Презентация 8. Структура решения СЛАУ (1006524), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

+ α k v k = o ,(12.2)т.е. линейная комбинация является нулевым вектором.Система из k векторов v1 , v 2 ,…, v k называется линейно независимой, если равенство(12.2) возможно только при α1 = α 2 = ... = α k = 0 , т.е. когда линейная комбинация в левой части(12.2) тривиальная. Один вектор v1 тоже образует систему: при v1 = o – линейно зависимую, апри v1 ≠ o – линейно независимую.

Рангом системы векторов v1 , v 2 ,…, v k называетсямаксимальное число линейно независимых векторов этой системы и обозначается rg(v1 , v 2 ,..., v7k ) .Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима.2. Если в системе векторов имеются два равных вектора, то она линейно зависима.3.

Если в системе векторов имеются два пропорциональных (коллинеарных) вектора( vi = λv j ), то она линейно зависима.4. Система из k > 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя быодин из векторов есть линейная комбинация остальных.5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейнонезависимую подсистему.6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейнозависима.7. Если система векторов v1 , v 2 ,…, v k – линейно независима, а после присоединения кней вектора v оказывается линейно зависимой, то вектор v можно разложить повекторам v1 , v 2 ,…, v k и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения(12.1) находятся однозначно.8.

Пусть каждый вектор системы u1 , u2 ,…, ul может быть разложен по векторамkсистемы v1 , v 2 ,…, v k , т.е. ui = ∑ a ji v j , i = 1,..., l (говорят, что система векторов u1 , u2 ,…, ulj =1линейно выражается через систему векторов v1 , v 2 ,…, v k ). Тогда если l > k , то системавекторов u1 , u2 ,…, ul – линейно зависима.8Пусть дана система векторов v1 , v 2 ,…, v k вещественного линейного пространства V(т.е. над полем  ). Множество линейных комбинаций векторов v1 , v 2 ,…, v k называется ихлинейной оболочкой и обозначаетсяLin(v1 , v2 ,..., vk ) = { v : v = α1v1 + α 2 v2 + ...

+ α k vk ; α i ∈ , i = 1,..., k } .Векторы v1 , v 2 ,…, v k называются образующими линейной оболочки Lin(v1 , v2 ,..., vk ) .В некоторых учебниках для линейной оболочки векторов используется обозначениеSpan (v1 ,..., v k ) .Пример 12.2. В пространстве V2 радиус-векторов на плоскости (см п.2 примеровлинейных пространств) даны два неколлинеарных вектора a = OA и b = OB . Найти Lin(a, b ) . Любой радиус-вектор c = OC плоскости можно разложить по двум неколлинеарнымвекторам этой плоскости, т.е.

представить в виде линейной комбинации c = α ⋅ a + β ⋅ b , где α ∈ и β ∈  . Следовательно, множество всевозможных линейных комбинаций векторов a и bсовпадает со всем пространством V2 радиус-векторов на плоскости, т.е. Lin(a , b ) = V2 . Пример 12.3. Доказать, что в пространстве P2 ( ) многочленов не выше второй степени(см.

п.6 примеров линейных пространств) многочлены p0 ( x ) = 1 , p1 ( x ) = x , p2 ( x ) = x 2 линейнонезависимы. Разложить многочлен p( x ) = ( x + 1) 2 по многочленам p0 ( x ) = 1 , p1 ( x ) = x , p2 ( x ) = x 2 . Составим линейную комбинацию заданных многочленов и приравняем ее нулю(нулевому элементу – многочлену, тождественно равному нулю):λ1 p0 ( x ) + λ 2 p1 ( x ) + λ 3 p 2 ( x ) = λ1 ⋅ 1 + λ 2 x + λ 3 x 2 = 0 .Тождественное равенство нулю многочлена возможно только в случае равенства нулю всехего коэффициентов, т.е. λ1 = λ 2 = λ 3 = 0 .

Следовательно, рассматриваемые многочлены линейнонезависимы. Запишем заданный многочлен p(x ) в виде линейной комбинации многочленов9p0 ( x ) , p1 ( x ) , p 2 ( x ) : p( x ) = ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 = 1 ⋅ p0 ( x ) + 2 ⋅ p1 ( x ) + 1 ⋅ p2 ( x ) .12.3. РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВАОпределения размерности и базисаЛинейное пространство V называется n -мерным, если в нем существует система изn линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторовлинейно зависима.Число n называется размерностью (числом измерений) линейного пространства V иобозначается dimV .

Другими словами, размерность пространства – это максимальное числолинейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, топространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа n впространстве V найдется система, состоящая из n линейно независимых векторов, то такоепространство называют бесконечномерным (записывают: dim V = ∞ ). Далее, если неоговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.Базисом n -мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупностьn линейно независимых векторов (базисных векторов).

Базис линейного пространстваопределяется неоднозначно. Например, если e1 , e2 ,…, en – базис пространства V , то системавекторов λe1 , λe2 ,…, λen при любом λ ≠ 0 также является базисом V .Количество базисных векторов в разных базисах одного и того же конечномерногопространства, разумеется, одно и то же, так как это количество равно размерностипространства.В некоторых пространствах, часто встречающихся в приложениях, один извозможных базисов, наиболее удобный с практической точки зрения, называютстандартным.10Свойства базиса1. Если e1 , e2 ,…, en – базис n -мерного линейного пространства V , то любой векторv ∈V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:v = v1e1 + v2e2 + ...

+ vn en(12.3)и притом единственным образом, т.е. коэффициенты v1 , v2 ,…, vn определяются однозначно.Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притомединственным образом.2. Если e1 , e2 ,…, en – базис пространства V , то V = Lin(e1 , e 2 ,..., e n ) , т.е. линейноепространство является линейной оболочкой базисных векторов.3. Если e1 , e2 ,…, en – линейно независимая система векторов линейного пространстваV и любой вектор v ∈V может быть представлен в виде линейной комбинацииv = v1e1 + v2e2 + ...

+ vn en , то пространство V имеет размерность n , а система e1 , e2 ,…, enявляется его базисом.4. Всякую линейно независимую систему k векторов n -мерного линейногопространства ( 1 ≤ k < n ) можно дополнить до базиса этого пространства.11Примеры базисов линейных пространств1. Нулевое линейное пространство { o } не содержит линейно независимых векторов.Поэтому размерность этого пространства полагают равной нулю: dim{ o } = 0 .

Этопространство не имеет базиса.2. Пространства V1 , V2 , V3 имеют размерности 1, 2, 3 соответственно. Действительно,любой ненулевой вектор пространства V1 образует линейно независимую систему (см.определение), а любые два ненулевых вектора пространства V1 коллинеарны, т.е. линейнозависимы (см. пример 12.1). Следовательно, dim V1 = 1 , а базисом пространства V1 являетсялюбой ненулевой вектор. Аналогично доказывается, что dim V2 = 2 и dim V3 = 3 . Базисомпространства V2 служат любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенномпорядке (один из них считается первым базисным вектором, другой – вторым).

Базисомпространства V3 являются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенномпорядке. Стандартным базисом в V1 является единичный вектор i на прямой. Стандартнымбазисом в V2 считается базис i , j , состоящий из двух взаимно перпендикулярныхединичных векторов плоскости. Стандартным базисом в пространстве V3 считается базис i ,j , k , составленный из трех единичных попарно перпендикулярных векторов, образующихправую тройку.3. В пространстве  n нетрудно найти n линейно независимых столбцов.

Например,столбцы единичной матрицы 01 0    01e1 =   , e2 =   ,…, en =  0   1 0 0Следовательно, dim  n = n . Пространство  nлинейно независимы.называется n -мернымвещественным арифметическим пространством. Указанный набор векторов считаетсястандартным базисом пространства  n . Аналогично доказывается, что dim  n = n , поэтомупространство  n называют n -мерным комплексным арифметическим пространством.124. Напомним, что любое решение однородной системы Ax = o линейных уравнений сn неизвестными можно представить в виде x = C1ϕ1 + +C 2 ϕ 2 + ... + C n − r ϕ n − r , где r = rg A , а ϕ1 ,ϕ 2 ,…, ϕ n− r – фундаментальная система решений (см.

разд. 5.5). Следовательно, {Ax = o} == Lin(ϕ1 , ϕ 2 ,..., ϕ n− r ) , т.е. базисом пространства {Ax = o} решений однородной системы служитее фундаментальная система решений, размерность пространства dim { Ax = o } = n − r .5. В пространстве  2×3 матриц размеров 2 × 3 можно выбрать 6 матриц:1e1 = 00e4 = 10 00 , e2 = 0 000 00 , e5 = 0 001 00 , e3 = 0 000 00 , e6 = 1 000 1,0 0 0 0,0 1 которые линейно независимы. Действительно, их линейная комбинация α α2α1 ⋅ e1 + α 2 ⋅ e2 + α 3 ⋅ e3 + α 4 ⋅ e4 + α 5 ⋅ e5 + α 6 ⋅ e6 =  1 α 4 α5только в тривиальном случае ( α1 = α 2 = ... = α 6 = 0 ).α3 α 6 (12.4)равна нулевой матрицеПрочитав равенство (12.4) справа налево, заключаем, что любая матрица из  2×3линейным образом выражается через выбранные 6 матриц, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций