Презентация 8. Структура решения СЛАУ (1006524)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАксиомы линейного пространстваЛинейным (векторным) пространством называется множество V произвольныхэлементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов иумножения вектора на число, т.е. любым двум векторам u и v поставлен в соответствиевектор u + v , называемый суммой векторов u и v , любому вектору v и любому числу λпоставлен в соответствие вектор λv , называемый произведением вектора v на число λ , такчто выполняются следующие условия:1) u + v = v + u ∀u, v ∈V ;(коммутативность сложения)2) u + (v + w ) = (u + v ) + w∀u, v , w ∈V; (ассоциативность сложения)3) существует такой элемент o ∈V , называемый нулевым вектором, что v + o = v∀v ∈ V ;4) для каждого вектора v существует такой вектор (− v )∈V , называемыйпротивоположным вектору v , что v + (− v ) = o ;5) λ(u + v ) = λu + λv∀u, v ∈V6) (λ + µ ) v = λv + µv∀v ∈ V7) λ(µv ) = (λµ ) v∀v ∈ V, ∀λ ∈ R ;, ∀λ, µ ∈ R ;, ∀λ, µ ∈ R ;8) 1 ⋅ v = v ∀v ∈ V .Условия 1–8 называются аксиомами линейного пространства.

Знак равенства,поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен1один и тот же элемент множества V . Такие векторы называются равными.Линейное пространство – это непустое множество, так как обязательно содержитнулевой вектор.Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейнымиоперациями над векторами.Разностью векторов u и v называется сумма вектора u с противоположнымвектором (− v ) и обозначается: u − v = u + (− v ) .Два ненулевых вектора u и v называются коллинеарными (пропорциональными),если существует такое число λ , что v = λu . Понятие коллинеарности распространяется налюбое конечное число векторов. Нулевой вектор o считается коллинеарным с любымвектором.В определении линейного пространства операция умножения вектора на числовведена для действительных чисел.

Такое пространство называют линейнымпространством над полем действительных (вещественных) чисел, или, короче,вещественным линейным пространством. Если в определении вместо поля действительных чисел взять поле комплексных чисел  , то получим линейноепространство над полем комплексных чисел, или, короче, комплексное линейноепространство.Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейныепространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опускаяслово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже, – линейные.2Примеры линейных пространств1. Обозначим { o } – множество, содержащее один нулевой вектор, с операциямиo + o = o и λo = o .

Для указанных операций аксиомы 1–8 выполняются. Следовательно,множество { o } является линейным пространством над любым числовым полем. Этолинейное пространство называется нулевым.2. Обозначим V1 , V2 , V3 – множества геометрических векторов (направленных отрезков)на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложениявекторов и умножения векторов на число [3]. Выполнение аксиом 1–8 линейногопространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V1 , V2 , V3являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можнорассмотреть соответствующие множества радиус-векторов.

Например, множество векторовна плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точкиплоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторовединичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторовсумма v + v не принадлежит рассматриваемому множеству.3. Обозначим  n – множество матриц-столбцов размеров n ×1 с операциями сложенияматриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1–8 линейного пространства для этогомножества выполняются (см.

разд. 1.2). Нулевым вектором в этом множестве служит нулевойстолбец o = (0  0)T . Следовательно, множество  n – вещественное линейноепространство. Аналогично, множество  n столбцов размеров n ×1 с комплекснымиэлементами – комплексное линейное пространство.Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами,напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположныхвекторов.34. Обозначим {Ax = o} – множество решений однородной системы Ax = o линейныхалгебраических уравнений с n неизвестными (где A – матрица системы), рассматриваемоекак множество столбцов размеров n ×1 с операциями сложения матриц и умножения матрицна число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве {Ax = o} .

Изсвойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решенийоднородной системы и произведение ее решения на число также являются решениямиоднородной системы, т.е. принадлежат множеству {Ax = o} . Аксиомы линейногопространства для столбцов выполняются (см. п.3 в примерах линейных пространств).Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейнымпространством.Множество {Ax = b} решений неоднородной системы Ax = b , b ≠ o , напротив, неявляется линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента( x = o не является решением неоднородной системы).5. Обозначим  m×n – множество матриц размеров m × n с операциями сложенияматриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1–8 линейного пространства для этогомножества выполняются (см.

разд. 1.2). Нулевым вектором является нулевая матрица Oсоответствующих размеров. Следовательно, множество  m×n является линейнымпространством.46. Обозначим P ( ) – множество многочленов одной переменной с комплекснымикоэффициентами (см. разд. В.4 в [4]). Операции сложения многочленов и умножениямногочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены иудовлетворяют аксиомам 1–8 (в частности, нулевым вектором является многочлен,тождественно равный нулю). Поэтому множество P ( ) является линейным пространствомнад полем комплексных чисел.Множество P ( ) многочленов с действительными коэффициентами также являетсялинейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел).Множество Pn ( ) многочленов степени не выше чем n с действительнымикоэффициентами также является вещественным линейным пространством.

Заметим, чтооперация сложения многочленов определена на этом множестве, так как степень суммымногочленов не превышает степеней слагаемых.Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так каксумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, непринадлежащим рассматриваемому множеству.Множество всех многочленов степени не выше чем n с положительнымикоэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножениитакого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этомумножеству.57. Обозначим C ( ) – множество действительных функций, определенных инепрерывных на  .

Сумма ( f + g ) функций f , g и произведение λf функции f надействительное число λ определяются равенствами: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , (λf ) ( x ) = λ ⋅ f ( x ) длявсех x ∈  . Эти операции действительно определены на C ( ) , так как сумма непрерывныхфункций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывнымифункциями, т.е. элементами C ( ) .

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливостьравенства f ( x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x ) для любого x ∈  . Поэтому f + g = g + f , т.е. аксиома 1выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевымвектором служит функция o(x ) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, являетсянепрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f ( x ) + o( x ) = f ( x ) , т.е.справедлива аксиома 3.

Противоположным вектором для вектора f будет функция(− f ) ( x ) = − f ( x ) . Тогда f + (− f ) = o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют издистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 – изассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение наединицу не изменяет функцию: 1 ⋅ f ( x ) = f ( x ) для любого x ∈  , т.е. 1 ⋅ f = f .Таким образом, рассматриваемое множество C ( ) с введенными операциями являетсявещественным линейным пространством.

Аналогично доказывается, что C 1 ( ) , C 2 ( ) ,…,C m ( ) ,… – множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго и т.д.порядков соответственно, также являются линейными пространствами.612.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВПонятия линейной зависимости и линейной независимости векторовДля элементов линейного пространства были введены операции умножения вектора начисло (из некоторого числового поля) и сложения векторов. При помощи этих операций можносоставлять алгебраические выражения.Вектор v называется линейной комбинацией векторов v1 , v 2 ,…, v k , еслиv = α1v1 + α 2v 2 + ... + α k v k ,(12.1)где α1 , α 2 ,…, α k – некоторые числа.

В этом случае говорят, что вектор v разложен повекторам v1 , v 2 ,…, v k (вектор v линейно выражается через векторы v1 , v2 ,…, vk ), а числаα1 , α 2 ,…, α k называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевымикоэффициентами v = 0 ⋅ v1 + 0 ⋅ v 2 + ... + 0 ⋅ v k называется тривиальной.Набор векторов v1 , v 2 ,…, v k из V называется системой векторов, а любая часть системывекторов – подсистемой.Система из k векторов v1 , v 2 ,…, v k называется линейно зависимой, если существуюттакие числа α1 , α 2 ,..., α k , не все равные нулю одновременно, что справедливо равенствоα1v1 + α 2v 2 + ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций