Презентация 9. Собственные значения и векторы (1006525)
Текст из файла
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ2.1. ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕПусть A – квадратная матрица порядка n . Определитель (детерминант)квадратной матрицы A – это число det A , которое ставится в соответствие матрице ивычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.1. Определителем матрицы A = (a11 ) порядка n = 1 называется единственный элементэтой матрицы: det (a11 ) = a11 .2. Определителем матрицы a11 a1n A= a n1 a nn порядка n > 1 называется числоdet A = (− 1)1+1 a11M 11 + (− 1)1+ 2 a12 M 12 + + (− 1)1+ n a1n M 1n ,гдеM1 j– определитель квадратной матрицы порядка(2.1)n −1 ,полученной изAвычеркиванием первой строки и j -го столбца.Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в "прямые скобки":a11 a1ndet A = A = .an1 annИмея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках илистолбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово "матрица".Например, первая строка определителя n -го порядка – это первая строка a11 , a12 ,…, a1nквадратной матрицы n -го порядка.Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной(особой), в противном случае – невырожденной (неособой).1Вычисление определителей второго порядкаПо определению получаем формулу вычисления определителя второго порядка:a11 a12= a11a22 − a12 a21 .a21 a22(2.2)Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главнойдиагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см.
схему нарис. 2.1).a11 a12a21 a22Рис. 2.12Вычисление определителей третьего порядкаПо определению, учитывая (2.2), получаем формулу вычисления определителятретьего порядка:a11 a12a21 a22a31 a32a13aa23 = a11 ⋅ 22a32a33a23a33− a12 ⋅a21 a23a31a33+ a13 ⋅a21 a22=a31 a32= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .(2.3)Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых естьпроизведение трех его элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем трислагаемых берутся со знаком плюс, а три других – со знаком минус.Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложитьтри произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двухтреугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис.
2.2,а), и вычестьтри произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двухтреугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,б).a11 a12a21 a22a31 a32аa13a23a33a11 a12a21 a22a31 a32a13a23a33бРис. 2.2Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правилоСаррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведенияэлементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическуюсумму этих произведений, при этом произведения элементов на прямых, параллельныхглавной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведения элементов на прямых,параллельных побочной диагонали, – со знаком минус (согласно обозначениям на рис.
2.3).a11a21a31a12a22a32a13a23a33Рис. 2.3a11a21a31a12a22a323Пример 2.1. Вычислить определители1 235 46 ,7 −8 −91 2,3 42 2 11 1 0 .0 2 1 По формулам (2.2) и (2.3) находим1 2=3 41 235 46 =7 −8 −91 23 41 235 467 −8 −9= 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 ;152436=7 −8 −9= 1 ⋅ 4 ⋅ (− 9) + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 5 ⋅ (− 8) − 3 ⋅ 4 ⋅ 7 − 2 ⋅ 5 ⋅ (− 9) − 1 ⋅ 6 ⋅ (− 8) == −36 + 84 − 120 − 84 + 90 + 48 = −18 .По правилу Саррюса имеем2 2 11 1 0 =0 2 12 2 1 2 21 1 0 1 1=0 2 1 0 2= 2 ⋅1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 1 ⋅1 ⋅ 2 − 0 ⋅1 ⋅1 − 2 ⋅ 0 ⋅ 2 − 1 ⋅1 ⋅ 2 = 2 .
42.2. ФОРМУЛА РАЗЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ (СТОЛБЦА)Пусть дана квадратная матрица A порядка n ( n > 1 ).Дополнительным минором M ij элемента aij называется определительматрицы порядка n − 1 , полученной из матрицы A вычеркиванием i -й строки и j -гостолбца.Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы A называетсядополнительный минор M ij этого элемента, умноженный на (−1)i+ j : Aij = (− 1)i + j M ij .Определитель матрицы A равен сумме произведений элементовпроизвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:det A =det A =nnk =1k =1nnk =1k =1∑ (− 1)i + k aik M ik = ∑ aik Aik(разложение по i -й строке);∑ (− 1)k + j akj M kj = ∑ akj Akj(разложение по j -му столбцу).Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителемтреугольного вида.
Определитель треугольного вида (определитель верхней илинижней треугольной матрицы, в частности диагональной) равен произведениюэлементов, стоящих на главной диагонали:a11∆n =00a12 a1na22 a2 n0 anna11=a21an100a22 0= a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann . an 2 annОпределитель единичной матрицы равен 1.5Пример 2.2. Найти определитель матрицы20A=0 −11102 Разложим определитель по третьей строке:det A = 0 ⋅ A31 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A33 + 5 ⋅ A34 = 5 ⋅ (− 1)3+ 4030002.50 2 1 02 1 00 1 3 = −5 ⋅ 0 1 3 .−1 2 0−1 2 0Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:2 1 02 1.det A = −5 ⋅ 0 1 3 = −5 ⋅ ( 0 ⋅ A13 + 3 ⋅ A23 + 0 ⋅ A33 ) = −5 ⋅ 3 ⋅ (− 1)2 + 3 ⋅−1 2−1 2 0Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):det A = 15 ⋅2 1= 15 ⋅ (2 ⋅ 2 − (− 1) ⋅1) = 15 ⋅ 5 = 75 . −1 262.3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ2.3.1.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ1. Для любой квадратной матрицы det A = det (AT ) , т.е. при транспонированииопределитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя"равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равнынулю), то определитель равен нулю: det(... o ...) = 0 .3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный(свойство антисимметричности):det(...
a j ... a k ...) = − det(... a k ... a j ...) .4. Если в определителе имеются два одинаковых столбца, то он равен нулю:det(... a j ... a k ...) = 0 при a j = ak .5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:det(... a j ...
a k ...) = 0 при a j = λak .6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на числоопределитель умножается на это число:det(a1 ... λ ⋅ a j ... an ) = λ ⋅ det(a1 ... a j ... an ) .77. Если j -й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцовa j + b j , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j -ми столбцамиявляются a j и b j соответственно, а остальные столбцы одинаковы:det(...
a j + b j ...) = det(... a j ... ) + det(... b j ...) .8. Определитель линеен по любому столбцу:det(...α ⋅ a j + β ⋅ b j ...) = α ⋅ det(... a j ...) + β ⋅ det(... b j ...) .9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавитьсоответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число:det(... a j + λ ⋅ a k ... a k ...) = det(... a j ... a k ...) .10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителяалгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:n∑ aki ⋅ Akj = 0напри i ≠ j .k =1По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10заключаем, что 0, i ≠ j ,aki ⋅ Akj = det A, i = j ,k =1n∑ 0, i ≠ j ,aik ⋅ A jk = det A, i = j .k =1n∑(2.4)8Пусть A – квадратная матрица.
Квадратная матрица A + того же порядка, что и A ,называется присоединенной по отношению к A , если каждый ее элемент aij+ равеналгебраическому дополнению элемента a ji матрицы A : aij+ = A ji .Для нахождения присоединенной матрицы следует:а) заменить каждый элемент матрицы A = (aij ) его алгебраическим дополнениемAij = (− 1)i + j M ij , при этом получим матрицу ( Aij ) ;б) найти присоединенную матрицу A + , транспонируя матрицу ( Aij ) .Из формул (2.4) следует, что AA + = A + ⋅ A = det A ⋅ E , где E – единичная матрица того жепорядка, что и A .91 2 .
Сравнить определитель матрицы A с определителямиПример 2.3. Дана матрица A = 34матрицAT ; 2 1 ;B = 4 33 4 ;C = 1 21 2 ;D = 3λ 4λ 1 + 3λ 2 + 4λ ,F = 4 3где λ – некоторое число. Определитель матрицы A был найден в примере 2.1: det A = −2 . По формуле (2.2)вычисляем определители остальных матриц:( )det AT =1 32 4= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2 = det A ,что соответствует свойству 1;det B =2 1= 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 4 = 2 = − det A ,4 3что соответствует свойству 3, так как матрица B получена из матрицы A перестановкойпервого и второго столбцов;det C =3 4= 3 ⋅ 2 − 4 ⋅1 = 2 = − det A ,1 2что соответствует свойству 3, так как матрица С получена из матрицы A перестановкойпервой и второй строк;det D =1 2= 1 ⋅ 4λ − 2 ⋅ 3λ = −2λ = λ det A ,3λ 4λчто соответствует свойству 6, так как матрица D получена из матрицы A умножениемэлементов второй строки на число λ ;det F =1 + 3λ 2 + 4λ= (1 + 3λ ) ⋅ 4 − (2 + 4λ ) ⋅ 3 = −2 = det A ,34что соответствует свойству 9, так как матрица F получена из матрицы A прибавлением кэлементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на λ .
101 2 3 Пример 2.4. Даны матрицыB = 5 4 6 .7 − 8 − 9+Найти соответствующие присоединенные матрицы A , B + .1 2 ,A = 3 4 Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A :A11 = (− 1)1+1 ⋅ 4 = 4 ,A12 = (− 1)1+ 2 ⋅ 3 = −3 ,A21 = (− 1)2 +1 ⋅ 2 = −2 ,A22 = (− 1)2 + 2 ⋅1 = 1 .Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу ( Aij ) :T 4 − 2 4 − 3 . = A = ( Aij ) = − 3 1 − 2 1 +TНайдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы B :B11 = (− 1)1+14 6= 12 ,−8 −9B12 = (− 1)1+ 26= 87 ,7 −9B13 = (− 1)1+ 37 −8B21 = (− 1)2 +123= − 6,−8 −9B22 = (− 1)2 + 21 3= − 30 ,7 −9B23 = (− 1)2 + 31 2= 22 ,7 −8B31 = (− 1)3+12 3B32 = (− 1)3+ 21 3B33 = (− 1)3+ 31 24 6= 0,55 6=9,545 4= − 68 ,= −6.Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу ( Bij ) :T 12 − 6 0 12 87 − 68 +TB = ( Bij ) = − 6 − 30 22 = 87 − 30 9 .
− 68 22 − 6 0− 6 9112.3.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦПусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогдаdet( A ⋅ B ) = det A ⋅ det B ,т.е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.Пример 2.5. Найти определитель произведения матриц1 2 ,A = 34 1 3 .B = 45 Находим определители данных матриц второго порядка (см. пример 2.1):det A = −2 , det B = −7 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
