Презентация 16. Линейные пространства (1006532)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫКвадратичной формой переменных x1 ,…, xn называется выражение видаnnq( x ) = ∑∑ aij xi x j ,(7.1)i =1 j =1вкоторомкоэффициентыaij ,невсеравныенулю,удовлетворяютусловиямсимметричности aij = a ji , i = 1,..., n , j = 1,..., n . Это условие не ограничивает общности, таккак сумму двух подобных членов aij xi x j + a ji x j xi с неравными коэффициентами aij ≠ a ji (приi≠ j)всегда можно заменить суммой aij′ xi x j + a′ji x j xi с равными коэффициентами, положивaij′ = a ′ji =aij + a ji2.Будем рассматривать вещественные (действительные) квадратичные формы,коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимаютдействительные значения.Приводя подобные члены, квадратичную форму (7.1) можно представить в видеq( x ) = a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + ...

+ 2a1n x1 x n + a 22 x 22 + 2a 23 x 2 x3 + ... + a nn x n2 .(7.2)Это вид квадратичной формы с приведенными подобными членами.Симметрическая матрица A = ( aij ) , составленная из коэффициентов квадратичнойформы (7.1), называется матрицей квадратичной формы. Определитель этой матрицыназывается дискриминантом, а ее ранг – рангом квадратичной формы.

Квадратичнаяформа называется вырожденной, если ее матрица вырожденная ( rg A < n ), в противномслучае, когда матрица невырожденная ( rg A = n ), квадратичная форма называетсяневырожденной.Составляя из переменных матрицу-столбец x = ( x1  xn )T , квадратичную формуможно записать в матричном виде:q( x) = x T ⋅ A ⋅ x .(7.3)1Важным примером квадратичной формы служит второй дифференциал функцииf (x ) векторного аргумента x = ( x1  x n ) T :2∂ 2 f ( x)T d f ( x)⋅ dx ,d f ( x ) = ∑∑dxi dx j = dx ⋅ T∂∂xxdx dxi =1 j =1ijnn2(7.4)где дифференциалы dx1 ,…, dxn являются переменными квадратичной формы;матрица частных производных второго порядка (матрица Гессе) ∂ 2 f ( x)∂ 2 f ( x) 2∂∂xx∂x11 n d 2 f ( x )  ∂ 2 f ( x )  == ,Tdx dx  ∂xi ∂x j   ∂ 2 f ( x )∂ 2 f ( x)  ∂x n ∂x1∂x n2 (7.5)вычисленная при некотором фиксированном значении аргумента, являетсяматрицей квадратичной формы, а дифференциал векторного аргументаdx = ( dx1  dx n ) T – столбцом переменных квадратичной формы.2Пример.

Для функции f ( x ) = 2 x12 + x1 x 2 + x 22 записать второй дифференциал d 2 f вматричной форме (7.4). Задана функция f ( x ) = f ( x1 , x 2 ) двух переменных x1 , x2 . Составляем матрицупроизводных второго порядка, т.е. матрицу Гессе. Сначала находим частные производныепервого порядка:∂ f ( x)= 4 x1 + x 2 ;∂ x1а затем – второго порядка:∂ 2 f ( x)∂ x12= 4;∂ f ( x)= x1 + 2 x 2 ,∂ x2∂ 2 f ( x) ∂ 2 f ( x)==1;∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 2 ∂ x1Тогда по формуле (7.5) составляем матрицу ГессеВторой дифференциалдифференциалов dx1 , dx2 : ∂ 2 f ( x)   4 1 =. ∂ x ∂ x   1 2 j  iфункции f ( x ) = f ( x1 , x 2 ) являетсяd f ( x) =222∑∑i =1 j =1= (dx1∂ 2 f ( x)∂ x 22= 2.квадратичной формой (7.4)∂ 2 f ( x)dxi dx j = 4dx12 + 2dx1dx 2 + 2dx 22 =∂ xi ∂ x j 4 1   dx1  = dx T ⋅ dx 2 )⋅  1 2   dx 2  4 1 ⋅ dx .

⋅  1 237.2. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМВещественная квадратичная форманазывается положительноq( x ) = x T ⋅ A ⋅ x(отрицательно) определенной, если q( x ) > 0 ( q( x ) < 0 ) для любых x ≠ o .Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называютсяопределенными (знакоопределенными).Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательныезначения, то она называется неопределенной (знакопеременной). Определенность инеопределенность квадратичных форм обозначаются неравенствами q( x ) > 0 , q( x ) < 0 , q(x ) <> 0соответственно.Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ A ⋅ x былаположительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры еематрицы были положительны:∆1 = a11 > 0 , ∆ 2 =a11a21a12> 0 ,…, ∆ n = det A > 0 .a22Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно,чтобы знаки угловых миноров ее матрицы чередовались, начиная с отрицательного:∆1 = a11 < 0 , ∆ 2 =a11a21a12> 0 ,…, (− 1)n ∆ n = (− 1)n det A > 0 .a22Для неопределенности (знакопеременности) квадратичной формы достаточно, чтобыхотя бы один главный минор четного порядка был отрицателен, либо два главных миноранечетного порядка имели бы разные знаки (достаточный признак неопределенностиквадратичной формы).4Критерии определенности или неопределенностиквадратичной формы по собственным значениям ее матрицыПусть λ1 , λ 2 ,…, λ n – собственные значения матрицы Aквадратичной формы q( x ) = x T ⋅ A ⋅ x .Собственные значения действительной симметрическойматрицы вещественны.1.

Для положительной определенности квадратичнойформы q( x ) = x T ⋅ A ⋅ x необходимо и достаточно, чтобы всесобственные значения ее матрицы были положительны:λ1 > 0 , λ 2 > 0 ,…, λ n > 0 .2. Для отрицательной определенности квадратичнойформы q( x ) = x T ⋅ A ⋅ x необходимо и достаточно, чтобы всесобственные значения ее матрицы были отрицательны:λ1 < 0 , λ 2 < 0 ,…, λ n < 0 .3. Для того чтобы квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ A ⋅ xбыла неопределенной (знакопеременной), необходимо идостаточно, чтобы среди собственных значений ее матрицыбыли как положительные, так и отрицательные числа, т.е.λ i ⋅ λ j < 0 хотя бы для одной пары собственных значений ( i ≠ j ,1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n ).5Пример.

Выяснить знакоопределенность квадратичных форм, заданных матрицами1 1  ;A = 1 2 − 2 2  ;B =  2 − 51  −1 1С =  1 −1 1  . 1 1 − 2 Квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ A ⋅ x = x12 + 2 x1 x 2 + 2 x 22 положительно определенная, так как всеугловые миноры ее матрицы A положительные: ∆1 = 1 > 0 , ∆ 2 = 1 > 0 (см.

критерий Сильвестра).Квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ B ⋅ x = −2 x12 + 4 x1 x 2 − 5x 22 отрицательно определенная, так как знакиугловых миноров ее матрицы B чередуются, начиная с отрицательного: ∆1 = −2 < 0 , ∆ 2 = 6 > 0 (см. критерийСильвестра). Подтвердим этот вывод исследованием знаков собственных значений матрицы B :det (B − λE ) =−2−λ2=02−5−λ⇔λ2 + 7λ + 6 = 0 .Следовательно, λ1 = − 6 , λ 2 = −1 . Поскольку оба собственных значения отрицательны, то и квадратичнаяформа отрицательно определенная.

Таким образом, квадратичная форма знакоопределенная.Квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ С ⋅ x = − x12 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − x22 + 2 x2 x3 − 2 x32 не является положительно илиотрицательно определенной, так как ее угловые миноры не удовлетворяют критерию Сильвестра:∆1 = −1 < 0 , ∆ 2 = 0 , ∆ 3 = 4 > 0 (не выполняются условия (7.12) и (7.13)). Вычисляем главные миноры этойматрицы:M 11 = ∆1 = −1 , M 22 = −1 , M 33 = −2 ;12M 12=−1 1−1 1−1 11323== 1 , M 23==1 ,= 0 , M 131 −11 −21 −2123M 123= ∆ 3 = det C = 4 .123Среди миноров нечетного порядка есть миноры разных знаков, например M 22 = −1 < 0 , M 123=4>0.Значит, квадратичная форма является неопределенной (см.

признак неопределенности). Подтвердим этотвывод исследованием знаков собственных значений матрицы C :det (C − λE ) =−1− λ111−1− λ1=011−2−λ⇔λ3 + 4λ2 + 2λ − 4 = 0 .Следовательно, λ1 = − 2 , λ 2 = −1 − 3 , λ 3 = −1 + 3 . Поскольку среди собственных значений есть какположительные, так и отрицательные ( λ1 ⋅ λ 3 = −2 ⋅ ( −1 + 3 ) < 0 ), то квадратичная форма q( x ) = x T ⋅ C ⋅ xявляется неопределенной (знакопеременной). 610.1.

НОРМЫ МАТРИЦВ численном анализе используются два класса численных методов:1. Прямые методы, позволяющие найти решение за определенное число операций.2. Итерационные методы, основанные на использовании повторяющегося(циклического) процесса и позволяющие получить решение в результате последовательныхприближений. Операции, входящие в повторяющийся процесс, составляют итерацию.Правило, по которому матрице (в частности, матрице-столбцу) ставится в соответствиенекоторое неотрицательное число, имеющее смысл меры, определяет понятие норма. x1  Нормы матрицы-столбца x =    :x  n1. x1= max xi – максимум среди модулей элементов столбца;in2.

x3. x23= ∑ xi – сумма модулей элементов столбца;i =1n∑ xi2 – квадратный корень из суммы квадратов элементов (Евклидова норма).=i =1Пример 10.1. Вычислить нормы столбца x = (1 − 2 3 − 4)T .x 1 = max xi = max { 1 , − 2 , 3 , − 4 } = 4 ;i4xx23= ∑ xi = 1 + − 2 + 3 + − 4 = 10 ;i =1=4∑ xi2 =12 + (−2) 2 + 32 + (− 4) 2 = 30 .i =17Пусть A – произвольная матрица размеров (n × n) .Нормы матрицы A :n1) A 1 = max ∑ aij – максимум суммы модулей элементов в строке;ij =1n2) A2= max ∑ aijj– максимум суммы модулей элементов в столбце;i =13) A 3 = λ max ( AT A) – квадратный корень из максимального собственного значенияλ max ( AT A)4) A4матрицы AT A ;=nn∑∑ aij2– квадратный корень из суммы квадратов элементов.i =1 j =1Пример 10.2.

Вычислить нормы матрица) 1 −2 3 A= 45 − 6− 7 89 ;б)1 0 0B = 0 1 0 .0 0 1 а) A 1 = max { 1 + − 2 + 3 ; 4 + 5 + − 6 ; − 7 + 8 + 9 } = max{6,15, 24} = 24 ;AA24= max { 1 + 4 + − 7 ; − 2 + 5 + 8 ; 3 + − 6 + 9 } == 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285max{12,15,18} = 18 ;;б) B 1 = B 2 = 1 , B 4 = 1 + 1 + 1 = 3 .8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций