Презентация 5. Обратная матрица (1006521), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В цилиндрической системе координат O r ϕ z :а) построить координатные поверхности r = R , ϕ = 0 , ϕ = ϕ0 , z = 0 , z = z0 ;б) найти цилиндрические координаты точки A , если известны ее прямоугольные координатыA(4, − 3, 2) ;в) определить прямоугольные координаты точки B , если известны ее цилиндрические координаты:rB = 2 , ϕ B = 2π , z B = 1 .3 а) Координатной поверхностью r = R , т.е.

геометрическимместом точек M ( R, ϕ, z ) при фиксированном значении полярного радиусаr = R , является прямой круговой цилиндр, ось которого совпадает с осьюаппликат (рис.9.13). Этим объясняется название цилиндрической системыкоординат. Координатной поверхностью ϕ = ϕ0 , т.е.

геометрическимместом точек M (r , ϕ0 , z ) при фиксированном значении полярного углаϕ = ϕ0 , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.9.13изображеныполуплоскостиϕ=0иϕ = ϕ 0 = 2π ).3ϕ = ϕ0 =2π3zRz = z02r=Rϕ0Oϕ=0z=0xКоординатнойповерхностью z = z0 , т.е. геометрическим местом точек M (r , ϕ0 , z ) приРис.9.13фиксированном значении аппликаты z = z0 , является плоскость,перпендикулярная оси аппликат (на рис.9.13 изображены плоскости z = 0 и z = 2 ).б) Находим цилиндрические координаты точки A(4, − 3, 2) . Аппликата z A = 2 , полярный радиус иполярный угол определяем по формулам (9.14) с учетом формул на рис.9.8:rA = x A2 + y A2 = 4 2 + (− 3)2 = 5 ; ϕ A = arctgyAxA= arctg−33= −arctg ; z A = 2 ,44так как −π < ϕ ≤ π и ортогональная проекция точки A на координатную плоскость Oxy (основную плоскость)лежит в IV четверти.в) Находим прямоугольные координаты точки B .

По формулам (9.13) вычисляем (см. пример 9.6):( )xB = rB ⋅ cos ϕ B = 2 ⋅ − 12 = −1 ;y B = rB ⋅ sin ϕ B = 2 ⋅32= 3 ; zB = 1 . 249.4. СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТДля введения сферической системы координат в пространстве:- выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная системакоординат с полюсом O (начало сферической системы координат) и полярной осью Ox .- через точку O перпендикулярно основной плоскости проводим ось Oz (ось аппликат) ивыбираем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороныположительного направления оси Oz происходило против часовой стрелки (рис.9.14,а).Сферические координаты точки M – это упорядоченная тройка чисел ρ , ϕ , θ –радиус ( ρ ≥ 0 ), долгота ( −π < ϕ ≤ π ) и широта ( 0 ≤ θ ≤ π ). У точек, принадлежащих осиаппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом ρ и широтой θ = 0 дляположительной части оси Oz и θ = π для отрицательной ее части.

Начало координат задаетсянулевым значением радиуса ρ . Иногда вместо угла θ широтой называют угол ψ = π − θ ,2принимающий значения − π ≤ ψ ≤ π .22M (ρ, ϕ, θ)ρθψM0MzρkϕrO iаzθzkϕM0xxРис.9.14rOбyjyxi25Со сферической системой координат O ρ ϕ θ можно связать прямоугольную системукоординат O i j k (рис.9.14,б), у которой начало и базисные векторы i , k совпадают сначалом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси Ox иоси аппликат Oz соответственно, а базисный вектор j выбирается так, чтобы тройка i , j , kбыла правой (при этом базис оказывается стандартным).Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то,приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую системукоординат (связанную с данной прямоугольной).Формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x , y , z точки M иее сферические координаты ρ , ϕ , θ , следуют из рис.9.14,б: x = ρ ⋅ cos ϕ ⋅ sin θ , y = ρ ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ , z = ρ ⋅ cos θ .(9.15)Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическимкоординатам.26Обратный переход выполняется по формуламρ = x2 + y2 + z2 ,xcos ϕ =,22x +yysin ϕ =,22x +yz θ = arccos z = arccos.ρ222x +y +z(9.16)Формулы (9.16) определяют долготу ϕ с точностью до слагаемых 2πn , где n ∈ Z .

Приx≠0yxиз них следует, что tg ϕ = . Главное значение долготы ϕ ( −π < ϕ ≤ π ) находится поформулам, приведенным на рис.9.8.27Пример 9.8. В сферической системе координат O ρ ϕ θ :а) построить координатные поверхности ρ = R , ϕ = ϕ0 ,θ = θ 0 ( 0 < θ 0 < π );б) найти сферические координаты ρ , ϕ , θ точки A , еслиизвестны ее прямоугольные координаты A(4, − 3, 12) ;в) найти прямоугольные координаты x , y , z точки B ,zθ = θ0ρ=RОесли известны ее сферические координаты: ρ = 4 ; ϕ = 2π , θ = 3π .3ρ=R,4π2xRт.е.

θ = а) Координатной поверхностьюϕ=0геометрическим местом точек M (R, ϕ, θ) при фиксированномРис.9.15значении радиуса ρ = R , является сфера с центром в началекоординат (рис.9.15). Этим объясняется название сферической системы координат.Координатной поверхностью ϕ = ϕ0 , т.е. геометрическим местом точек M (ρ, ϕ0 , θ) прификсированном значении долготы ϕ = ϕ0 , является полуплоскость, ограниченная осьюаппликат (на рис.9.15 изображена полуплоскость ϕ = 0 ).

Координатной поверхностью θ = θ0 ,т.е. геометрическим местом точек M (ρ, ϕ, θ0 ) при фиксированном значении широты θ = θ0 ≠ π2 ,является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина – с началом координат.При θ = π2 получаем основную плоскость. На рис.9.15 изображены конус θ = θ0 ≠ π2 и основнаяплоскость θ = π2 .б) Находим сферические координаты точки A(4, − 3, 12) . По формулам (9.16), учитываяформулы на рис.9.8 (см. пример 9.6), получаем:ρ = 4 2 + (− 3)2 + 12 2 = 13 ; ϕ = − arctgв) По формулам (9.15) получаем( )x = ρ ⋅ cos ϕ ⋅ sin θ = 4 ⋅ − 12 ⋅ 22123; θ = arccos .134 = − 2 ; y = ρ ⋅ sin ϕ ⋅ sin θ = 4 ⋅ 3  2⋅ 2   2 = 6 ; z = ρ ⋅ cos θ = 4 ⋅  −22 = − 2 2 .

28.

Характеристики

Список файлов лекций