Презентация 14. Линии на плоскости (1006530)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5.5. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫОднородная система линейных уравненийa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0,a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = 0,am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = 0 ,илиAx = oвсегда совместна, так как имеет тривиальное решение x1 = x2 = ... = xn = 0 ( x = o ).Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных ( rg A = n ), то тривиальноерешение единственное.Предположим, что r = rg A < n . Тогда однородная система имеет бесконечно много решений.Заметим, что расширенная матрица ( A o ) однородной системы при элементарныхпреобразованиях строк приводится к упрощенному виду ( A′ o ) , т.е. b1′ = b2′ = ... = br′ = 0 в (5.10).Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы: x1 = − a1′ r +1 xr +1 − ... − a1′ n xn , x = − a′ x − ... − a′ x .r r +1 r +1rn n r(5.13)1Свойства решений однородной системы1. Если столбцы ϕ1 , ϕ2 ,..., ϕk – решения однородной системы уравнений, то любая ихлинейная комбинация α1 ϕ1 + α 2 ϕ 2 + ...

+ α k ϕ k также является решением однородной системы.2. Если ранг матрицы однородной системы равен r , то система имеет (n − r )линейно независимых решений.Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы можнонайти (n − r ) частных решений ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− r , придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменныхравна единице, а остальные равны нулю):(= (− a′)0)1) xr +1 = 1 , xr + 2 = 0 ,…, xn = 0 :ϕ1 = − a1′ r +1  − ar′ r +1 1 0  0T;2) xr +1 = 0 , xr + 2 = 1 ,…, xn = 0 :ϕ2 − ar′ r + 2T;T.…1r +2(n − r ) xr +1 = 0 , xr + 2 = 0 ,…, xn = 1 : ϕn − r = − a1′ n  − ar′ n0 1 )0 0  1В результате получается (n − r ) решений: − a1′ r +1  − a1′ n  − a1′ r + 2       − a′  − a′  − a′ r r +1  rn r r +2 ϕ1 =  1  , ϕ 2 =  0  ,…, ϕ n − r =  0  , 0  0  1       0  1  0 которые линейно независимы.2Любая совокупность (n − r ) линейно независимых решений ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− r однороднойсистемы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно.Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящиеиз одного и того же количества (n − r ) линейно независимых решений.Структура общего решения однородной системы.

Если ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− rфундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбецx = C1 ⋅ ϕ1 + C 2 ⋅ ϕ 2 +  + C n − r ⋅ ϕ n − r–(5.14)при любых значениях произвольных постоянных C1 , C 2 ,…, C n − r также является решениемсистемы (5.4), и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такиезначения произвольных постоянных C1 , C 2 ,…, C n − r , при которых это решение xудовлетворяет равенству (5.14).Матрица Φ = (ϕ1 ϕ 2  ϕ n− r ) , столбцы которой образуют фундаментальную системурешенийоднороднойсистемы,называетсяфундаментальной.Используяфундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать ввидеx = Φ⋅c ,где c = (C1  C n − r )T – столбец произвольных постоянных.3Алгоритм решения однородной системы1–5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса (см.

разд. 5.4). При этом нетребуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеетрешение (п.3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общегорешения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).Если ранг r матрицы системы равен числу n неизвестных ( r = rg A = n ), то системаимеет единственное тривиальное решение x = o и процесс решения заканчивается.Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( rg A < n ), то система имеетбесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктахалгоритма.6.

Найти фундаментальную систему ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− r решений однородной системы.Для этого подставить в (5.13) последовательно (n − r ) стандартных наборов значенийсвободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной,равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).4Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однороднойсистемы: x + x + 2 x3 = 0 ,а)  1 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 ;1 1 2 0  .1 2 3 0  а) 1.

Составляем расширенную матрицу системы: ( A o ) = 2–4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A o ) ,приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3,"в"):(A1 1 2 0   1 1 2 0   1 0 1 0 ′ ~  ~ o ) =  = A o .1 2 3 0   0 1 1 0   0 1 1 0 ()Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.5. Переменные x1 , x2 – базисные, а x3 – свободная. Записываем формулу (5.13)общего решения однородной системы x1 = − x3 , x2 = − x3 .6.

Находим фундаментальную систему решений. Так как n = 3 и r = rg A = 2 , надоподобрать n − r = 1 линейно независимое (т.е. ненулевое) решение. Подставляем в формулыобщего решения стандартное значение свободной переменной. Если x3 = 1 , то x1 = − 1 , x2 = −1 ,т.е. фундаментальную систему решений образует столбец − 1 ϕ1 =  − 1 . 17. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14): − 1 x = C1 ⋅  − 1 , 1где С1 – произвольная постоянная.5б) x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 0 ,2 x1 + 3x2 + x4 = 0 ,3x + 4 x + 2 x + 2 x = 0 .234 1б) 1. Составляем расширенную матрицу системы1 1 2 1 0(A o) =  2 3 0 1 0  . 3 4 2 2 02–4.

Используя элементарные преобразования над строками матрицы ( A o ) ,приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера5.3,"г"):5.1 0 62 0( A′ o ) =  0 1 − 4 − 1 0  . Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.0 00 0 0Переменные x1 , x2 – базисные, а x3 , x4 – свободные. Записываемформулуx = − 6x − 2x ,34(5.13) общего решения однородной системы:  1=+4xxx34. 26. Находим фундаментальную систему решений. Так как n = 4 и r = rg A = 2 ,надо подобрать n − r = 2 линейно независимых решения. Подставляем в системустандартные наборы значений свободных переменных:1) если x3 = 1 , x4 = 0 , то x1 = − 6 , x2 = 4 ;2) если x3 = 0 , x4 = 1 , то x1 = −2 , x2 = 1 .В результате получили фундаментальную систему решений − 6  4 ϕ1 =   ,1  0   − 2  1 ϕ2 =   .0  1  7.

Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14): − 6 − 2   4  1 x = C1 ⋅   + C2 ⋅   .10   0  1   6Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборызначений свободных переменных. Например, x3 = 1 , x4 = 2 и x3 = 2 , x4 = 3 . x1 = − 6 x3 − 2 x4 , x2 = 4 x3 + x4 .Тогда получим другую фундаментальную систему решений − 10  6 ,ϕ1 = 1  2  − 18  11 ϕ2 = 2  3 и общее решение системы − 18  − 10  11  6 .+ C2 ⋅ x = C1 ⋅ 1 2  3  2 Несмотря на различия обе формулы задают одно и то же множество решений.

75.6. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫВ разд. 5.4 была приведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений.Укажем другую форму записи, отражающую структуру множества решений.Рассмотрим неоднородную системуAx = bи соответствующую ей однородную системуAx = o .Структура общего решения неоднородной системы. Пусть x н – решение неоднороднойсистемы, а ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− r – фундаментальная система решений соответствующей однороднойсистемы уравнений.

Тогда столбецx = x н + C1 ⋅ ϕ1 + C 2 ⋅ ϕ 2 +  + C n − r ⋅ ϕ n − r(5.15)при любых значениях произвольных постоянных C1 , C2 ,…, C n − r является решением неоднороднойсистемы, и, наоборот, для каждого решения x этой системы найдутся такие значенияпроизвольных постоянных C1 , C 2 ,…, C n − r , при которых это решение x удовлетворяет равенству(5.15).Общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системыи общего решения соответствующей однородной системы:x=xн+ C ⋅ ϕ1 + C 2 ⋅ ϕ 2 +  + C n − r ⋅ ϕ n − r . 1частное решениенеоднородной системыобщее решение однородной системы8Алгоритм решения неоднородной системы1–5. Выполнить первые пять пунктов метода Гаусса решения системы уравнений (см.разд.5.4) и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).6.

Найти частное решение x н неоднородной системы, положив в (5.11) все свободныепеременные равными нулю.7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы,составить фундаментальную систему ϕ1 , ϕ2 ,…, ϕn− r ее решений. Для этого подставить в(5.13) последовательно (n − r ) стандартных наборов значений свободных переменных, вкоторых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).Заметим, что, используя фундаментальную матрицу Φ однородной системы Ax = o ,решение неоднородной системы Ax = b можно представить в видеx = xн + Φ ⋅ c ,где x н – частное решение неоднородной системы;произвольных постоянных.c = (C1  C n − r )T– столбец9Пример 5.5.

Найти структуру (5.15) общего решения неоднородных систем: x + x + 2 x3 = 4 ,а)  1 2 x1 + 2 x2 + 3x3 = 5 ; а) 1–5. Первые пять пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера5.3,"в", где получены формулы общего решения неоднородной системы: x1 = 3 − x3 , x2 = 1 − x3 .Переменные x1 , x2 – базисные; x3 – свободная.6. Полагая x3 = 0 , получаем частное решение неоднородной системы x н = (3 1 0)T(см. решение примера 5.3,"в").7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример5.4,"а"): ϕ1 = (− 1 − 1 1)T .8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы − 1 3  x = x + C1 ⋅ ϕ1 =  1  + C1 ⋅  − 1 .1 0  нИскомая структура множества решений найдена.10 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 1 ,б) 2 x1 + 3x2 + x4 = 0 ,3x + 4 x + 2 x + 2 x = 1 .234 1б) 1–5.

Первые пять пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3,г, гдеполучены формулы общего решения неоднородной системы: x1 = 3 − 6 x3 − 2 x4 , x2 = −2 + 4 x3 + x4 .Переменные x1 , x2 – базисные; x3 , x4 – свободные.6. Полагая x3 = 0 , x4 = 0 , получаем частное решение неоднородной системыx н = (3 − 2 0 0)T .7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см.

пример 5.4):ϕ1 = (− 6 4 1 0 )T ,ϕ2 = (− 2 1 0 1)T .8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы: 3  − 6 − 2   −24   1 x = x н + C1 ⋅ ϕ1 + C 2 ⋅ ϕ 2 =   + C1 ⋅   + C 2 ⋅   .010    1 0  0  Искомая структура множества решений найдена.11ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ1. Решить матричные уравнения: m n1 2 ; ⋅ X = а) −34mn m n  1 2 ; = б) X ⋅ −mn34 2. Решить системы уравнений методом Гаусса: x + 2 x2 + 2 x3 = m ,а)  12 x1 + 4 x2 + 3x3 = n ;3.

Найти фундаментальную систему решений и записать структуру общего решения: x + x + nx3 + mx4 = 0 ,а)  1 2 2 x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 0 ;12.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций