Презентация 15. Поверхности в пространстве (1006531), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Базисную переменную x1 выражаем через свободныепеременные: x1 = − x2 − x3 . Задавая стандартные наборы свободных переменных x2 = 1 , x3 = 0 иx2 = 0 , x3 = 1 , получаем два решения: − 1 ϕ1 =  1  ,0  − 1 ϕ2 =  0  .1 4 2 . Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значениюλ 2 = 0 : s = C1 ⋅ ϕ1 + C 2 ⋅ ϕ 2 , где C1 , С 2 – произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. Вчастности, при C1 = 0 , C 2 = −1 получаем s1 = (1 0 − 1)T ; при C1 = −1 , C2 = 0 имеем s2 = (1 − 1 0)T .Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор s3 = (1 1 1)T , соответствующийсобственному значению λ1 = 3 (см. п.

41 при C1 = 1 ), находим три линейно независимых собственныхвектора матрицы B :1 s1 =  0  , − 1 1 s2 =  − 1 ,0  1 s3 = 1 . 1 8 0 2С = 20−Матрица С : 1. Составляем характеристический многочлен матрицы:∆ С (λ ) = C − λE =−λ 2= (− λ )(− λ ) + 4 = λ2 + 4 .−2 −λ2. Решаем характеристическое уравнение:λ2 + 4 = 031 .⇒Для простого корня(С − λ1E )⋅ x = o :λ1 = 2i , λ 2 = −2i (простой спектр матрицы).λ1 = 2iсоставляем однородную систему уравнений − 2i 2   x1   0  ⋅   =   .−2−2i  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду:0 1 i 0i − 2i 2 0   1 . ~  ~ −−−−220000220ii  Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.Выражаем базисную переменную x1 через свободную: x1 = − i x2 . Полагая x2 = 1 ,получаем решение− iϕ1 =   .141 .

Записываемλ1 = 2i : s1 = C1 ⋅ ϕ1 , где С1собственные векторы, соответствующие собственному значению– любое отличное от нуля комплексное число.932 .Для простого корня(С − λ 2 E )⋅ x = o :λ 2 = −2iсоставляем однородную систему уравнений 2i 2   x1   0  ⋅   =   .−22i  x2   0 Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы купрощенному виду: 2i 2 − 2 2i0  1 − i~0   − 2 2i0 1 − i~0   0 00.0 Ранг матрицы системы равен 1 ( r = 1 ), число неизвестных n = 2 , следовательно,фундаментальная система решений состоит из одного ( n − r = 1 ) решения.Выражаем базисную переменную x1 через свободную: x1 = i x2 .

Полагая x2 = 1 ,получаем решениеi ϕ2 =   .14 2 . Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значениюλ 2 = −2i : s 2 = C 2 ⋅ ϕ 2 , где С2 – любое отличное от нуля комплексное число.10ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ1. Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц: m m ;а) n nn n nб)  m m m  .1 1 111.

Характеристики

Список файлов лекций