Презентация 7. Метод Гаусса (1006523), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Выяснить взаимное расположение каждой(пересечение, параллельность, совпадение, перпендикулярность):а) 2 ⋅ x − y − 4 ⋅ z + 3 = 0 , − 4 ⋅ x + 2 ⋅ y + 8 ⋅ z − 6 = 0 ;б) 2 ⋅ x + 3 ⋅ y + z − 6 = 0 , 4 ⋅ x + 6 ⋅ y + 2 ⋅ z + 3 = 0 ;в) 3 ⋅ x − 2 ⋅ y + z + 1 = 0 , 4 ⋅ x + 5 ⋅ y − 2 ⋅ z − 1 = 0 ;г) 3 ⋅ x − 2 ⋅ y + z + 1 = 0 , 4 ⋅ x + 5 ⋅ y + 2 ⋅ z − 1 = 0 .парыплоскостей а) Так как A1 = 2 , B1 = −1 , C1 = − 4 , D1 = 3 , A2 = − 4 , B2 = 2 , C2 = 8 , D2 = − 6 иA1A2=BD11 C1231−41==− ,=− ,=− , 1 =− , 1 =282 D2 − 62 C22 B2−4топлоскости совпадают.A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=−1.2Следовательно,б) Поскольку A1 = 2 , B1 = 3 , C1 = 1 , D1 = − 6 , A2 = 4 , B2 = 6 , C2 = 2 , D2 = 3 иC1C2=A1A2=12,B1B2=12,ABCD1 D1,= −2 , то 1 = 1 = 1 ≠ 1 .

Следовательно, плоскости параллельны.A2 B2 C2 D22 D2в) Так какA1 = 3 ,B1 = −2 ,C1 = 1 ,D1 = 1 ,A2 = 4 ,B2 = 5 ,C2 = −2 , A B1 C1 3 − 2 1  = rg  = 2 . Следовательно, плоскости пересекаются.rg  1ABC−45222 2A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + С1 ⋅ С2 = 3 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 5 + +1 ⋅ (−2) = 0 , то плоскости перпендикулярны.г) ПосколькуA1 = 3 ,B1 = −2 ,C1 = 1 ,D1 = 1 ,A2 = 4 ,B2 = 5 ,C2 = 2 ,D2 = −1 ,тоПосколькуD2 = −1 ,то A B1 C1 3 − 2 1 = rg  = 2 .Следовательно, плоскости пересекаются. Так какrg  1 4 5 2 A2 B2 C2 A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + С1 ⋅ С2 = 3 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 5 + 1 ⋅ 2 = 4 ≠ 0 , то плоскости не являются перпендикулярными. 911.1.3.

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОСТЕЙПриведем формулы для вычисления длин отрезковn2π 2 (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих ихплоскостей.ϕУгол между двумя плоскостями можно определить как уголπ1ϕмежду их нормальными векторами (на рис.11.5 нормали к плоскостямπ1 , π 2 обозначены n1 , n2 соответственно).

По этому определениюРис.11.5имеем не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга доπ . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е.величина угла ϕ между двумя плоскостями удовлетворяет условию 0 ≤ ϕ ≤ π .ϕ n11. Расстояние d от точки M ( x , y , z )вычисляется по формуле (рис.11.6,а)∗d=∗∗до плоскости∗2A⋅ x + B ⋅ y ++C ⋅ z + D = 0A ⋅ x∗ + B ⋅ y ∗ + C ⋅ z ∗ + DA + B +C22.2102. Расстояние между параллельными плоскостями A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + + C1 ⋅ z + D1 = 0 иA2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 находится как расстояние d1 от точки M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , координатыкоторойудовлетворяютуравнениюдоплоскостиA2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 ,A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 по формуле (рис.11.6,б)d1 =∗∗∗A1 ⋅ x2 + B1 ⋅ y2 + C1 ⋅ z 2 + D1z∗M (x , y , z )z.A12 + B12 + C12A ⋅x + B ⋅ y + C ⋅z + D = 02222dM 2 ( x2 , y2 , z 2 )yOOd1yA⋅ x + B⋅ y + C⋅ z + D = 0A1⋅ x + B1⋅ y + C1⋅ z + D1 = 0xxабРис.11.63.

Острый угол ϕ между двумя плоскостямиπ1 :иA1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0π2 :находится по формулеcos ϕ =A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 + С1 ⋅ С2A12+B12+ С12⋅A22где n1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j + C1 ⋅ k и n2 = A2 ⋅ i + B2 ⋅ j + C2 ⋅ kсоответственно (см. рис.11.5).+B22+ С22,– нормали к плоскостямπ1иπ211Пример 11.4. В координатном пространстве Oxyz заданы вершины A(1, 3, − 1) ,B(2,1, − 2 ) , C (4, 2, − 6 ) треугольной пирамиды OABC .

Требуется:а) составить общее уравнение плоскости, содержащей грань ABC ;б) найти расстояние d от вершины C до плоскости грани OAB ;в) найти величину ϕ угла между плоскостями граней ABC и OAB . а) По формуле (11.9) составляем уравнение плоскости π ABC , проходящей черезтри точки A , B , C :x −1 y − 32 −1 1− 3z − (− 1)x −1 y − 3 z +1− 2 − (− 1) = 0⇔4 − 1 2 − 3 − 6 − (− 1)1−23−1−1 = 0 .−5Разлагая определитель по первой строке, получаем9 ⋅ (x − 1) + 2 ⋅ ( y − 3) + 5 ⋅ (z + 1) = 0⇔9 ⋅ x + 2 ⋅ y + 5 ⋅ z − 10 = 0 .Искомое уравнение составлено.б) Для нахождения расстояния d составляем уравнение плоскости, проходящейчерез точки O , A , B (см.

п."а"):x−0 y−01− 0 3 − 0z −0−1− 0 = 02 − 0 1− 0−2−0x y1 3⇔z−1 = 0⇔ x+z =0.2 1 −2Расстояние находим по формуле п.1 (см. метрические приложения) для M ∗ ≡ C :d=1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( −6) + 012 + 0 2 + 12=2=2.2в) Острый угол ϕ между плоскостями 9 ⋅ x + 2 ⋅ y + 5 ⋅ z − 10 = 0 и x + z = 0 находим поформуле п.3:cos ϕ =9 ⋅1 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅19 2 + 2 2 + 52 ⋅Следовательно, ϕ = arccos75512 + 0 2 + 12.=14220=7.551211.2. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ11.2.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕНаправляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарныйэтой прямой, т.е.

принадлежащий или параллельный ей. Две прямые называютсяколлинеарными, если они параллельны или совпадают.Общее уравнение прямой в пространстве: A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 , A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 ,Нормаль к плоскости π 2 :pxB2(11.11)p = a ⋅i + b ⋅ j + с ⋅ kНормаль к плоскости π1 :n1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j + С1 ⋅ kiC1 =2.C 2 B1Направляющий вектор прямойn 2 = A2 ⋅ i + B2 ⋅ j + С 2 ⋅ kzkArg  1 A2j yM ( x, y , z )rOπ2аzr0π1OM 0 ( x0 , y 0 , z 0 )xyбРис.11.7Способ задания: прямая задается как линия пересечения двух плоскостей (рис.11.7,а):π1 : A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 ;π 2 : A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 .Геометрический смысл коэффициентов: A1 , B1 , C1 и A2 , B2 , C2 – координатынормалей n1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j + C1 ⋅ k и n2 = A2 ⋅ i + B2 ⋅ j + C2 ⋅ k к плоскостям π1 и π 2 соответственно.Равенство ранга матрицы двум в (11.11) выражает условие неколлинеарности нормалей,13чторавносильно условию пересечения плоскостей (см.

разд.11.1.2).Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:r = r0 + t ⋅ p , t ∈  ,p≠o .(11.12)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) , определяемую радиусвектором r0 , коллинеарно направляющему вектору p ≠ o (рис.11.7,б). Геометрический смыслпараметра t в уравнении (11.12): величина t пропорциональна расстоянию от начальной точкиM 0 до точки M , определяемой радиус-вектором r .Физический смысл параметра t – это время при равномерном и прямолинейномдвижении точки M по прямой.

При t = 0 точка M совпадает с начальной точкой M 0 , привозрастании t движение происходит в направлении, определяемом направляющим вектором p .Параметрическое уравнение прямой в пространстве: x = x0 + a ⋅ t , y = y0 + b ⋅ t , z = z + c ⋅t ,0t ∈  , a 2 + b2 + c2 ≠ 0 .(11.13)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) коллинеарно векторуp = a ⋅ i + b ⋅ j + с ⋅ k (см. рис.11.7,б).Геометрический смысл коэффициентов: коэффициенты a , b , с – координатынаправляющего вектора p = a ⋅ i + b ⋅ j + с ⋅ k прямой, а x0 , y0 , z 0 – координаты точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) ,принадлежащей прямой. Параметр t имеет тот же смысл, что и в уравнении (11.12).Заметим, что уравнение (11.13) есть координатная форма записи уравнения (11.12).14Каноническое уравнение прямой в пространстве:x − x0a=y − y0b=z − z0c,a 2 + b2 + c2 ≠ 0 .(11.14)Способ задания: прямая проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) коллинеарно вектору(см.

рис.11.7,б).Геометрический смысл коэффициентов: коэффициенты a , b , с – координатынаправляющего вектора p = a ⋅ i + b ⋅ j + с ⋅ k прямой, а x0 , y0 , z 0 – координаты точкиM 0 ( x0 , y 0 , z0 ) , принадлежащей прямой. Параметр t имеет тот же смысл, что и в уравнениях(11.12), (11.13).Один или два из трех знаменателей дробей в (11.14) могут быть равны нулю, приэтом считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:p = a ⋅i + b ⋅ j + с ⋅kа)x − x00=y − y0=y − y00=z − z0=z − z0c– уравнение прямой, параллельной оси аппликат (рис.11.8,а),x=x ,0т.е.  y = y0 ;б)Oxyx − x0ab(рис.11.8,б), т.е.– уравнение прямой, параллельной коор-динатной плоскости0z = z0 ,x − x0 y − y 0=.ab15zzp = 0 ⋅i + 0 ⋅ j + c ⋅ kzx0xM ( x, y , z )zrp = a ⋅i + b ⋅ j + 0⋅ k0r0y0Or1yxаyOxбРис.11.8M 1 ( x1 , y1 , z1 )M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )yOвАффинное уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки:r = (1 − t ) ⋅ r0 + t ⋅ r1 , t ∈  .Уравнение (11.15) можно записать в координатной форме: x = (1 − t ) ⋅ x0 + t ⋅ x1 , y = (1 − t ) ⋅ y 0 + t ⋅ y1 , z = (1 − t ) ⋅ z + t ⋅ z ,01(11.15)t∈.Способ задания: прямая проходит через две заданные точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) и M 1 ( x1, y1, z1 ) , определяемыерадиус-векторами r0 и r1 соответственно (рис.11.8,в).

Радиус-вектор r определяет положение точки M (x, y, z ) ,принадлежащей прямой.Геометрический смысл коэффициентов: x0 , y0 , z 0 и x1 , y1 , z1 – координаты точек M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) иM 1 ( x1, y1, z1 ) , через которые проходит прямая (11.15). Параметр t в уравнении (11.15) определяет положениеточки M ( x, y, z ) , принадлежащей прямой. Например, при t = 0 точка M совпадает с точкой M 0 ( r = r0 ), а приt = 1 – с точкой M 1 ( r = r1 ).Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и M 1 ( x1 , y1 , z1 ) :x − x0x1 − x0=y − y0y1 − y0=z − z0z1 − z0.(11.16)Способ задания: прямая проходит через две заданные точки M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) и M 1 ( x1, y1, z1 ) (рис.11.8,в).Геометрический смысл коэффициентов: x0 , y0 , z 0 и x1 , y1 , z1 – координаты точек M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) иM 1 ( x1, y1, z1 ) , через которые проходит прямая (11.16).

Характеристики

Список файлов лекций