Презентация 13. Системы координат (1006529)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙПусть дана система (5.1) m линейных уравнений с n неизвестными. Для ее решения нужновыполнить следующие действия:1. Составить расширенную матрицу (5.7) системы: a11  a1n(A b) =     a m1  a m nb1  .bm 2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A b ) , привести ее кступенчатому виду (см.

разд.1.2.6). Если базисный минор матрицы A расположен в первых r строкахи r столбцах, получится следующий вид: 1 a~120 1 ~ ~ A b = 0 00 0 0 0()a~1ra~2 r100a~1na~2 n~arn00~b1 ~b2  ~br  .~ br +1  0 (5.8)3. Выяснить, совместна система или нет. Для этого определить ранги матриц A и ( A b ) :~rg A = rg A = r~– число ненулевых строк в матрице A ;~~ ~ r + 1, если br +1 ≠ 0 ,rg( A b ) = rg A b = ~ r , если br +1 = 0 .~Если rg A ≠ rg( A b ) при br +1 ≠ 0 , то система не имеет решений. Процесс решения завершен.~Если rg A = rg( A b ) при br +1 = 0 , то система совместна. Процесс решения продолжается.()14. Для совместной системы ( rg A = rg( A b ) = r ) привести матрицу (A b ) к упрощенномувиду (см.

разд. 1.2.6). Для этого при помощи элементарных преобразований над строкамидобиваемся того, чтобы в каждом столбце, входящем в базисный минор, все элементы былиравны нулю, за исключением одного, равного единице. Если базисный минор матрицы Aрасположен в первых r строках и первых r столбцах, то матрица приводится к упрощенномувиду:~10( A′ b′) =  0000  0 a1′r +11  0 a 2′ r +1  ′ +10  1 a rr0  0  00  00 a1′n b1′  a 2′ n b2′    ′ br′  . a rn 0 0    0 0 ~(5.9)Первые четыре пункта составляют прямой ход метода Гаусса. В результате прямого ходаисходная система существенно упрощается (имеет вид A′x = b′ ): x1 + a1′ r +1 xr +1 + ...

+ a1′ n xn = b1′ , x + a ′ x + ... + a ′ x = b′ .r r +1 r +1rn nr r(5.10)5. По упрощенному виду (5.9) разделяем все неизвестные x1 , x2 ,…, xn на базисные исвободные. Неизвестные, которым соответствуют столбцы, входящие в базисный минор,называются базисными переменными, остальные неизвестные – свободными переменными.Для системы (5.10) базисными переменными являются x1 , x2 ,…, xr , свободнымипеременными – xr +1 , xr + 2 ,…, xn .

Выражаем в (5.10) базисные переменные через свободные: x1 = b1′ − a1′ r +1 xr +1 − ... − a1′ n xn , x = b′ − a′ x − ... − a′ x .rr r +1 r +1rn n r(5.11)2Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных ( r = rg A = n ), то левый блокматрицы (5.9) будет представлен единичной матрицей En : 1 0  0 b1′  0 1  0 b2′ ( A′ b′) = . 0 0  1 b′ nВсе неизвестные x1 , x2 ,…, xn будут базисными, и формула (5.11) будет определятьединственное решение системы: x1x 2 xn= b1′ ,= b2′ ,= bn′ .(5.12)Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( rg A < n ), то система имеетбесконечно много решений, задаваемых формулой (5.11), которая обладает следующимисвойствами:– при любых значениях свободных переменных xr +1 , xr + 2 ,…, xn по формуле (5.11)получаются такие значения базисных переменных, что упорядоченный набор чиселx1 , x2 ,…, xn является решением системы (5.1);– любое решение x1 , x2 ,…, xn системы (5.1) удовлетворяет равенствам (5.11).Равенства (5.11), выражающие базисные переменные через свободные, называютсяобщим решением системы (5.1).

Решение системы, получающееся по формуле (5.11) призадании конкретных значений свободных переменных, называется частным решениемсистемы (5.1).Процесс решения совместной системы (5.1) заканчивается получением формулы(5.11) общего решения (в частности, определением единственного решения (5.12)).3Содержание п.5 алгоритма составляет обратный ход метода Гаусса.Пример 5.3.

Решить системы линейных уравнений x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1 , x + 3x − 3x = 1 ,32а)  1+−=1,23xxx3 1 2 2 x1 − x2 + x3 = 3 ; а) 1. Составим расширенную матрицу системы: 1 2 − 2 1 1 3 − 3 1.(A b) = 3 1 − 2 1 2 − 1 1 32. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A b ) , приводимее к ступенчатому виду. Выбираем в качестве ведущего элемента a11 = 1 ≠ 0 .

Ко второй строкеприбавляем первую, умноженную на (− 1) , к третьей – первую, умноженную на (− 3) , а кчетвертой – первую, умноженную на (− 2) : 1 2 − 2 1  1 2 − 2 1   1 3 − 3 1  0 1 − 1 0 .(A b) = ~3 1 − 2 1  0 − 5 4 − 2  1  2 − 1 1 3  0 − 5 5Ведущий элементумноженную на 5 :a 22 = 1 ≠ 0 .К третьей и четвертой строкам прибавляем вторую,1 2 − 2 1  1 0 1 −1 0  0(A b) ~ ~0 − 5 4 − 2 0 1   00 − 5 52 −2 1 1 −1 2 .0 −1 − 20 01 Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.3. Определяем ранги матриц: rg A = 3 , rg( A b ) = 4 . Согласно теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Последнее уравнение системы имеет вид 0 = 1 (неверноеравенство). Таким образом, система не имеет решений.4 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1 , x + 3x − 3x = 1 , 1233+−2= 1,xxx23 1 2 x1 − x2 + x3 = 2 ;б) 1. Составляем расширенную матрицу системы:1 2 − 2 11 3 − 3 1.( A b) = 3 1 − 2 1 2 −1 1 2b4 = 2 .Она отличается от системы "а" только элементом2.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, повторяя всепреобразования строк, проделанные в п."а":1 1 2 − 2 1 1 2 − 2 1  0 1 3 − 3 1 0 1 −1 0 (A b) = ~ ~~00 −5 4 −23 1 −2 1 0 0 2 −1 1 2  0 − 5 53. Определяем ранги матриц: r = rg A = rg( A2 − 2 1  1 2 − 2 1 1 −1 0  0 1 −1 0 ~ ~~= A b .0 −1 − 2 0 0 1 2 0 00   0 0 0 0 b ) = 3 . Согласно теореме Кронекера–Капелли()система совместна.4.

Приводим матрицу к упрощенному виду. Выбираем в качестве базисного минора M 112233 .К первой строке прибавляем вторую, умноженную на (− 2) , а затем ко второй строке прибавляемтретью:1~ ~ 0A b =00()2 − 2 1 1 1 −1 0  0~0 1 2  0 0 0 0   00 01 −10 10 01 1 0  0~2  0 0   00100001012= (A′ b′) .20 5. Ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных ( r = 3 = n ). Поэтому система имеетединственное решение (все неизвестные x1 , x2 , x3 будут базисными, а свободных неизвестныхнет). По матрице (A′ b′) упрощенного вида находим это единственное решение: x1 = 1 ; x2 = 2 ;x3 = 2 , которое представляется столбцом x = (1 2 2)T .5 x1 + x2 + 2 x3 = 4 , x1 + 2 x2 + 3x3 = 5 ;1 1 2 4  .1235в) 1.

Составляем расширенную матрицу системы: ( A b ) = 2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A b ) ,приводим ее к ступенчатому виду. Берем в качестве ведущего элемента a11 = 1 ≠ 0 . Ко второйстроке прибавим первую, умноженную на (− 1) :(A()1 1 2 4   1 1 2 4  ~ ~ ~  = A b .b ) = 12350111 Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.3. Определяем ранги матриц: rg A = rg( A b ) = 2 . Согласно теореме Кронекера–Капеллисистема совместна.4.

Приводим матрицу к упрощенному виду. Выбираем в качестве базисного минора M 1122 .К первой строке прибавляем вторую, умноженную на (− 1) :(A~ b~ ) =  101 2 4 1 0 1 ~ 111 0 1 15. Переменные x1 , x2 – базисные,используя (5.11):3 = A′ b′ .1 ()а x3 – свободная. Записываем общее решение системы, x1 = 3 − x3 , x2 = 1 − x3 .Система имеет бесконечно много решений. Найдем частное решение. Например, для x3 = 0получаем x1 = 3 , x2 = 1 . Следовательно, столбец x = (3 1 0)T – частное решение системы.6 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 1 ,г) 2 x1 + 3x2 + x4 = 0 ,3x + 4 x + 2 x + 2 x = 1 .234 1г) 1. Составляем расширенную матрицу системы:1 1 2 1 1(A b) =  2 3 0 1 0  . 3 4 2 2 12. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A b ) , приводимее к ступенчатому виду. Берем в качестве ведущего элемента a11 = 1 ≠ 0 .

Ко второй строкеприбавляем первую, умноженную на (− 2) , а к третьей – первую, умноженную на (− 3) :1 1 2 1 1 1 1 21 1  (A b) =  2 3 0 1 0  ~  0 1 − 4 − 1 − 2  .  3 4 2 2 1  0 1 − 4 −1 − 2Ведущий элемент a22 = 1 ≠ 0 . К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (− 1) :1 1 21 1  1 1 21 1  ( A b ) ~  0 1 − 4 − 1 − 2  ~  0 1 − 4 − 1 − 2  = A~ b~ . 0 0  0 1 − 4 −1 − 2  0 0 0()Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.3. Определяем ранги матриц: rg A = rg( A b ) = 2 .

Согласно теореме Кронекера–Капеллисистема совместна.4. Приводим матрицу к упрощенному виду. Выбираем в качестве базисного минора12Кпервойстрокеприбавляемвторую,умноженнуюна (− 1) :M1 2 .1 1 21 1  1 ~ ~ A b =  0 1 − 4 −1 − 2 ~  0 0 0  00 0 05. Переменные x1 , x2()системы, используя (5.11):0 62 3 1 − 4 − 1 − 2  = ( A′ b′) .0 00 0 – базисные, а x3 , x4 – свободные. Записываем общее решение x1 = 3 − 6 x3 − 2 x4 , x2 = −2 + 4 x3 + x4 .Система имеет бесконечно много решений. Найдем частное решение. Например, дляx3 = x4 = 0 получаем x1 = 3 , x2 = −2 . Следовательно, столбец x = (3 − 2 0 0) T – частноерешение системы.

7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций