Презентация 8. Структура решения СЛАУ (1006524), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2×3 = Lin(e1 , e2 ,..., e6 ) .Следовательно, dim 2×3 = 2 ⋅ 3 = 6 , а матрицы e1 , e2 ,…, e6 являются базисом (стандартным)этого пространства. Аналогично доказывается, что dim m×n = m ⋅ n .136. Для любого натурального n в пространстве P ( ) многочленов с комплекснымикоэффициентами можно найти n линейно независимых элементов. Например, многочленыe1 = 1 , e2 = z , e3 = z 2 ,…, en = z n −1 линейно независимы, так как их линейная комбинацияa1 ⋅ e1 + a2 ⋅ e2 + ...
+ an ⋅ en = a1 + a2 z + ... + an z n −1равна нулевому многочлену ( o( z ) ≡ 0 ) только в тривиальном случае ( a1 = a2 = ... = an = 0 ).Поскольку эта система многочленов линейно независима при любом натуральном n ,пространство P ( ) – бесконечномерное.Аналогично делаем вывод о бесконечной размерности пространства P ( )многочленов с действительными коэффициентами.Пространство Pn ( ) многочленов степени не выше чем n конечномерное.Действительно, векторы e1 = 1 , e2 = x , e3 = x 2 ,…, en +1 = x n образуют базис (стандартный) этогопространства, так как они линейно независимы и любой многочлен из Pn ( ) можнопредставить в виде линейной комбинации этих векторов:an x n + ... + a1 x + a0 = a0 ⋅ e1 + a1 ⋅ e2 + ...
+ an ⋅ en +1 .Следовательно, dim Pn ( ) = n + 1 .7. В пространстве Tω ( ) тригонометрических двучленов (частоты ω ≠ 0 ) сдействительными коэффициентами базис образуют одночлены e1 (t ) = sin ωt , e2 (t ) = cos ωt . Онилинейно независимы, так как тождественное равенство a sin ωt + b cos ωt ≡ 0 возможно только втривиальном случае ( a = b = 0 ). Любая функция вида f (t ) = a sin ωt + b cos ωt линейно выражаетсячерез базисные: f (t ) = a e1 (t ) + b e2 (t ) . Значит, dim Tω ( ) = 2 .1412.4.
КООРДИНАТЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТКоординаты векторов в данном базисеПусть e1 , e2 ,…, en – базис линейного пространства V . Тогда каждый вектор v ∈Vможно разложить по базису (см. свойство 1 базиса в разд.12.3), т.е. представить в видеv = v1e1 + v2e2 + ... + vn en , причем коэффициенты v1 , v2 ,…, vn в разложении определяютсяоднозначно. Эти коэффициенты v1 , v2 ,…, vn называются координатами вектора v в базисеe1 , e2 ,…, en (или относительно базиса e1 , e2 ,…, en ).Координаты v1 , v2 ,…, vn вектора v – это упорядоченный набор чисел, которыйпредставляется в виде матрицы-столбца v = (v1 vn )T и называется координатнымстолбцом вектора v (в данном базисе).Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой –полужирной или светлой соответственно.Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символическойматрицы-строки (e ) = (e1 ,..., e n ) = (e1 e n ) , то разложение вектора v по базису (e ) можнозаписать следующим образом:v = v1e1 + v 2 e 2 + ...
+ v n e n = ( e1 v1 en ) = (e ) v .v nЗдесь умножение символической матрицы-строки (e ) на числовую матрицу-столбец vпроизводится по правилам умножения матриц.15При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбцауказывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, напримерv – координатный столбец вектора v в базисе ( e ) = ( e1 ,..., en ) .(e )Из свойства 1 базиса (см. разд.12.3) следует, что равные векторы имеют равныесоответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координатывекторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы.Линейные операции в координатной формеПусть e1 , e2 ,…, en – базис линейного пространства V , векторы u и v имеют в этомбазисе координаты u = (u1 un )T и v = (v1 v n )T соответственно, т.е.u = u1e1 + u 2 e 2 + ...
+ u n e n ,v = v1e1 + v2e2 + ... + vn en .(12.5)При сложении векторов их координаты складываются:u + v = (u1 + v1 ) e1 + (u 2 + v 2 ) e 2 + ... + (u n + v n ) e n .(12.6)При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:λv = (λv1 ) e1 + (λv 2 ) e 2 + ... + (λv n ) e n .(12.7)Другими словами, сумма векторов u + v имеет координаты u + v , а произведение λvимеет координаты λv .
Разумеется, что все координаты получены в одном базисе( e ) = ( e1 ,..., en ) .16Преобразование координат вектора при замене базисаПусть заданы два базиса пространства V : (e ) = (e1 ,..., en ) и (e ′) = (e1′ , e 2′ ,..., e n′ ) . Базис (e )будем условно называть "старым", а базис (e ′) – "новым". Пусть известны разложениякаждого вектора нового базиса по старому базису:ei′ = s1i e1 + s2i e2 + ... + sni en ,i = 1, 2,..., n .(12.8)Записывая по столбцам координаты векторов (e1′ , e2′ ,..., en′ ) в базисе (e ) , можно составитьматрицу: s11 s1n S = .s n1 s nn (12.9)Квадратная матрица S , составленная из координатных столбцов векторов нового базиса (e ′)в старом базисе (e ) , называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Припомощи матрицы перехода (12.9) формулы (12.8) можно записать в виде:( e1′ e n′ ) = ( e1 e n ) ⋅ S или, короче, ( e ′) = ( e ) ⋅ S .(12.10)Умножение символической матрицы-строки (e ) на матрицу перехода S в (12.10)производится по правилам умножения матриц.Пусть в базисе (e ) вектор v имеет координаты v1 , v2 ,…, vn , а в базисе (e ′) –координаты v1′ , v2′ ,…, vn′ , т.е.или, короче, v = ( e ) v = ( e ′) v ′ .v = v1e1 + v2e2 + ...
+ vn en = v1′e1′ + v2′ e2′ + ... + vn′ e′nКоординатный столбец вектора в старом базисе получается в результатеумножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе:v = S v′(e )(e ′ )или, что то же самое, v1 s11 s1n v1′ = .v s n n1 snn vn′ (12.11) 17Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому1. Пусть имеются три базиса (e ) , ( f ) , ( g ) пространства V и известныSматрицы перехода:от базиса (e ) к базису ( f ) ; S от ( f ) к ( g ) ; S от (e )( e ) →( f )( e ) →( g )( f ) →( g )к ( g ) . ТогдаS( e )→( g )=S⋅S( e )→( f ) ( f )→( g ).(12.12)2.
Если S – матрица перехода от базиса (e ) к базису ( f ) , то матрица Sобратима и обратная матрица S −1 является матрицей перехода от базиса ( f ) кбазису (e ) . Координаты вектора v в базисах (e ) и ( f ) связаны формулами:v = S −1 v .v =S v ,(e )(f)(f)(e )3. Всякая обратимая квадратная матрица n -го порядка может служитьматрицей перехода от одного базиса n -мерного линейного пространства к другомубазису.Пример 12.5. В двумерном арифметическом пространстве 2 даны два базиса: 31 1 − 1перехода от базиса ( f ) кSf1 = , f 2 = и g1 = , g 2 = . Найти матрицу( f ) →( g ) 2 2 116базису ( g ) и координаты вектора v = в каждом из базисов.91001 Рассмотрим стандартный базис e1 = , e2 = пространства 2 (см. п.3 вразд.
12.3). Находим координаты векторов f1 , 3 210f2 ,g1 ,g 2 в стандартном базисе.01 3 2Раскладываем вектор f1 : f1 = = 3 ⋅ + 2 ⋅ = 3 ⋅ e1 + 2 ⋅ e2 , т.е. f1 = .В стандартном базисе (e ) пространства R 2 координатный столбец f1 совпадает с111 2 − 1 . Из1вектором f1 . Для других векторов аналогично получаем f 2 = , g1 = , g 2 = координатных столбцов составим матрицы перехода (12.9) от стандартного базиса (e ) кданным базисам ( f ) и ( g ) : 3 1,= ( e ) → ( f ) 2 1S 1 − 1 .= ( e )→( g )2 1 S18По свойству 1 матриц перехода имеемS( f )→( g )=S⋅S( f )→( e ) ( e )→( g ). По свойству 2:S( f ) →( e )= S −1( e )→( f ).Поэтому 3 1⋅ S = S = S( f )→( g )( e )→( f ) ( e )→( g )21−1−1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 − 1 − 2 = = .−21232145 6В стандартном базисе (e ) пространства 2 координатный столбец v = совпадает с(e ) 9 вектором v .
Найдем координаты этого вектора в базисе ( f ) (по свойству 2 матрицыперехода):−1 3 1 6 1 − 1 6 − 3 ⋅ = ⋅ = .v = Sv = ( f ) (e )→ ( f ) (e ) 2 1 9 − 2 3 9 15 −1В самом деле, справедливо разложение6 3 1v = = −3 + 15 = −3 ⋅ f1 + 15 ⋅ f 2 .9 2 1Найдем координаты вектора v в базисе ( g ) двумя способами:−12 − 3 5 − 1 − 2 − 3 1 5 = = ;v = Sv = ( g ) ( f )→ ( g ) ( f ) 45 15 3 − 4 − 1 15 − 1−1−1 1 − 1 6 1 1 1 6 5 = = .v = Sv = ( g)( e )→( g ) ( e )−212193 9 − 1−1Полученный результат подтверждает разложение:61 − 1v = = 5 + (− 1) = 5 ⋅ g1 + (− 1) ⋅ g 2 .
9 211912.5. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА12.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПОДПРОСТРАНСТВАНепустое подмножество L линейного пространства V называетсялинейнымподпространством пространства V , если:1) u + v ∈ L ∀ u, v ∈ L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);2) λv ∈ L ∀ v ∈ L и любого числа λ (подпространство замкнуто по отношению коперации умножения вектора на число).Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение L V , аслово "линейное" опускать для краткости.Заметим, что условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: λu + µv ∈ Lдля любых u, v ∈ L и любых чисел λ и µ .
Разумеется, что здесь и в определении речь идет опроизвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство V (см.разд.12.1.1).20Свойства линейных подпространств1. В любом линейном пространстве V имеются два линейных подпространства:а) само пространство V , т.е. V V ;б) нулевое подпространство { o } , состоящее из одного нулевого вектора пространстванесобственными, а все остальные –V , т.е. { o } V . Эти подпространства называютсясобственными.2. Любое подпространство L линейного пространства V является егоподмножеством: L V ⇒ L ⊂ V , но не всякое подмножество M ⊂ V является линейнымподпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейнымоперациям.3.
Подпространство L линейного пространства V само является линейнымпространством с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число, чтои в пространстве V , поскольку для них выполняются аксиомы 1–8 (см. разд.12.1). Поэтомуможно говорить о размерности подпространства, его базисе и т.п.4. Размерность любого подпространства L линейного пространства V непревосходит размерности пространства V : dim L ≤ dim V . Если же размерностьподпространства L Vравна размерности конечномерного пространства V( dim L = dim V ), то подпространство совпадает с самим пространством: L = V .5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
