Презентация 1. Матрицы (1006517)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯПРЕЗЕНТАЦИИЛекций 36 ч.Практических занятий 36 ч.Всего 72 ч.Итоговый контроль – экзамен.Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович1ЛИТЕРАТУРА1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука, 1984.2. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах.- М.: Высшая школа,2010. - 592 с.3. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.- М.: Высшаяшкола, 205. - 592 с.4.

Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.- М.:Высшая школа, 2007. - 352 с.21. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ1.1. ЧИСЛОВЫЕ МАТРИЦЫМатрицей размеров m × n называется совокупность m ⋅ n чисел, расположенных в видепрямоугольной таблицы из m строк и n столбцов: a11 a 21A=a m1a12a 22......am 2...a1n a2n  a mn или A = (aij ) , i = 1,..., m ; j = 1,..., n .Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: aij – ее элемент,стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца. Предполагается, что элементы матрицявляются действительными числами.Пример 1.1.

Определить размеры матриц1 0A =  2 3 , 4 21 0 4 2 , c = (1 2 3) ,B = 36811d =   . 2 Матрица A имеет размеры 3× 2 , матрица B – 2 × 4 , c – 1× 3 ,d – 2 × 1 .3Две матрицы A и B называются равными ( A = B ), если ониимеют одинаковые размеры ( m × n ) и равные соответствующиеэлементы:aij = bij , i = 1,..., m ;j = 1,..., n .В общем случае матрицу (размеров m × n ) называютпрямоугольной. В частности, если матрица состоит из одногостолбца ( n = 1 ) или одной строки ( m = 1 ), то она называетсяматрицей-столбцом или матрицей-строкой (либо простостолбцом или строкой) соответственно. Матрицы-строки иматрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (впримере 1.1: c – строка, d – столбец).

Матрица размеров 1×1 –это просто число (единственный элемент матрицы).ЕслиуматрицыПобочная диагональa1n  a11количество строк ( m ) равноколичеству столбцов ( n ), тоaматрицу называют квадратнойa nn  n1Элементы( n -гопорядка).Главная диагональРис. 1.1a11 , a 22 ,…, a nn образуют главнуюдиагональ квадратной матрицы(ей соответствует штриховая линия на рис. 1.1, соединяющаялевый верхний угол матрицы (элемент a11 ) с правым нижнимуглом (элемент ann )). Диагональ, соединяющая левый нижнийугол (элемент an1 ) с правым верхним углом (элемент a1n ),называется побочной.4 a11 0A= 0Квадратная матрица вида0a 2200 0 , a nn .........у которой все элементы, стоящие внеглавной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается diag (a11 , a22 ,..., ann ) .Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица10E =0010.........00,1 которая называется единичной ( n -го порядка) и обозначается E (или En ).Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главнойдиагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (нижней треугольной).На рис.

1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать,что в частях матрицы, помеченных символом О, все элементы равны нулю, а в частях,помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными).Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхнейи нижней треугольной.ДиагональнаяООВерхняятреугольнаяО*НижняятреугольнаяО*Рис. 1.2Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.5Пример 1.2. Определить типы матриц1 2 10 0 0 , B =  0 4 5  ,A = 0 0 00 0 91 0 01 0F = 0 1 0 , G =  2 34 50 0 1ABСDEFGH0 00 01 0 , D =  , E =  ,C = 1000010 2 0 00 , H =  0 2 0 .0 0 16 – прямоугольная размеров 2 × 3 , нулевая;– верхняя треугольная третьего порядка;– нижняя треугольная второго порядка;– квадратная второго порядка, нулевая;– единичная второго порядка;– единичная третьего порядка;– нижняя треугольная третьего порядка;– диагональная третьего порядка.

61.2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ1.2.1. СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦПусть A = (aij ) и B = (bij ) – матрицы одинаковых размеров m × n .Матрица C = (cij ) тех же размеров m × n называется суммой матриц A и B , если ееэлементы равны сумме соответствующих элементов матриц A и B : cij = aij + bij , i = 1,..., m ;j = 1,..., n .Сумма матриц обозначается C = A + B .Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров ивыполняется поэлементно.Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковыхразмеров.

Нельзя, например, найти суммы вида1 2  5 +  3 4 6или(1 32) +   . 41 20 1Пример 1.3. Найти сумму двух матриц A =  3 4  , B =  1 0  .5 60 0 Складывая соответствующие элементы матриц, получаем1 2  0 1 1+ 0 2 +1  1 3   C = 3 4 + 1 0 =  3 +1 4 + 0 =  4 4 . 5 6 0 0 5 + 0 6 + 0  5 6   (3×2 )(3×2 )(3×2 )71.2.2. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛОПроизведением матрицы A = (aij ) на число λ называется матрица C = (cij ) тех жеразмеров, что и матрица A , каждый элемент которой равен произведению числа λ насоответствующий элемент матрицы A :cij = λ ⋅ aij ,i = 1,  , m ;j = 1,  , n .Произведение обозначается λ ⋅ A или A ⋅ λ .

Операция умножения матрицы на числовыполняется поэлементно. Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ееэлемент умножается на это число.Пример 1.4. Найти произведение матрицы1 2A = 3 45 6на число 2 . Умножая на 2 каждый элемент матрицы A , получаем1 2 1⋅ 2 2 ⋅ 2  2 4   C = 2 ⋅ A = A ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 4 = 3 ⋅ 2 4 ⋅ 2 =  6 8  .  5 6   5 ⋅ 2 6 ⋅ 2  10 12   8Матрица (−1) ⋅ A называется противоположной матрице A и обозначается (− A) .Сумма матриц B и (− A) называется разностью и обозначается B − A .Для нахождения разности матриц B − A следует из элементов матрицы B вычестьсоответствующие элементы матрицы A . Вычитать можно только матрицыодинаковых размеров.Пример 1.5.

Даны матрицы1 20 1A =  3 4 , B =  1 0  .5 60 0Найти разности B − A и A − B . Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим 0 1   1 2   0 − 1 1 − 2   −1 −1 B − A = 1 0  −  3 4  = 1 − 3 0 − 4  = −2 −4  , 0 0   5 6   0 − 5 0 − 6   −5 −6    1 2 0 1A − B =  3 4  −  1 0  =5 6 0 0 1− 0 2 −1  1 1  3 −1 4 − 0 =  2 4 .  5 − 0 6 − 0 5 6 9ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ1. Операция сложения матриц;2.

Операция умножения матрицы на число.Свойства линейных операций над матрицами совпадают со свойствами операцийсложения (вычитания) алгебраических выражений (например, многочленов) и умноженияалгебраического выражения на число.Для любых матриц A , B , C одинаковых размеров и любых чисел α , β справедливыравенства:1. A + B = B + A ;2. ( A + B ) + C = A + (B + C ) ;3. α ⋅ ( A + B ) = α ⋅ A + α ⋅ B ;4. (α + β ) ⋅ A = α ⋅ A + β ⋅ A ;5. (α ⋅ β ) ⋅ A = α ⋅ (β ⋅ A) ;6. 1 ⋅ A = A .101.2.3. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦПусть даны матрицы A = (aij ) размеров m × p и B = (bij ) размеров p × n .Матрица C размеров m × n , элементы cij которой вычисляются по формулеcij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j +  + aip ⋅ b pj , i = 1,.., m ; j = 1,.., n ,называется произведением матриц A и B и обозначается С = AB .Операция умножения матрицы A на матрицу B определена только для согласованныхматриц, у которых число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B :C = A⋅ B .m× nm× p p × nРассмотрим подробнее процедуру нахождения произведения матриц.Чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбцаматрицы С , следует выделить i -ю строку матрицы A и j -й столбец матрицы B .

Онисодержат одинаковое число элементов, так как матрицы A и B согласованы.Затем найти сумму попарных произведений соответствующих элементов: первыйэлемент i -й строки умножается на первый элемент j -го столбца, второй элемент i -й строкиумножается на второй элемент j -го столбца и т.д., а результаты перемноженийскладываются.11В произведении A⋅ B матрицу A называют левым множителем для B и говорят обумножении матрицы B на матрицу A слева.Аналогично матрицу B называют правым множителем для A и говорят обумножении матрицы A на матрицу B справа.Заметим, что в общем случае A ⋅ B ≠ B ⋅ A , но существуют квадратные матрицы,произведение которых не зависит от перестановки множителей.Матрицы A и B называются перестановочными, еслиA⋅ B = B ⋅ A .Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.В частности, например, можно показать, что диагональные матрицы одного и того жепорядка перестановочны.Для любой квадратной матрицы A порядка n справедливы следующие равенства:A⋅ E = E ⋅ A = A ,где E – единичная матрица порядка n .

Другими словами, единичная матрицаперестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.Для любой матрицы A справедливы равенстваA⋅O = O и O ⋅ A = O ,где O – нулевые матрицы соответствующих порядков, т.е. нулевая квадратная матрицаперестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.12Свойства умножения матрицПусть λ – любое число; A , B , C – произвольные матрицы, для которых определеныоперации умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств. Тогдаопределены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1. ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C ) ;2.

A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C ;3. ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C ;4. λ ⋅ ( A ⋅ B ) = (λ ⋅ A) ⋅ B .Пример 1.6. Даны матрицыB⋅ A.1 01 2 1 , B =  0 1  . Вычислить произведения A⋅ BA =  0 1 21 1и Используя правило умножения, получаем1 0  1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 1 ⋅1 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 1 ⋅1   2 3 1 2 1  ⋅  0 1  =  = A⋅B= ; ⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅01201102100112123 1 1  2×3 3× 2 2× 21 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2   1 2 1 1 0  1 2 1 01210021101120101=+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅B⋅A=. 012  1 ⋅1 + 1 ⋅ 0 1 ⋅ 2 + 1 ⋅1 1 ⋅1 + 1 ⋅ 2   1 3 3 3× 2 2× 3  1 1   3× 3Оба произведения A⋅ B и B ⋅ A определены, но являются матрицами разных размеров, т.е.A⋅ B ≠ B ⋅ A .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций