Презентация 7. Метод Гаусса (1006523), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Как и в каноническом уравнении, один или два из трехзнаменателей дробей в (11.16) могут быть равны нулю, при этом считается, что соответствующий числитель16этой дроби равен нулю.Способы перехода от одного типа уравнения прямой к другому1. Для перехода от общего уравнения прямой в пространстве (11.11) к каноническомууравнению (11.14) нужно выполнить следующие действия:1) найти любое решение (x0 , y0 , z0 ) системы A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 ⋅ z + D1 = 0 , A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 ⋅ z + D2 = 0 ,определяя тем самым координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежащей прямой;2) найти любое ненулевое решение (a, b, c ) однородной системы A1 ⋅ a + B1 ⋅ b + C1 ⋅ c = 0 , A2 ⋅ a + B2 ⋅ b + C2 ⋅ c = 0 ,определяя тем самым координаты a , b , с направляющего вектора p , либо найтинаправляющий вектор p прямой как векторное произведение нормалей n1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j + C1 ⋅ k ,n2 = A2 ⋅ i + B2 ⋅ j + C2 ⋅ k заданных плоскостей:ip = [ n1 , n2 ] = a ⋅ i + b ⋅ j + c ⋅ k = A1A2jB1B2kC1 .C23) записать каноническое уравнение (11.14).172.

Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойноеравенство (11.14) записать в виде системы x − x0 y − y 0 a = b , y− yz − z00= bcи привести подобные члены.3. Чтобы перейти от канонического уравнения (11.14) к параметрическому уравнению(11.13), следует приравнять каждую дробь в уравнении (11.14) параметру t и записатьполученные равенства в виде системы (11.13):x − x0a=y − y0b=z − z0c=t⇔ x = x0 + a ⋅ t , y = y0 + b ⋅ t , z = z + c ⋅t ,0t∈.18Пример 11.5. В координатном пространстве Oxyz заданы вершины A(1, 2, 3) , B(3, 0, 2) ,C (7, 4, 6) треугольника (рис.11.9). Требуется составить:а) общее уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника;б) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника;в) общее уравнение прямой, содержащей биссектрису AL треугольника;г) параметрическое уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника.π2CCCAHBаπ1cAblLHAHLMBBвбРис.11.9 а) Прямая AH является линией пересечения двух плоскостей: π1 треугольника ABC и π 2 ,проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC (рис.11.9,а).

По формуле (11.9)составляем уравнение плоскости π1 , проходящей через три точки A , B , C :x −1 y − 2 z − 3x −1 y − 2 z − 33 −1 0 − 2 2 − 3 = 2−2−1 = 07 −1 4 − 2 6 − 3623⇔x + 3⋅ y − 4⋅ z + 5 = 0 .По формуле (11.2) составляем уравнение плоскости π2 , проходящей через точку Aперпендикулярно вектору BC = (7 − 3) ⋅ i + (4 − 0) ⋅ j + (6 − 2) ⋅ k = = 4 ⋅ i + 4 ⋅ j + 4 ⋅ k :4 ⋅ (x − 1) + 4 ⋅ ( y − 2 ) + 4 ⋅ (z − 3) = 0⇔x+ y+ z −6 =0 .Следовательно, общее уравнение (11.11) прямой AH имеет вид: x + 3⋅ y − 4 ⋅ z + 5 = 0, x + y + z − 6 = 0.19б) Общее уравнение прямой AH получено в п."а". Перейдем от общего уравнения к каноническому:– найдем любое решение ( x0 , y 0 , z0 ) системы, например x0 = 1 , y0 = 2 , z 0 = 3 (это координаты точки A(1, 2, 3) );– найдем направляющий вектор p прямой как векторное произведение нормалей n1 = 1 ⋅ i + 3 ⋅ j − 4 ⋅ k ,n2 = 1 ⋅ i + 1 ⋅ j + 1 ⋅ k заданных плоскостей:i j kp = [ n1 , n 2 ] = 1 3 − 4 = 7 ⋅ i − 5 ⋅ j − 2 ⋅ k ;1 1 1x −1 y − 2 z − 3.==7−2−5в) Сначала составим каноническое уравнение прямой AL .

Для этого нужно найти направляющий вектор lэтой прямой (рис.11.9,б). Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, l = b + c , где b и c – единичные– запишем каноническое уравнение (11.14):векторы, одинаково направленные с векторами AB и AC соответственно. НаходимAB = 2 ⋅ i − 2 ⋅ j − 1 ⋅ k ,AB = 3 ,b=AB=221⋅i − ⋅ j − ⋅k ;333=623⋅i + ⋅ j + ⋅k ;777ABAC = 6 ⋅ i + 2 ⋅ j + 3 ⋅ k ,AC = 7 ,c=ACAC8223  3221  62l = b + c =  ⋅i − ⋅ j − ⋅k  +  ⋅i + ⋅ j + ⋅k  =⋅i − ⋅ j + ⋅k .21213  777  2133x −1 y − 2 z − 3Составляем каноническое уравнение прямой AL : 32 = 8 = 2 .− 212121Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой AL : x −1 y − 2 32 = − 8 , 2121 y −2 z −3=,2821 − 21⇔ x + 4 ⋅ y − 9 = 0, y + 4 ⋅ z − 14 = 0 .г) Находим координаты середины M стороны BC : M (5, 2, 4) .

Составляем уравнение (11.16) прямой AM(рис.11.9,в):x −1 y − 2 z − 3x −1 y − 2 z − 3.====⇔5 −1 2 − 2 4 − 3401Переходим к параметрическому уравнению, приравнивая каждую дробь параметру t : x =1+ 4 ⋅t ,x −1 y − 2 z − 3=tt∈. ==⇔ y = 2,401 z = 3 + 1⋅ t ,2011.2.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕПусть две прямые l1 и l2 заданы их каноническими уравнениями:l1 :x − x1a1=y − y1b1=z − z1c1,l2 :x − x2a2=y − y2b2=z − z2c2,где x1 , y1 , z1 и x2 , y 2 , z 2 – координаты точек M 1 ( x1, y1, z1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , принадлежащихпрямым l1 и l2 соответственно; a1 , b1 , с1 и a2 , b2 , c2 – координаты направляющих векторови p2 = a2 ⋅ i + b2 ⋅ j + c2 ⋅ k этих прямых (рис.11.10).О взаимном расположении прямых в пространстве можно судить по числу линейнонезависимых строк матрицыp1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j + c1 ⋅ k x1 − x 2 a1 a2y1 − y 2b1b2z1 − z 2 c1  ,c2 (11.17)а также по следующим критериям:p2l2M 2 ( x2 , y 2 , z2 )p1l1M 1 ( x1, y1, z1 )Рис.11.1021– скрещивающихся прямых:x − x 12rg  a1 a2y1 − y 2b1z1 − z 2 c1  = 3 ;b2c2– параллельности прямых:arg  1 a2b1b2c1  x − x2 = 1 и rg  1c2  a1y1 − y 2b1z1 − z 2 =2;c1 – совпадения прямых: x1 − x 2rg  a1 a2y1 − y 2b1b2– коллинеарности прямых:arg  1 a2b1b2– пересечения прямых: x1 − x 2rg  a1 a2y1 − y 2b1b2z1 − z 2 c1  = 1 ;c2 c1  =1;c2 z1 − z 2 ac1  = rg  1 a2c2 b1b2c1 =2;c2 – перпендикулярности прямых:a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0 .Если прямые пересекаются, то координаты общей точки находятся в результатерешения системы уравнений: x − x1 y − y1 z − z1==,b1c1 a1 x−xy − y2 z − z22==. a 2b2c222Пример 11.6.

Выяснить взаимное расположение каждой пары прямых(скрещивающиеся, пересекающиеся, параллельные, совпадающие, перпендикулярные, вслучае пересечения прямых найти их общую точку):x +1=4x +1=−4y −1=0y −1=6z+2;−2z+2;−8а)y −2 z −3=,−34y −2 z −3,=−34в)x −3 y + 2 z −7,==42−3x+3 y−7 z +5;==6−8−4г)x −3 y + 2 z −7,==−324x −2 y + 2 z −5.==5−610x −1=2x −1б)=2 а) По коэффициентам уравнений прямых составляем матрицу (11.17): x1 − x2 a1 a2y1 − y 2b1b2z1 − z 2  1 − (−1) 2 − 1 3 − (−2)   2 15   c1  =  24  = 2 −3 4  .−3c2   40− 2   4 0 − 2 5 2 1Таккактопрямыескрещивающиеся.rg  2 − 3 4  = 3 , 4 0 − 2a1 ⋅ a 2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 2 ⋅ 4 + (−3) ⋅ 0 + 4 ⋅ (−2) = 0 , то они перпендикулярны.Посколькуб) По коэффициентам уравнений прямых составляем матрицу (11.17): x1 − x2 a1 a 2y1 − y2b1b215 z1 − z 2  1 − (−1) 2 − 1 3 − (−2)   2  −34  =  2 −3 4  .c1  =  2− 8   − 4 6 − 8 6c2   − 4a b c x − x 2 −3 4  = 1 и rg  1 2Так как rg  1 1 1  = rg  − 4 6 − 8 a1 a 2 b2 c2 параллельные.y1 − y 2b1z1 − z 2  2 1 5 = = rg  = 2 , то прямыеc1  2 − 3 423в) По коэффициентам уравнений прямых составляем матрицу (11.17): x1 − x2 a1 a 2y1 − y2b1b2z1 − z 2   3 − (−3) − 2 − 7 7 − (−5)   6 − 9 12   c1  =  24  =  2 −3 4  .−3c2   − 46− 8   − 4 6 − 8  6 − 9 12 Так как rg  2 − 3 4  = 1 , то прямые совпадают. − 4 6 − 8г) По коэффициентам уравнений прямых составляем матрицу (11.17): x1 − x2 a1 a 2Так как rg125y1 − y2b1b2z1 − z 2   3 − 2 − 2 − (−2) 7 − 5   1 0 2   c1  =  24  = 2 − 3 4  .−3c2   510   5 − 6 10 −60 2 2 − 3 4  = 2 , то прямые пересекаются.

Найдем координаты точки пересечения,− 3 4  = rg 5 − 6 10 − 6 10 решая систему уравнений: 3⋅ x + 2 ⋅ y = 5, − 3⋅ x + 9 = 2 ⋅ y + 4 , x−3 y + 2 z −7 4 ⋅ y + 8 = − 3 ⋅ z + 21, 2 = − 3 = 4 , 4 ⋅ y + 3 ⋅ z = 13 ,⇔  x−2 y + 2 z −5 ⇔ −6⋅x+12=5⋅y+10, 6⋅ x + 5⋅ y = 2,==, 5−610 10 ⋅ y + 20 = − 6 ⋅ z + 30 , 5 ⋅ y + 3 ⋅ z = 5 .Вычитая из последнего уравнения второе, получаем y = −8 .

Подставляя y = −8в первые двауравнения, находим, что x = 7 , z = 15 . Значит, единственная общая точка этих прямых имееткоординаты x = 7 , y = −8 , z = 15 . 2411.2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИПусть прямая l и плоскость π заданы уравнениями:x − x0=y − y0=z − z0; π : A⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z + D = 0 ,bcт.е. прямая l проходит через точку M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) коллинеарно вектору p = a ⋅ i + b ⋅ j + c ⋅ k , а плоскость πl:aперпендикулярна вектору n = A ⋅ i + + B ⋅ j + C ⋅ k (рис.11.11). О взаимном расположении прямой и плоскостиможно судить, используя свойство скалярного произведения векторов ( p, n ) = a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅ C и по критериям:– пересечения прямой l и плоскости π (рис.11.11,а):a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅C ≠ 0 ;– перпендикулярности прямой l и плоскости π :a b c = 1 ;rg  A B C– параллельности прямой l и плоскости π (рис.11.11,б):a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅C = 0, A ⋅ x0 + B ⋅ y 0 + C ⋅ z0 + D ≠ 0 ;– принадлежности прямой l плоскости π (рис.11.11,в):a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅C = 0, A ⋅ x0 + B ⋅ y0 + C ⋅ z0 + D = 0 .pnlpnM0M0pnlππаlπM0вбРис.11.11В случае пересечения прямой и плоскости координаты общей точки удобно находить, переходя кпараметрическому уравнению прямой.

Характеристики

Список файлов лекций