произвольные постоянные.

Совокупность всехсобственных векторов, отвечающих собственному значению λ1 , образуют ненулевыестолбцы вида s = C1 ⋅ ϕ1 + C2 ⋅ ϕ 2 + ... + Cn − r ⋅ ϕ n − r . Здесь и далее собственные векторы матрицыбудем обозначать буквой s .4Повторить п.3, 4 для остальных собственных значений λ 2 ,…, λ k .Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:1 − 2 ,A = 38 Матрица A : 1. Составляем характеристический многочлен матрицы:∆ A (λ ) =1− λ − 2= (1 − λ )(8 − λ ) + 6 = λ2 − 9λ + 8 + 6 = λ2 − 9λ + 14 .38−λ2. Решаем характеристическое уравнение:λ2 − 9λ + 14 = 031 .⇒Для простого корня(A − λ1 E )⋅ x = o :λ1 = 2 , λ 2 = 7 (простой спектр матрицы).λ1 = 21 − 2 − 2   x1   0  ⋅   =  38−2  x2   0 составляем однородную систему уравнений⇔ − 1 − 2   x1   0  ⋅   =   .36  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду: − 1 − 2 0 1 2 0  1 2 0~.~6 0   3 6 0   0 0 0 3Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.Выражаем базисную переменную x1 через свободную переменную: x1 = −2x2 .

Полагаяx2 = 1 , получаем решение − 2ϕ1 =   . 1 λ1 = 2 :41 . Записываем собственные векторы, соответствующие собственномуs1 = C1 ⋅ ϕ1 , где С1 – отличная от нуля произвольная постоянная.значению532 .Для простого корня(A − λ 2 E )⋅ x = o :λ2 = 71 − 7 − 2   x1   0  ⋅   =  38−7  x2   0 составляем однородную систему уравнений⇔ − 6 − 2   x1   0  ⋅   =   .31  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду:11 0  1 − 6 − 2 0  30   1 13 0 3~ ~  ~  0 0 0 .310620−−620−−   Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.13Выражаем базисную переменную x1 через свободную переменную: x1 = − x2 .Полагая x2 = 1 , получаем решение− 1 ϕ2 =  3  . 1 4 2 .

Записываемλ 2 = 7 : s2 = C2 ⋅ ϕ 2 , где С2собственные векторы, соответствующие собственному значению– отличная от нуля произвольная постоянная.6 1 1 1B =  1 1 1 1 1 1Матрица B : 1. Составляем характеристический многочлен матрицы:1− λ11∆ B (λ ) = B − λE = 1 1 − λ1 = (1 − λ )3 + 2 − 3(1 − λ ) = −λ3 + 3λ2 .11 1− λ2. Решаем характеристическое уравнение: − λ3 + 3λ2 = 0 ⇒ λ1 = 3 , λ 2 = λ 3 = 0 (спектр).31 Для простого корня λ1 = 3 составляем однородную систему уравнений (B − λ1 E )⋅ x = o :1   x1   0 1 − 3 1     1 1 − 3 1  ⋅  x2  =  0 1 1 − 3   x3   0  1или − 2 x1 + x2 + x3 = 0 , x1 − 2 x2 + x3 = 0 , x + x − 2x = 0 .3 1 2Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду(ведущие элементы выделены полужирным курсивом):1 0  11 − 2 0− 2 1 (B − λ1E o ) =  1 − 2 1 0  ~  − 2 1 1 0  ~ 11 − 2 0   1 − 2 1 0 1 1 − 2 0 1 1 − 2 0 1 0 −1 0  ~  0 3 − 3 0 ~  0 1 −1 0 ~  0 1 −1 0 .0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Ранг матрицы системы равен 2 ( r = 2 ), число неизвестных n = 3 , следовательно, фундаментальнаясистема решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.x = x ,Выражаем базисные переменные x1 , x2 через свободную x3 :  1 3 x 2 = x3 ,и, полагая x3 = 1 , получаем решение41 .

Все1 ϕ = 1 .1 собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1 = 3 , вычисляем поформуле s = C1 ⋅ ϕ , где С1 – отличная от нуля произвольная постоянная.732 . Для двойного корня λ 2 = λ 3 = 0 имеем однородную систему B ⋅ x = o . Решаем ее методомГаусса:1 1 1 0   1 1 1 0  ( B o ) = 1 1 1 0  ~  0 0 0 0  .1 1 1 0   0 0 0 0  Ранг матрицы системы равен единице ( r = 1 ), следовательно, фундаментальная система решенийсостоит из двух решений ( n − r = 2 ).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций