Презентация 11. Векторная алгебра (1006527)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫРассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.Пусть A – квадратная матрица порядка n . Матрица A−1 , удовлетворяющая вместе с заданнойматрицей A равенствамA−1 ⋅ A = A ⋅ A−1 = E ,называется обратной. Матрицу A называют обратимой, если для нее существует обратная, впротивном случае ее называют необратимой. По определению матрицы A и A −1 перестановочны.Из определения следует, что если обратная матрица A−1 существует, то она квадратная того жепорядка, что и A .Квадратная матрица a11  a1n A=    ,a n1  ann определитель которой отличен от нуля, имеетобратную матрицу и притом только одну:A −1где A11A+A =  12A 1nA21  An1 A22  An 2    A2 n  Ann  A111  A12=⋅det A  A 1nA21  An1 A22  An 2 1=⋅ A+ ,  det AA2 n  Ann (4.1)– матрица, транспонированная для матрицы, составленной изалгебраических дополнений элементов матрицы A .Матрица A + называется присоединенной матрицей по отношению к матрице A (см.разд.2.3.1).

Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степеньnматрицы. Для невырожденной матрицы A и любого натурального числа n справедливо A− n = (A−1 ) .14.2. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ( )1. A −1Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:−1= A,2. ( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1 ,( ) = (A )3.

AT−14. det A−1 =−1 T,1,det A5. E −1 = E ,если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1 – 4.Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной: 111 .,,...,aaann  11 22[ diag (a11, a22 ,..., ann )] −1 = diag 24.3. АЛГОРИТМЫ НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫПусть дана квадратная матрица A . Требуется найти обратную матрицу A −1 .Алгоритм нахождения обратной матрицыс помощью присоединенной1.

Вычислить определитель det A данной матрицы. Если det A = 0 , то обратнойматрицы не существует (матрица A вырожденная).2. Составить матрицу ( Aij ) из алгебраических дополнений Aij = (− 1)i + j M ij элементовматрицы A .3. Транспонируя матрицу ( Aij ) , получить присоединенную матрицу A + = ( Aij ) T .4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы наопределитель det A :A −1 =1⋅ A+ .det A3Алгоритм нахождения обратной матрицыс помощью элементарных преобразований1. Составить блочную матрицу ( A E ) , приписав к данной матрице A единичнуюматрицу того же порядка.2.

При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы( A E ) , привести ее левый блок A к простейшему виду Λ (1.3). При этом блочная матрицаприводится к виду (Λ S ) , где S – квадратная матрица, полученная в результатепреобразований из единичной матрицы E .3. Если Λ = E , то блок S равен обратной матрице, т.е. S = A −1 . Если Λ ≠ E , то матрицаA не имеет обратной.Для невырожденной матрицы A второй способ нахождения обратной матрицыиллюстрируется схемой:(AE)Элементарные преобразования строк(EA−1).4ab второго порядка можно указать простоеДля невырожденных квадратных матриц A = c d правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:а) поменять местами элементы на главной диагонали;б) изменить знаки у элементов побочной диагонали;в) поделить полученную матрицу на определитель det A = ad − bc .A −1 =11ad − bc d− c− b.a (4.2)2 . Найти обратную матрицу.Пример 4.1.

Дана матрица A = 1 4  Первый способ. 1. Находим определитель det A =112= 2 ≠ 0 . Поскольку определитель не4равен нулю, то матрица A невырожденная и, следовательно, имеет обратную.2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений: 4( Aij ) = − 2− 1.1  4− 2 .3. Транспонируя матрицу ( Aij ) , получаем присоединенную матрицу A + = ( Aij ) T =  −1 1 4.

Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det A = 2 , находимобратную матрицу: A−1 =1  4⋅2  − 1−1− 2  2=1   − 12Сделаем проверку=A A 2 1− 2− 11 .2 −1  1 2   1 0 = = E.1 1401 2 12ab получаемИспользуя правило (4.2), для матрицы A =  = 1 4   c d A −1 =Заметим, что det A −1 =1  ddet A  − c11.=2 det A− b 1  4= a  2  − 1− 2  2=1   − 12− 11 .2 5Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу(A1 2 1 0  .E ) = 1 4 0 1 2. Элементарными преобразованиями над строками приводим еек простейшему виду (E A −1 ) .

Ко второй строке прибавляем первую строку,умноженную на ( −1 ):(A1 2 1 0   1 2 1 0  ~  .E ) = 14010211− Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на ( −1 ): 1 2 1 0   1 0 2 − 1 ~  .02−110211− Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2: 1 0 2 − 1  1 0 2 − 1 ~ 11 .−0 1 0 2 − 1 1   2 2 E2В правом блоке получили обратную матрицу A−1 2=  1− 2− 11 . 2 61 2 1Пример 4.2. Дана матрица A =  0 1 0  . Найти обратную.0 2 2 Первый способ. 1.

Находим определитель матрицы det A = 2 .2. Находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы:A11 = (− 1)1+1 ⋅1 02 2A21 = (− 1)2 +1 ⋅2 1A31 = (− 1)3+1 ⋅2 1и2 21 0A12 = (− 1)1+ 2 ⋅0 0=0;0 2A13 = (− 1)1+ 3 ⋅= −2 ;A22 = (− 1)2 + 2 ⋅1 1=2;A23 = (− 1)2 + 3 ⋅1 2= −1 ;A32 = (− 1)3+ 2 ⋅1 1=0;0 0A33 = (− 1)3+ 3 ⋅1 2= 2;0 20 1=0;0 20 20 1 2 0 0 составляем из них матрицу Aij =  − 2 2 − 2  . −1 0 1 3.

Транспонируя матрицу Aij , получаем присоединенную= −2 ;=1( )( )+( )A = AijTматрицу 2 − 2 − 10 .= 0 20 − 2 1 4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель det A = 2 ,получим обратную матрицу:1 −1 − 1 21A−1 =A+ =  0 10 .det A1  0 −1 2 1 −1 − 1  1 2 1  1 0 02  Проверим равенство A −1 A = E :  0 1 0  ⋅  0 1 0  =  0 1 0  . 1   0 −1 2   0 2 2  0 0 17Второй способ.

1. Составим блочную матрицу ( A E ) , приписав кматрице A единичную матрицу того же порядка:1 2 1 1 0 0(A E ) =  0 1 0 0 1 0  .0 2 2 0 0 12. Элементарными преобразованиямиприводим ее к виду (E A −1 ) :надстроками1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 − 2 0 010010~010010~ 0 2 2 0 0 1 0 0 2 0 − 2 1 1 0 1 1 − 2 0  1 0 0 1 −1 − 1 2 0 .~ 0 1 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0 11  0 0 1 0 − 1 1 −001012  2 E3В правом блоке получаем обратную матрицу1 −1 − 1 2−1A = 0 10 .1 −012 84.4. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯРассмотрим матричное уравнение вида(4.3)A⋅ X = B ,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу X , удовлетворяющую уравнению (4.3).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то матричное уравнение (4.3) имеетединственное решение X = A−1 ⋅ B .Рассмотрим также матричное уравнение вида(4.4)Y ⋅A= B,где A и B – данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица A – квадратная.Требуется найти матрицу Y , удовлетворяющую уравнению (4.4).Если определитель матрицы A отличен от нуля, то уравнение (4.4) имеетединственное решение Y = B ⋅ A−1 .Пример 4.3.

Даны матрицы1 2  ,A = 1 4 1 3 5 ,B =  2 4 61 2C = 3 4 .5 6Решить уравнения: а) A ⋅ X = B ; б) Y ⋅ A = B ; в) Y ⋅ A = C . 21− 2 Обратная матрица A−1 = − 11 2 была найдена в примере 4.1.а) Решение уравнения A ⋅ X = B находим, умножая обе его части слева на A −1 :− 1  1 3 5   0 2 4   =  1 1 1  .1 ⋅2   2 4 6  222так как матрицы A и B имеют разное 2X = A−1 ⋅ B =  1− 2б) Уравнение не имеет решений,количествостолбцов ( 2 ≠ 3 ).в) Решение уравнения YA = C находим, умножая обе его части справа на A −1 :Y = CA−11 2  2=  3 4  ⋅  15 6  − 21 0 − 1 1  =  4 −1 . 2  7 − 29Пример 4.7.

Решить уравнение A ⋅ X ⋅ B = C , где1 2  ,A = 141 2 1B = 0 1 0 ,0 2 2 Обратные матрицы A−1 2=  1− 21 3 5 .C = 2461 −1 − 1 2− 1−1= 0 10 1  и B2  0 − 1 1 2 были найдены в примерах 4.1 и 4.2 соответственно. Решениеуравнения находим по формуле−1X = A ⋅C ⋅ B−1 2=  1− 2 1 − 1 − 12 − 1  1 3 5  0 =1 ⋅ 2 4 6  ⋅  0 1 0 −1 1 2  2  1 − 1 − 12   0 − 2 2 0 2 4 .=  1 1 1  ⋅0 10  =  110−2 2 2 2  0 −1 1   22 10.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций