Презентация 7. Метод Гаусса (1006523), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Подставляя выраженияx = x0 + a ⋅ t ,y = y0 + b ⋅ t ,z = z0 + c ⋅ t(11.18)в уравнение плоскости A ⋅ x + B ⋅ y + C ⋅ z + D = 0 , можно вычислить значение параметра t ∗ для точки25пересечения, а затем и координаты искомой точки по формулам (11.18) при t = t ∗ .Пример 11.7. Выяснить взаимное расположение пар, образуемых прямой иплоскостью (пересечение, перпендикулярность, параллельность, принадлежность прямойплоскости, в случае пересечения прямой и плоскости найти их общую точку):а)б)в)г)x −1 y − 2 z + 3==, 2 ⋅ x + 3⋅ y + 4 ⋅ z + 4 = 0 ;1−64x −1 y − 2 z + 3, 2 ⋅ x + 3⋅ y + 4 ⋅ z +1 = 0 ;==1−64x −1 y − 2 z + 3, 2 ⋅ x + 3⋅ y + 4 ⋅ z − 5 = 0 ;==1−34x −1 y + 2 z + 3==, 2 ⋅ x − 6 ⋅ y − 8 ⋅ z + 14 = 0 .1−3−4 а) По коэффициентам уравнений определяем a = 1 , b = − 6 , c = 4 , x0 = 1 , y0 = 2 ,z 0 = −3 , A = 2 , B = 3 , C = 4 , D = 4 .
Посколькуa ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅C = 0, A ⋅ x0 + B ⋅ y0 + C ⋅ z0 + D = 0 ,⇔a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅C = 0, A ⋅ x0 + B ⋅ y0 + C ⋅ z0 + D ≠ 0 ,⇔ 1 ⋅ 2 + (− 6) ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 = 0 , 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−3) + 4 = 0 ,то прямая принадлежит плоскости.б) По коэффициентам уравнений определяем a = 1 , b = − 6 , c = 4 , x0 = 1 , y0 = 2 , z 0 = −3 ,A = 2 , B = 3 , C = 4 , D = 1 .
Поскольку 1 ⋅ 2 + ( − 6) ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 = 0 , 2 ⋅1 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−3) + 1 ≠ 0 ,то прямая параллельна плоскости.26в) По коэффициентам уравнений определяем a = 1 , b = − 3 , c = 4 , x0 = 1 , y0 = 2 , z 0 = −3 ,A = 2 , B = 3 , C = 4 , D = −5 . Посколькуa ⋅ A + b⋅ B + c ⋅C ≠ 0⇔1 ⋅ 2 + (−3) ⋅ 3 + 4 ⋅ 4 ≠ 0 , 1 − 3 4то прямая пересекает плоскость. Так как rg = 2 ≠ 1 , то прямая не перпендикулярна432плоскости. Находим координаты точки пересечения.
Подставляя выражения x = 1 + 1 ⋅ t ,y = 2 − 3 ⋅ t , z = −3 + 4 ⋅ t , следующие из (11.18), в уравнение плоскости, получаем2 ⋅ (1 + 1 ⋅ t ) + 3 ⋅ (2 − 3 ⋅ t ) + 4 ⋅ (−3 + 4 ⋅ t ) − 5 = 0⇔t∗ = 1.Значит, координаты общей точки x = 1 + 1 ⋅ t ∗ = 2 , y = 2 − 3 ⋅ t ∗ = −1 , z = −3 + 4 ⋅ t ∗ = 1 .г) По коэффициентам уравнений определяем a = 1 , b = − 3 , c = − 4 , x0 = 1 , y0 = −2 , z 0 = −3 ,A = 2 , B = − 6 , C = − 8 , D = 14 . Поскольку 1 − 3 − 4 = 1 ,rg 2 − 6 −8то прямая перпендикулярна плоскости.
Находим координаты точки пересечения. Подставляявыражения x = 1 + 1 ⋅ t , y = −2 − 3 ⋅ t , z = −3 − 4 ⋅ t , следующие из (11.18), в уравнение плоскости,получаем2 ⋅ (1 + 1 ⋅ t ) − 6 ⋅ (−2 − 3 ⋅ t ) − 8 ⋅ (−3 − 4 ⋅ t ) + 14 = 0⇔t ∗ = −1 .Значит, координаты общей точки x = 1 + 1⋅ t ∗ = 0 , y = −2 − 3 ⋅ t ∗ = 1 , z = −3 − 4 ⋅ t ∗ = 1 .2711.2.4. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕУгол между прямой l и плоскостью π определяется как угол между прямой l и ееортогональной проекцией lпр на плоскость (рис.11.12,а). Из двух смежных углов ϕ и ϕ′ , какправило, выбирают меньший, т.е. 0 ≤ ϕ ≤ π .
Если прямая l перпендикулярна плоскости (ее2ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным π .2Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами(рис.11.12,б).Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общегоперпендикуляра (рис.11.12,в), т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.lϕϕ′аl1ϕlпрπбРис.11.12l1p1p2dl2l2в28x − x01.
Расстояние d от точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до прямойaвычисляется по формулеx1 − x0y1 − y 0abd=2+y1 − y 0z1 − z0bca +b +c2x − x0a22+x1 − x0z1 − z0ac= =y − y0b=z − z0c(рис.11.13,а)2.2По этой же формуле вычисляется расстояние между параллельными прямыми=y − y0b=z − z0cпропорциональны:M 0 (x0 , y0 , z0 )аa1=y − y1b1=z − z1c1, координаты направляющих векторов которыхabc(см.
рис.11.13,а).= =a1 b1 c1M 1 (x1 , y1 , z1 )dx − x1иl1M 2 (x2 , y2 , z 2 )plp2l2dp1mM 1 (x1 , y1 , z1 )Рис.11.13l1б292. Расстояние d между скрещивающимися прямыми (рис.11.13,б)x − x1a1y − y1=b1=z − z1x − x2иc1y − y2=a2b2=z − z2c2вычисляется по формуле( m , p1 , p 2 )d=x 2 − x1где (m , p1 , p2 ) = a1a2,[ p1 , p 2 ]y 2 − y1b1b2z 2 − z1c1≠0,c2i[ p1 , p2 ] = a1a2jb1b2kc1c2– смешанное и векторноепроизведения векторов m = ( x 2 − x1 ) ⋅ i + + ( y 2 − y1 ) ⋅ j + ( z 2 − z1 ) ⋅ k , p1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j + c1 ⋅ k ,p2 = a2 ⋅ i + b2 ⋅ j + c2 ⋅ k .3.
Угол ϕ между двумя прямымиx − x1a1=y − y1b1=z − z1x − x2иc1a2=y − y2b2=z − z2c2вычисляется по формулеa1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2cos ϕ =a12+ b12+ c124. Угол ϕ между прямойx − x0aвычисляется по формулеsin ϕ =⋅a22=+ b22+ c22y − y0b=a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅Ca +b +c ⋅222A + B +C22.z − z0cи плоскостью A ⋅ x + + B ⋅ y + C ⋅ z + D = 0.230Пример 11.8. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системекоординат) заданы вершины A(1, 2, 3) , B(3, 0, 2) , C (7, 4, 6) треугольника (см.
рис.11.9).Требуется:а) составить уравнение прямой BC ;б) найти высоту h треугольника, опущенную на сторону BC ;в) вычислить расстояние d между прямой BC и осью абсцисс;г) найти величину острого угла ϕ между этими прямыми;д) найти величину угла ψ между осью абсцисс и плоскостью треугольника ABC . а) Записываем уравнение (11.16) прямой, проходящей через точки B(3, 0, 2) , C (7, 4, 6) :x −3 y −0 z −2==7−3 4−0 6−2⇔x−3 y z −2x −3 y z −2.⇔= == =444111б) Искомую высоту h находим по формуле п.1, полагая x0 = 3 , y0 = 0 , z 0 = 2 , x1 = 1 ,y1 = 2 , z1 = 3 , a = b = c = 1 :h=−2 21 122−2 1++1 11 12 112 +12 +122=16 + 1 + 93=26.331в) Каноническое уравнение оси абсцисс имеет видx y z= = ,1 0 0так как ось проходитчерез точку O(0, 0, 0) , а i – ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой BCx−3 y z−2.= =111получено в п."а":Полагая m = OB = (3 − 0) ⋅ i + (0 − 0) ⋅ j + (2 − 0) ⋅ k = 3 ⋅ i + 0 ⋅ j + 2 ⋅ k , p1 = 1 ⋅ i + + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ,p2 = 1 ⋅ i + 1 ⋅ j + 1 ⋅ k, по формуле п.2 получаем:3 0 2i(m , p1 , p2 ) = 1 0 0 = 2 ,1 1 1d=( m , p1 , p 2 )[ p1 , p 2 ]jk0 = 0 ⋅ i − 1⋅ j + 1⋅ k ,1[ p1 , p 2 ] = 1 01 1=20 + ( −1) + 122=2.2г) Острый угол ϕ находим по формуле п.3:( p1 , p 2 )cos ϕ =т.е.
ϕ = arccos1p1 ⋅ p 2=1 ⋅1 + 0 ⋅1 + 0 ⋅112 + 0 2 + 0 2 ⋅12 + 12 + 12=1,3.3д) Уравнение плоскости π1 , проходящей через три точки A , B , C , получено в п."а"примера 11.5: x + 3 ⋅ y − 4 ⋅ z + 5 = 0 . Острый угол ψ между осью абсциссx + 3⋅ y − 4⋅ z + 5 = 0sin ψ =вычисляем по формуле п.4:a ⋅ A + b ⋅ B + c ⋅Ca +b +c ⋅222т.е. ψ = arcsin 1 . 26A + B +C22=21 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ ( − 4)1 + 0 + 0 ⋅ 1 + 3 + (− 4)22222=21x y z= =1 0 0и плоскостью,263211.3. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА11.3.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКААлгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое местоточек пространства, которое в какой-либо аффинной системе координат Oxyz может бытьзадано уравнением видаa11 ⋅ x 2 + a22 ⋅ y 2 + a33 ⋅ z 2 + 2 ⋅ a12 ⋅ x ⋅ y + 2 ⋅ a13 ⋅ x ⋅ z + 2 ⋅ a23 ⋅ y ⋅ z ++ 2 ⋅ a1 ⋅ x + 2 ⋅ a2 ⋅ y + 2 ⋅ a3 ⋅ z + a0 = 0 ,где старшие коэффициенты a11 , a12 , a13 , a22 , a23 , a33 не равны нулю одновременно.
Длякаждой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат Oxyz , вкоторой уравнение принимает наиболее простой (канонический) вид. Она называетсяканонической, а уравнение – каноническим.Канонические уравнения поверхностей второго порядкаz1.x2a2+y2b2+z2c2=1– уравнение эллипсоида;yxz2.x2a2+y2b2+z2c2= −1– уравнение мнимогоyxэллипсоида;z3.x2a2+y2b2+z2c2=0– уравнение мнимого конуса;xy334.x2a2+y2b2−z2c2z=1– уравнение однополостного гиперболоида;xyz5.6.7.x2a2x2a2x2a2+++y2b2y2b2y2b2−−z2c2z2c2= −1– уравнение двуполостного гиперболоида;xyz=0= 2⋅ z– уравнение конуса;xyz– уравнение эллиптического параболоида;xyz8.x2a2−y2b2= 2⋅ z– уравнение гиперболического параболоида;yxz9.x2a2+y2b2=1– уравнение эллиптического цилиндра;xy3410.11.12.13.x2a2x2a2x2a2x2a2++−−y2b2y2b2y2b2y2b2z= −1=0– уравнение мнимого эллиптического цилиндра;xyz– уравнение пары мнимых пересекающихся плоскостей;xyz=1– уравнение гиперболического цилиндра;x=0yz– уравнение пары пересекающихся плоскостей;xyz14.
y 2 = 2 ⋅ p ⋅ x– уравнение параболического цилиндра;xyz15. y 2 − b 2 = 0– уравнение пары параллельных плоскостей;xyz16. y 2 + b 2 = 0– уравнение пары мнимых параллельных плоскостей;17. y 2 = 0– уравнение пары совпадающих плоскостей.xyzxyВ уравнениях a > 0 , b > 0 , c > 0 , p > 0 , причем a ≥ b ≥ с в уравнениях п.1–3; a ≥ b в уравнениях п.4–7,9–11.3511.3.2.
ЭЛЛИПСОИДЫЭллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольнойсистеме координат Oxyz каноническим уравнениемx2a2+y2b2+z2c2=1,(11.19)где a , b , c – положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам a ≥ b ≥ c .Если точка M (x, y, z ) принадлежит эллипсоиду (11.19), то координаты точек(± x, ± y, ± z ) при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (11.19). Поэтомуэллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей иначала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
